Merki og Kerfi - Verklegt - Æfing 5. Albert Ingi Haraldsson

Transkript

1 Merki og Kerfi - Verklegt - Æfing 5 Albert Ingi Haraldsson 7. nóvember 2011

2 4.6 Amplitude Modulation and the Continuous-Time Fourier Transform In this exercise we will involve the signal, x(t) = m 1 (t)cos(2π f 1 t) + m 2 (t)sin(2π f 2 t) + m 3 (t)sin(2π f 1 t) (1) and several parameters that can be loaded into MATLAB from the file ctftmod.mat. In addition to the signal x(t) you also have loaded a lowpass filter, whose frequency response can be plotted by freqs(bf,af), modulation frequencies f1 and f2, two prototype signals dot and dash, a sequence of time samples t. The signal x(t) contains a simple messege. Your job is to decipher the message encoded in x(t) and complete the sentence "The future of technology lies in... ". The signal x(t) is of the form of Eq.(1), where f1 and f2 are given by the variables f1 and f2, resspectively. It is also known that each of the signals m 1 (t), m 2 (t) and m 3 (t) correspond to a single letter of the alphabet which has been encoded using International Morse Code, as shown in the following table: Tafla 1: Morse Code A - H O V - B - I P - - W - - C - - J Q X - - D - K - - R Y E L - S - Z - - F - M - - T G - - N - U - Basic Problems (a). Using the signals dot and dash, construct the signal that corresponds to the letter Z in Morse code, and plot it against t. As an example, the letter C is constructed by typing c = [dash dot dash dot]. Store your signal z(t) in the vector z. Lausn: Sjá MATLAB kóða í viðauka. 2

3 Mynd 1: Z á morskóða (b). Plot the frequency response of the filter using freqs(bf,af). Lausn: Sjá MATLAB kóða í viðauka. Mynd 2: Tíðnisvörun lághleypisíunnar 3

4 (c). The signal dot and dash are each composed of low frequency components such that their Fourier transforms lie roughly within the passband of the lowpass filter. Demonstrate this by filtering each of the tow signals, using ydash = lsim(b f, a f, dash, t(1 : length(dash))); ydot = lsim(b f, a f, dot, t(1 : length(dot))); plot the outputs ydash an ydot along with the original signals dash and dot. Lausn: Við sjáum út frá mynd (3) að dot og dash hafa ekki mikið breyst eftir að hafa farið í gegnum láhleypisíuna. Það sem hefur breyst er að útslag þeirra hefur skalast niður og þau hafa hliðrast smá í tíma. Mynd 3: Dot og dash eru merki sem tákna og - í morskóða. ydot og ydash eru dot og dash eftir að þau hafa verið send í gegnum lághleypisíuna. (d). When the signal dash is modulated by cos(2π f 1 t), most of the energy in the Fourier transform will move outside the passband of the filter. Create the signal y(t) by executing y=dash.*cos(2*pi*f1*t(1:length(dash)));. Plot the sgnal y(t). Also plot the output yo=lsim(bf,af,y,t). Do you get result that you would have expected? 4

5 Lausn: Hér fyrir neðan er mynd af dash margfaldað við cos(2π f 1 t) fyrir og eftir að hafa verið sent í gegnum lághleypisíuna. Mynd 4: y(t) = dash. cos(2π f 1 t). y 0 (t) er y(t) efrit að hafa verið sent í gegnum lághleypisíuna Með því að margfalda dash við cos(2π f 1 t) höfum við hækkað tíðnina á dash all verulega. Þegar við hleypum y í gegnum lághleypisíuna síast nánast allt úr y. Það sem er eftir er y0 sem hefur mjög lágt gildi miðað við y. Intermediate Problems (e). Destermine analytically the Fourier transform of each of the signals m(t)cos(2π f 1 t)cos(2π f 1 t) m(t)cos(2π f 1 t)sin(2π f 1 t) and m(t)cos(2π f 1 t)sin(2π f 2 t) in terms of M(jω), the Fourier transform of m(t). Lausn: Áður er við förum að finna CTFT af eftirfarandi merkjum skulum við athuga að CTFT af cos(ω 0 t) er cos(ω 0 t) πδ(ω ω 0 ) + πδ(ω + ω 0 ) Við þekkjum CTFT eiginleikann Nú skulum við skoða y(t) = s(t)x(t) Y(jω) = 1 (S X)(jω) 2π y(t) = x(t)cos(ω 0 t) 5

