3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

Transkript

1 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå allelikningerderdukvadrerer..4 a..ii) 3x + 7 x = () Kvadrerer abc-formel ( ) 3x + 7 = ( + x) 3x + 7 = x + x + x x 6 = 0 x = 3 x = Merkatathøyreside(HS)i () erlik.setterprøvefor x = 6 3=4 3= ogforfor x 3 ( )+7 ( )=+ x = 3

2 5.5 b..i) f(x) = x 3 5x f (x) = (x 3 ) 5 (x ) f (x) = 6x 0x.6 b..ii) f(x) = x ln x f (x) = (x) ln x + x (ln x) f (x) = ln x + x x f (x) = ln x +.7 b..i) g(x) = 5e x g (x) = 5 (e x ) g (x) = 5 e x g (x) = 0e x.8 b..ii) g (x) = g(x) = ex x ( (x ) e x) ( x (e x ) ) x g (x) = x e x x e x x 4 g (x) = (ex xe x ) x 3.9 c.i) 3 8x 3 dx = [ 8 ] 3 4 x4 = [ x 4] 3 = ( (3) 4) ( () 4) = 60

3 6.0 c.ii) Bestem t i likningen t 9x dx = 78 9x dx = F (x) = 3x 3 F (t) F () = 78 F (t) = 78 + F () 3t 3 = 8 t 3 = 7 t = 3. d.i) P (6) = ( ) = 8.97% 6. d.ii) 5 ( ) 0 P ( 6) = (0.75) k ( 0.75) 0 k 4.48% k k=0 Kort forklaring av uttrykket: Σ betyr sum. Vi summerer altså sannsynligheten fra 0 frø spirer til 5 frø spirer. Minst 6 frø spirer, er den komplementære sannsynligheten (den motsatte) for at 0,,... 5 frø spirer, og derfor blir uttrykket -summen av sannsynlighetene..3 e.i) Undersøk om vektorene u = a + 3 b og v = 3 a + b er parallelle. De er ikke parallelle. 3 3

4 7.4 e.ii) Undersøk om det nnes tall, t, slik at vektorene v v når; u = (t + ) a + b og v = 5 a (t ) b (t + ) 5 = (t ) Skriver om nevneren på høyresiden, for (t ) ( t) (t + ) 5 = ( t) Kryssmultipliserer ( t)(t + ) = ( 5) t + t + = 0 abc-formel t = 3 t = 4 Ja, u v for t = { 3, 4}.5 f ) Her er det bare å være kreativ selv. :)

5 8 oppgave. a) Hendelsen N N betyr `eleven strøk i norsk hovedmål og sidemål`. P (N N ) er oppgitt i oppgaveteksten. Den sier P (N N ) = b) Hendelsene N og N er ikke uavhengige, for at to hendelser skal være uavhengige, må P (N N ) = P (N ) Altså er dette avhengige hendelser. P (N N ) P (N ).3 c) N N kan være den relative frekvensen for at N intreer, gitt at N har intruet. P (N N ) = P (N N ) P (N ) = = 57.% d) Som relativ frekvens P (N N ) = P (N N ) P (N ) = 0.04 = % 0. Ved å bruke Bayes' setning P (N N ) = P (N ) P (N N ) P (N ) P (N N ) + P (N ) P (N N ) P (N N ) = = % ( ) + ( )

6 9 3 oppgave 3 3. a) lg x og lg T er rundet av til tre desimaler i tabellen nedenfor. Mellomregninger i de andre oppgavene er gjort med fullstendige tall på lommeregneren. Navn Avstanden x målt i saturnradier Omløpstiden målt i døgn Mimas Enceladus Tethys Titan Hyperion Japetus T lg x lg T

7 0 3. b) Bildet nedenfor viser grafen med kalkulasjoner. Jeg nner en bedre tilnæringsverdier for A og B ved å bruke regresjon på lommeregneren. Finner følgende: Vi har som vi vil skrive om på formen y = ax + b a.50 b y =.50x T (x) = A x B så T (x) = lg y

