Er det ikke fasit til denne oppgaven?!

Transkript

1 Er det ikke fasit til denne oppgaven?! Anne-Gunn Svorkmo 2-May-14

2 Ulike oppgaver i matematikk Øvingsoppgaver Samarbeidsoppgaver Problemløsingsoppgaver Rike oppgaver Realistiske oppgaver Utforskende oppgaver Åpne oppgaver

3 Åpen oppgave Pehkonen, 1997 og Nohda, 2000 En oppgave er åpen hvis den har minst en av følgende kriterier: 1. Utgangspunktet er åpent, dvs. at den eller de som skal arbeide med oppgaven må bestemme seg for hvilken del av oppgaven som skal utforskes videre. 2. Sluttproduktet er åpen, dvs. det er flere riktige svar på oppgaven 3. Løsningsprosessen er åpen, dvs. det er flere måter å løse oppgaven på 2-May-14 3

4 Med mine ord + tilføyelse En åpen oppgave kan enten: være åpen i begge ender dvs. at utgangspunktet på oppgaven ikke er eksakt. Da kan heller ikke løsningen være kjent. ha en åpen slutt (Open-ended). Oppgaven har flere løsninger, og det finnes ulike måter å kommer fram til riktig løsning. ha et svar. Når løsningen er kjent er det om å lage /formulere en problemstilling som passer. 2-May-14 4

5 Eksempel på åpne oppgaver 1 lastet ned fra : Stian kjøper en hel sekk med gamle tegneserier på et loppemarked. Han betaler 430 kr for hele sekken. Han planlegger å selge tegneseriene videre med fortjeneste. Når han kommer hjem ser han at det er 158 blader i sekken. 16 av bladene mangler noen sider. 75 av bladene ser nesten helt ubrukte ut. Resten av bladene er hele, men de er godt brukte. Lag et forslag til priser på tegneseriene slik at han kan tjene penger på salget. 2-May-14 5

6 Problemløsingsfaser Polya, G.(1945): How to solve it? 1. Forstå problemet 2. Legge en plan 3. Gjennomføre planen 4. Se tilbake Ingen lineær prosess. En syklisk og rekursiv prosess som er en naturlig del av problemløsing 2-May-14 6

7 Eks på hvordan «trene» på: Å forstå problemet + lage en plan Høytlesing: Skriv ned de opplysningene du mener du trenger for å komme i gang med å løse oppgaven. Hva har vi bruk for? Hva vet vi? Hva må du vite for å løse oppgaven? Hva må du kunne? Hva må vi regne ut for å kunne finne svar på oppgaven?

8 Eksempler på åpne oppgaver 2 2-May-14 8

9 Eksempler på åpne oppgaver 3 Hvordan regnes poengene ut i stup? 2-May-14 9

10 Eksempler på åpne oppgaver 4 Tema: Fart, tid og strekning 9. trinn 1. Lag en oppgave der svaret er 45 km Lag oppgaver som er realistiske! 2. Lag en oppgave der svaret er 75 km/h 3. Lag en oppgave der svaret er 1 time og 15 minutter 2-May-14 10

11 Eleveksempler Svaret er 45 km 1. Tore skal til bestemor. Det tar 3 kvarter og han kjører med en gjennomsnittsfart på 60 km/t. Hvor mange km kjører han? 2. Hvis du kjører 72 km på 8 timer, hvor mange km kjører du på 5 timer? 3. Gunnar kjører 90 km/t i en halv time. Hvor langt kommer han? 4. Trine kjører moped til skolen. Farten er 45 km/t. Hvor langt har hun kjørt på en time? 2-May-14 11

12 To og to samarbeider Åpen oppgave (åpen slutt), Geogebra 20 minutter Presentasjon av noen løsninger 2-May-14 12

13 Fornøyelsesparken Hähkiöniemi, Leppäaho og Francisco i Nordisk matematikkdidaktikk, Volume 18, No 2, June 2013 Fire byer vil gå sammen og bygge en praktfull fornøyelsespark! Undersøk og utforsk ved hjelp av Geogebra hva som vil være den mest gunstige og rettferdige plasseringa for parken. 2-May-14 13

14 Oppsummering av fornøyelsesparken Nøkkelspørsmål: Hva er begrunnelsen for at det punktet dere har funnet er det mest optimale, dvs. den beste plasseringa av parken? Viktig å merke seg Når elever bruker GeoGebra, kan læreren ikke bare stole på det som kan observeres på skjermen. Elevene må forklare/begrunne hvorfor det de har kommet fram til må være riktig. 2-May-14 14

15 Elevers løsningsforslag på fornøyelsesparken 1 Senter i et kvadrat eller rektangel. Byene er plassert i hvert sitt hjørne. Skjæringspunktet mellom diagonalene i en tilfeldig firkant. De fire byene er plassert i hjørnene. Punktet hvor den totale avstanden til hver by ser ut til å være minst. Midtpunktet i en sirkel hvor sirkellinja går gjennom alle fire byene 2-May-14 15