6 Hér fáum við Y(jω) = 1 (S X)(jω) 2π = 1 S(jξ)X(jω jξ)dξ 2π = 1 π[δ(ξ ω 0 ) + δ(ξ + ω 0 )]X(jω jξ)dξ 2π = 1 2 X(jω jξ) + 1 X(jω + jξ) 2 Nú ætti ekkert að vera erfitt að finna CTFT fyrir merkin. Merki 1 Við þekkjum x 1 (t) = m(t)cos(2π f 1 t)cos(2π f 1 t) = m(t)cos 2 (2π f 1 t) þar af leiðandi er Þá erum við komin með þetta cos 2 (2π f 1 t) = 1 2 cos(4π f 1t) x 1 (t) = 1 2 (m(t)cos(4π f 1t) + m(t)) X 1 (jω) = 1 4 M(jω j4π f 1) M(jω + j4π f 1) M(jω)) Merki 2 Við þekkjum svo þ.a. x 2 (t) = m(t)cos(2π f 1 t)sin(2π f 1 t) cos(t)sin(t) = 1 2 sin(2t) x 2 (t) = 1 2 m(t)sin(4π f 1t) X 2 (jω) = 1 j4 M(jω j4π f 1) 1 j4 M(jω j4π f 1) Merki 3 x 3 (t) = m(t)cos(2π f 1 t)sin(2π f 2 t) Þetta er aðeins flóknara og þurfum við að nota Euler s formula = 1 j4 m(t)(ej2π f1t + e j2π f1t )(e j2π f2t e j2π f2t ) = 1 j4 m(t)(ej2πt( f 1+ f 2 t) e j2πt( f 1 f 2 ) + e j2πt( f 2 f 1 ) e j2πt( f 2+ f 1 ) ) Við þekkjum CTFT eiginleikann þ.a. ejω 0 t 2πδ(ω ω 0 ) X 3 (jω) = 1 j2 (M(jω j2π( f 1 + f 2 )) M(jω j2π( f 1 f 2 ))+M(jω j2π( f 2 f 1 )) M(jω+ j2π( f 1 + f 2 )) 6

7 (f). Using your results from Part (e) and by examining the frequency response of the filter as plotted in Part (b), devise a plan for extracting the signal m 1 (2) from x(t). Plot the signal m 1 (t) and determine which letter is represented in Morse code by the signal. Lausn: Við skulum byrja á því að skoða merkið x(t) = m 1 (t)cos(2π f 1 t) + m 2 (t)sin(2π f 2 t) + m 3 (t)cos(2π f 1 t) Við sjáum hér að ef við myndum senda x(t) í gegnum lághleypisíuna þá myndi allt merkið skalast niður í nánast ekkert og nánast eingin leið til að greina m1,m2 og m3 út úr því. Skoðum lið e), við sjáum þar að með því að margfalda x(t) með cos(2π f 1 t) þá mun tíðnisvörun x(t) innihalda 1 2 M 1(jω) þ.e.a.s ef við margföldum x(t) með cos(2π f 1 t) og sendum það svo í gegnum lághleypisíuna þá mun allt merkið skalast niður í nánast ekkert nema 1 2 M 1(jω). Við skulum reyna á þetta. Hér fyrir neðan er mynd af x(t) cos(2π f 1 t) eftir að við höfum sent það í gegnum lághleypisíuna. Mynd 5: x(t) cos(2π f 1 t) eftir að hafa verið sent í gegnum lághleypisíuna Hér sjáum við greinilega að nánast eina sem situr eftir er 1 2 M 1(jω). morskóða (- ) eða D. Þetta mun vera á (g). Repeat Part (f) for the signals m 2 (t) and m 3 (t). Agent 008, where does the future of technology lie? Lausn: Við gerum það sama hér og í lið g nema margföldum x(t) með sin(2π f 2 t) til að fá m2 og sin(2π f 1 t) til að fá m3. Hér fyrir neðan er m 2 og m 3 síað úr x(t) sjá matlab kóða í viðauka. 7

8 Mynd 6: Efri: Er x(t) sin(2π f 2 t) sent í gegnum lághleypisíuna Neðri: Er x(t) sin(2π f 1 t) sent í gegnum lághleypisíuna Út frá myndinni sjáum við að m2 er S og m3 er P á morskóða. Svo 007 var að senda "The future of technology lies in DSP". Þar sem DSP stendur fyrir Digital signal processing. 8