8 gir ferdig avrundet lg y = lg (.50x ) T (x) = 0 lg(.50x ) T (x) = 0 lg.50x T (x) = 0.7x c) Dione har omløpstiden.74 døgn, vi vil nne avstanden fra Dione til Saturn. T (x) = x.5 =.74 x.5 = x = x 6.38 Omløpstiden til Dione er cirka 6.38 døgn. 3.4 d) Vi vil undersøke om kan skrives på formen der k er en konstant. T (x) = 0.7x.5 () x 3 T = k (3) Vi setter inn () i () for å undersøke. x 3 (0.7x.5 ) = x 3 x3 0.7 = x (.5) 0.7 x 3 = For å kontrollere om dette er en konstant, velger vi ut verdiene for to måner fra tabellen i eksamensoppgaven. Jeg velger Mimas og Titan. Først regner vi ut for Mimas

9 deretter for Titan Observerer at verdiene ikke er 00% i tråd med hverandre, og at k ikke er konstant for disse verdiene. Dette er fordi vi gjort avrundinger for å komme frem til funksjonsuttrykket, og at eksamensforfatteren helt sikkert også har gjort avrundringer i tabellen. - Du kan lese mer om Keplers tredje lov på Wikipedia.

10 3 4 oppgave 4 4. a) A(3) = 3 ln(3) enheter Den tredje dagen, var salget omlag 90 enheter. 4. b) A(x) = x ln x A (x) = (x) () (ln x) A (x) = 0 x A (x) = x Grafen til A (x) stiger med tiden i hele intervallet. Det blir stadig ere salg per dag, og kampanjen er en braksuksess! 4.3 c) f (x) er den antideriverte til A(x) f(x) = x x ln x f (x) = (x ) ( (x) ln x) + (x (ln x) ) ( f (x) = x ln x + x ) x f (x) = x ln x 4.4 d) [ ] A(x)dx = x x ln x = ( ) ( ) () ln() () ln() = 47.0 ( 0.5) = enheter 4760 enheter Fra dag til, var totalt salg tilnærmet 4760 enheter.

11 4 5 oppgave 5 5. a) På tegningen ovenfor, ser du a b og a + b tegnet inn i et kartesisk koordinatsystem. 5. b) a = [, 3] fordi komponenten e x går trinn i positiv retning, mens e y går tre trinn i negativ retning. Vi ser av tegningen at komponentene til b deneres slik; b = [, 5] 5.3 c) a ( a b) [, 3] ([, 3] [, 5]) [, 3] [3, ] Da skalarproduktet er null, har vi påvist ortogonalitet, a ( a b)

12 5 5.4 d) Når vi vet at l er parallell med a, og går gjennom punktet (, 5), så kan vi sette det opp på følgende måte: Da får vi parameterfremstillingen [x, y] = [, 5] + [, 3]t l : x = + t y = 5 3t Vi skjærer y-aksen, når x = 0 og x-aksen når y = 0 Da har vi punktene (0, 8) og ( 6 3, 0) 0 = + t y = 5 3t t = y = 5 3( ) y = 8 x = + t 0 = 5 3t x = t = 5 3 x = e) m l, og siden vi vet at retningsvektoren for l er a og den står vinkelrett på ( a b) så kan vi benytte sistnevnte som retningsvektor for m [x, y] = [3, ] + [3, ]s m : x = 3 + 3s y = + s Vil nå nne skjæringspunktene mellom l og m, så setter l = m + t = 3 + 3s 5 3t = + s t = +3s 5 3 ( ) +3s = + s 0 3( + 3s) = 4 + 4s t = s = 3 t = 3 Deretter nner vi punktet ved å bruke parameterfremstillingen for l ( ) 6 + x = + = = ( ) y = 5 3 = =

13 6 og bruker s for å kontrollere med parameterfremstillingen for m ( ) 3 x = = = ( ) 3 y = + = = De skjærer hverandre altså i punktet ( 48 3, 3 ) f ) Siden n danner en 45 med x-aksen, så kan vi si at retningsvektoren er [, ]. Da kan vi si [x, y] = [, ] + [, ]k n : x = + k y = + k Vil nå nne skjæringspunktene mellom l og n, så setter l = n + t = + k 5 3t = + k k = + t 5 3t = + ( + t) 5 3t = 3 + t 5t = k = + ( ) 5 t = 5 k = 9 5 Bestemmer punktene med parameterfremstillingen for l ( ) x = + = ( ) 3 y = 5 3 = Kontrollerer at dette også stemmer med parameterfremstillingen for n x = = 4 5 y = = 9 5 Det stemmer, og vi vet nå at felles punkt for l og n er ( 4 5, 9 5 Dersom du er interessert, nner du ere løsningsforslag på eksamensoppgaver.org ) SLUTT