16 Punktet hvor den totale avstanden til hver by ser ut til å være minst. 2-May-14 16

17 Elevers løsningsforslag på fornøyelsesparken 2 2-May-14 17

18 Elevers løsningsforslag på fornøyelsesparken 3 2-May-14 18

19 Hva hvis tre byer ligger på ei rett linje? 2-May-14 19

20 Fordeler med åpne oppgaver Problem Solving: Opening up Problems' printed from Flere måter å komme fram til et eller flere svar på, flere måter å tenke på Både prosess og svar er viktig Flere mulige løsning gjør at elevene må argumentere for sin løsning Elevene kan finne en løsning, flere løsninger eller finne alle mulige løsninger Oppgaven kan tilpasses den enkelte elev Elevene arbeider med samme problem En åpen oppgave er ofte en ressurs for matematiske diskusjoner Åpne oppgaver gjør at elever må tenke kreativt (Kwon m. fl., 2006) Utforsking involverer og beriker elevenes matematiske aktiviteter (Pehkonen, 1995) Fremmer elevenes matematiske ferdigheter (Boaler, 1998) men: ``It is necessary to realise that much of the value of an investigation can be lost unless the outcome of the investigation is discussed. Such a discussion includes consideration not only of the method which has been used and the results that have been obtained but also of false trails which have been followed and mistakes which have been made in the course of the investigation.'' (Cockcroft, 1982: Mathematics Counts) 2-May-14 20

21 Lærerens rolle Tidligere studier er gjennomført både for å finne ut om elevers problemløsningsprosesser og for å vite mer om hvordan lærere kan veilede elever i slike prosesser (eks. Nunokawa, 2005; Schoenfeld, 1985, Anghileri, 2006). På hvilken måte kan en lærer støtte elever når de arbeider med åpne oppgaver? Lærerens rolle er avgjørende for hvordan elever takler å arbeide med åpne oppgaver. Kjenne til faser elevene arbeider seg i gjennom og hvordan hjelpe elevene til å forflytte seg mellom disse fasene. 2-May-14 21

22 Polyas faser med åpne oppgaver 1. I tillegg til å forstå problemet: Se mulighetene i oppgaven og hva som kan undersøkes videre, begrense og velge, formulere spørsmål/problematisere Er svaret/ene rimelig/e? Kan løsningen stemme med problemstillingen? Hvorfor stemmer det? Hvordan kom vi fram til løsningen(e)? Hva har vi funnet ut? 2-May-14 22

23 Tips til læreren Gi elever nok tid til å arbeide med åpne oppgaver Unngå å fjerne utfordringene i oppgaven ved å vise elevene hvordan de kan løse oppgaven Cai og Lester, 2010 Lytte og stille gode spørsmål Lærerens rolle åpne oppgaver: (Hähkiöniemi, Leppäaho og Francisco i Nordisk matematikkdidaktikk, Volume 18, No 2, June 2013) Støtte elevene i prosessen(scaffolding) Ramme inn oppgaven enten ved å begrense den eller utvide den Veilede elevene i fasene og i overgangen mellom fasene Veksle mellom: lytte til elevens forklaringer/begrunnelser/valg, stille oppklarende spørsmål, gjennomgå (reviewing), omorganisere (restructuring) og forklare Hjelpe elever til å utforske løsningen sin for gjøre resultatet enda mer presist Oppsummere hva elevene har funnet ut, veien videre 2-May-14 23

24 Å åpne opp oppgaver Moses, Bjork & Goldenberg. (1990). Beyond Problem Solving: Problem Posing. Hvor mange 5-kr trenger du for å få 45 kroner? Opplysninger Detaljer Hva vet vi? Verdien av alle myntene 45 kr Hva er ukjent (hva skal vi finne ut)? Antall mynter? Betingelser Alle myntene har samme verdi 5 kr - Fjern betingelsen: Hvor mange mynter trenger du for å ha 45 kroner? - Fjern det som er kjent: Jeg har mange 5-kr i handa mi. Hvor mye kan jeg ha? - Bytt ut det som er kjent/ukjent, endre betingelser: Jeg har 5 mynter. Tre av dem er like. Hvor mye penger kan jeg ha? - Bytt ut det som er kjent/ukjent, fjern betingelser: Jeg har 5 mynter. Hvor mye penger kan jeg ha? - Fjern det som er kjent og betingelsene, endre det ukjente: Jeg har noen mynter i hånda mi. Hvor mye penger kan jeg ha? - Endre både det som er kjent, ukjent og betingelser: Hvis du legger myntene dine etter hverandre langs ei linje på golvet, hva er den korteste/lengste linja du kan lage med 5 mynter? 2-May-14 24