9 5.2 Telephone Touch-Tone This exercise will teach you how the touch-tone system on the telephone uses signals of different frequencies to indicate which key has been pushed. The DTFT of a sampled telephone signal can be used to identify these frequencies. The sound you hear when you push a key is the sum of two sinusoids. The higher frequency sinusoid indicates the column of the key on the tuch-pad and the lower frequency sinusoid indicates the row of the key on the touch-pad. Tafla 2 shows the layout of a telephone keypad and the two DTFT frequencies corresponding to each digit, assuming the continuous-time waveform is sampled at 8192 khz. The figure also contains a table listing each digit and DTFT frequencies for that digit. For example, the digit 5 is represented by the signal d 5 [n] = sin(0.5906n) + sin(1.0247n). ω column ω row Digit ω row ω column Tafla 2: DTFT frequencies for touch=tone signals sampled at 8192 Hz Basic Problems (a). Create row vectors d0 to d9 to represent all 10 digits for the interval 0 n 999. Listen to each signal using sound. For example, sound(d2,8192) should sound like the tone you hear when you push a 2 on the telephone. Lausn: Ég hlustaði á d0-d9 og bar þau við hljóðin í heimasímanum mínum og þau komu út eins heyrðist mér. Sjá MATLAB kóða í viðauka. (b). The function fft can be used to compute N samples of the DTFT of a finite-length signal at frequencies ω k = 2πk/N. For exemple X = fft(x,2048) computes 2048 evenly spaced samples of X(ejω) at ω k = 2πk/2048 for 0 k Use fft to compute samples of D 2 (ejω) and 9

10 D 9 (ejω) at ω k = 2πk/2048. Define omega to be a vector containing ω k for 0 k Plot the magnitudes of the DTFTs for these signals, and comfirm that the peaks fall at the frequncies specified in Tafla 2. Lausn: Myndin hér að neðan sýnir styrk D 2 (ejω) og D 9 (ejω) (e. magnitude). Mynd 7: D 2 (ejω) og D 9 (ejω) út frá myndinni sjáum við að útslögin eiga sér stað þegar ω k og ω k fyrir D 2 (ejω). Ef við skoðum fyrir D 9 (ejω) sjáum við að ω k og ω k Ef við förum með þessi gildi í Töflu 2 sjáum við að þetta eru tölunar 2 og 9 sem passar fullkomlega. (c). Define space to be a row vector with 100 samples of silence using zeros. Define phone to be your phone numer by appending the appropriate signals and space. For instacne, if your phonenumber was , you would type phone = [d5spaced5spaced5spaced7spaced3spaced1spaced9]; Play your phone number using sound and verify that it sounds the same as when you dial it on a touch-tone phone. Lausn: Ég er ekki með neitt tóneyra en mér heyrst númerið mitt spilað hér sé nánast eins og í heimasímanum. Sjá MATLAB kóða fyrir nánari lausn. Intermediate Problems For these problems, you will learn to decode phone numbers from their tuch-tones. The phone numbers to be decoded are in a file called touch.mat. The vectors x1 and x2 contain sampled versions of the sequence of touch-tones representing two different phone numbers. As in Part (c), the signals consist of 7 digits of 1000 samples each, separated by 100 samples of silence. 10

11 (d). Using fft, compute 2048 evenly spaced samples of the DTFT for each digit of x1. In order to apply fft to each digit separately, you will deed to segment the signal into seven digits using the information you have about the relative lengths of the digits and spaces, or by plotting signal and identifying when each digit starts and stops. To determine the digits of the telephone number represented by x1, plot the magnitude of the DTFTs and compare the peak frequncies of the signals with these shown in Tafla 2. As a check for your answer, the sum of the digits should be 41. Lausn: Hér fyrir neðan er tíðnisvörun allra talnanna í x1. Við skulum skoða hverja tölu fyrir sig og sjá við hvaða gildi ω k hefur stærstu útslögin og stinga þeim svo inn í töflu 2 og sjá hvaða tölu við fáum. Mynd 8: Tíðnisvörun allra talnanna í símanúmerinu sem er í x1 Út frá myndinni sjáum við að símanúmerið er Við getum ályktað að þetta sé rétt því summa talnanna er 41. (e). Repeat Part (d) for the signal x2, and decode the digits of this phone number as well. These digits may not sum to 41. Lausn: Við gerum nákvæmlega sama og í lið d. Hér fyrir neðan er mynd af tíðnisvörun talnanna í x2. Út frá myndinni sjáum við að x2 innihélt númerið

12 Mynd 9: Tíðnisvörun talnanna í x2 Lokaorð Þetta verkefni gekk bara mjög vel fyrir sig og fannst mér þetta mjög skemmtilegt. 12

13 Viðauki Matlab kóðar 4.6 Amplitude Modulation and the Continuous-Time Fourier Transform %% K a f l i 4. 6 Liður a load ctftmod. mat z = [ dash dash dot dot ] ; f i g u r e ( 1 ) p l o t ( t, z ) ; y l a b e l ( Z ( Morse Code ) ) %% Liður b f i g u r e ( 2 ) freqs ( bf, af ) %% Liður c ydash=lsim ( bf, af, dash, t ( 1 : length ( dash ) ) ) ; ydot=lsim ( bf, af, dot, t ( 1 : length ( dot ) ) ) ; f i g u r e ( 3 ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( ydash ) ), ydash ) y l a b e l ( ydash ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( ydot ) ), ydot ) y l a b e l ( ydot ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dash ) ), dash ) y l a b e l ( dash ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dot ) ), dot ) y l a b e l ( dot ) %% Liður d y=dash. cos ( 2 pi f1 t ( 1 : length ( dash ) ) ) ; yo=lsim ( bf, af, y, t ( 1 : length ( y ) ) ) ; f i g u r e ( 4 ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dash ) ), y ) y l a b e l ( y ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dash ) ), yo ) y l a b e l ( y_o ) %% Liður e %% Auka y=y. cos ( 2 pi f1 t ( 1 : length ( dash ) ) ) ; yo=lsim ( bf, af, y, t ( 1 : length ( y ) ) ) ; f i g u r e ( 5 ) 13

14 subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dash ) ), y ) y l a b e l ( y ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( dash ) ), yo ) y l a b e l ( y_o ) %% Liður e x_1=x. cos ( 2 pi f1 t ( 1 : length ( x ) ) ) ; m_1=lsim ( bf, af, x_1, t ( 1 : length ( x_1 ) ) ) ; f i g u r e ( 6 ) p l o t ( t ( 1 : length ( m_1 ) ), m_1 ) y l a b e l ( m_1 ) %% Liður f x_2=x. s i n ( 2 pi f2 t ( 1 : length ( x ) ) ) ; m_2=lsim ( bf, af, x_2, t ( 1 : length ( x_2 ) ) ) ; f i g u r e ( 7 ) subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( m_2 ) ), m_2 ) y l a b e l ( m_2 ) x_3=x. s i n ( 2 pi f1 t ( 1 : length ( x ) ) ) ; m_3=lsim ( bf, af, x_3, t ( 1 : length ( x_3 ) ) ) ; subplot ( ) p l o t ( t ( 1 : length ( m_3 ) ), m_3 ) y l a b e l ( m_3 ) 5.2 Telephone Touch-Tone %% K a f l i 5. 2 Liður a n = 0 : ; fs =8192; d0=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d1=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d2=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d3=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d4=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d5=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d6=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d7=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d8=s i n ( n )+s i n ( n ) ; d9=s i n ( n )+s i n ( n ) ; %% Liður b k = 0 : ; omega=2 pi. k / ; D2= f f t ( d2, ) ; D9= f f t ( d9, ) ; f i g u r e ( 1 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( D2 ) ) y l a b e l ( D2 ) subplot ( ) 14

15 p l o t ( omega, abs ( D9 ) ) y l a b e l ( D9 ) %% Liður c space=zeros ( 1, ) ; %% Númerið mitt phone = [ d6 space d9 space d1 space d3 space d1 space d2 space d3 ] ; sound ( phone, fs ) %% Liður d load touch. mat %% Tölunar einangraðar úr x1 x11=x1 ( 1 : ) ; x12=x1 ( : ) ; x13=x1 ( : ) ; x14=x1 ( : ) ; x15=x1 ( : ) ; x16=x1 ( : ) ; x17=x1 ( : ) ; %% Tíðnisvörun talnanna í x1 X11= f f t ( x11, ) ; X12= f f t ( x12, ) ; X13= f f t ( x13, ) ; X14= f f t ( x14, ) ; X15= f f t ( x15, ) ; X16= f f t ( x16, ) ; X17= f f t ( x17, ) ; %% Stærð t í ð n i s v ö r u n i n a r %% teiknuð upp f i g u r e ( 2 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X11 ) ) y l a b e l ( Tala 1 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X12 ) ) y l a b e l ( Tala 2 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X13 ) ) y l a b e l ( Tala 3 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X14 ) ) y l a b e l ( Tala 4 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X15 ) ) y l a b e l ( Tala 5 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X16 ) ) y l a b e l ( Tala 6 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X17 ) ) y l a b e l ( Tala 7 ) 15

16 %% Liður e %% Tölunar einangraðar úr x2 x11=x2 ( 1 : ) ; x12=x2 ( : ) ; x13=x2 ( : ) ; x14=x2 ( : ) ; x15=x2 ( : ) ; x16=x2 ( : ) ; x17=x2 ( : ) ; %% Tíðnisvörun talnanna í x2 X11= f f t ( x11, ) ; X12= f f t ( x12, ) ; X13= f f t ( x13, ) ; X14= f f t ( x14, ) ; X15= f f t ( x15, ) ; X16= f f t ( x16, ) ; X17= f f t ( x17, ) ; %% Styrkur t í ð n i s v ö r u n i n a r %% teiknuð upp f i g u r e ( 3 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X11 ) ) y l a b e l ( Tala 1 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X12 ) ) y l a b e l ( Tala 2 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X13 ) ) y l a b e l ( Tala 3 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X14 ) ) y l a b e l ( Tala 4 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X15 ) ) y l a b e l ( Tala 5 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X16 ) ) y l a b e l ( Tala 6 ) subplot ( ) p l o t ( omega, abs ( X17 ) ) y l a b e l ( Tala 7 ) 16