Eksamen hva kreves av kompetanse og hvordan få den?

Transkript

1 Eksamen hva kreves av kompetanse og hvordan få den? Landskurs i matematikk Tor Espen Kristensen 6. mars 2017 Stord vidaregåande skule

2 Viktig kompetanse 0

3 Fra forskrift til opplæringslova 3-25 Eksamen skal vere i samsvar med læreplanverket. [ ] Eksamenskarakteren skal fastsetjast på individuelt grunnlag og gi uttrykk for kompetansen til eleven eller privatisten slik denne kjem fram på eksamen. 1

4 Hva vil det si å ha matematisk kompetanse?

5 Hva er matematisk kompetanse? Matematisk kompetanse 2

6 Hva er matematisk kompetanse? Matematisk kompetanse Fakta og ferdighter 2

7 Hva er matematisk kompetanse? Matematisk kompetanse Fakta og ferdighter Dette andre? 2

8 AT SPØRGE OG SVARE I, MED, OM MATEMATIK TANKEGANGS- KOMPETENCE PROBLEMBEHAND- LINGSKOMPETENCE MODELLERINGS- KOMPETENCE RÆSONNEMENTS- KOMPETENCE HJÆLPEMIDDEL- KOMPETENCE REPRÆSENTATIONS- KOMPETENCE SYMBOL- OG FORMA- LISMEKOMPETENCE KOMMUNIKATIONS- KOMPETENCE AT OMGÅS SPROG OG REDSKABER I MATEMATIK 3

9 Matematisk kompetanse Fra Formålet med faget Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke og vurdere ulike hjelpemiddel og det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget. 4

10 Matematisk kompetanse Å spørre og svare i, med og om matematikk Tankegangskompetanse Problembehandlingskompetanse Modelleringskompetanse Resonnementskompetanse Å omgås språk og redskaper i matematikk Representasjonskompetanse symbolbruk og formalisme Kommunikasjonskomp. Hjelpemiddelkompetanse 5

11 Trådmodellen 6

12 Eksempel (S1 Våren 2016) 7

13 Fra eksamensveiledningen 8

14 Fra eksamensveiledningen 8

15 Eksemepel fra 1T Våren 2016, del 2 9

16 Eller? Figuren til høyre er satt sammen av to kvadrat. Omkretsen av hele figuren er 16. a) Forklar at x + y = 4 b) Vis at det samlede arealet F til kvadratene er gitt ved F(x) = 2x 2 8x + 16 x y y c) Bestem x og y slik at det samlede arealet blir minst mulig. x 10

17 Eksempel: R2 Høsten 15, del 2 11

18 Eksempel: R2 Høsten 15, del 2 12

19 Problemløsningskompetanse

20 Problemløsningsoppgaver Kantouski: A task is said to be a problem if its solution requires that an individual combines previously known data in a way that is new to him or her. 13

21 Eksempler Ikke problemløsningsoppgaver? Eksempel 1 Regn ut Eksempel 2 Regn ut : 59 Trolig problemløsningsoppgave for noen elever (og andre?) Eksempel 3 Hvor mange nuller ender 100! på? Eksempel 4 Hvilket tall er størst av eller 99!? 14

22 Polyas heuristikk Forstå problemet Legge en plan Gjennomføre planen Se tilbake Generalisere 15

23 Problemløsningsstrategier Lete etter et mønster Lage en tabell Sette opp en liste over alle muligheter Bruk symmetri Se på spesialtilfeller Lage en tegning/figur/graf Gjette og kontrollere Arbeide baklengs Løse et enklere (eller liknende) problem 16

24 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? 17

25 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

26 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

27 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

28 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

29 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

30 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde. Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

31 Eksempel Ole organiserer t-skjortene sine. Det viser seg at halvparten er hvite, en sjettedel er blå og fire er røde Hvor mange t-skjorter har Ole? x = 1 2 x x

32 Eksempel Oppgave Gitt en sirkel og et punkt som ligger utenfor sirkelen. Konstruer en linje l som tangerer sirkelen og som går gjennom punktet. P S 18

33 Eksempel Hva med denne: 19

34 Eksempel fra R1 Ekempel 1 Vis, uten å bruke digitale verktøy, at ikke er et primtall. Eksempel 2 Beskriv det geometriske stedet bestående av alle punkt i planet som ligger dobbelt så langt fra (0,0) som fra (3, 0). 20

35 Eksempel fra R1 Ekempel 1 Vis, uten å bruke digitale verktøy, at ikke er et primtall. Eksempel 2 Beskriv det geometriske stedet bestående av alle punkt i planet som ligger dobbelt så langt fra (0,0) som fra (3, 0) er nesten lik =

36 Eksempel fra R1 Ekempel 1 Vis, uten å bruke digitale verktøy, at ikke er et primtall. Eksempel 2 Beskriv det geometriske stedet bestående av alle punkt i planet som ligger dobbelt så langt fra (0,0) som fra (3, 0) er nesten lik = = = (200 3)( ) 20

37 Metakognisjon

38 Metakognisjon Forstå problemet Legge en plan Gjennomføre planen Monitoring Regulering Se tilbake Generalisere 21

39 Eksempel Oppgave Tre punkter på en gitt sirkel danne en trekant. Hvordan må disse punktene ligge for at arealet til trekanten skal bli størst mulig? Begrunn svaret så godt du kan. A C B 22

40 Elevenes aktivitet Activity 5. WHAT MATH PROFICIENCY IS AND HOW TO ASSESS IT 67 Read Analyze Explore Plan Implement Verify Elapsed Time (Minutes) 23

41 En matematiker Gitt en trekant T med grunnlinje B. Vis at det alltid er mulig å konstruere, med passer og linjal, en linje parallell med B som deler T i to deler med samme areal. Kan du på samme måte dele T i fem deler med samme areal? 24

42 En matematiker 68 ALAN H. SCHOENFELD Activity Read Analyze Explore Plan Implement Verify Elapsed Time (Minutes) 25

43 Monitoring og regulering 5. WHAT MATH PROFICIENCY IS AND HOW TO ASSESS IT ALAN H. SCHOENFELD Activity Read Analyze Explore Plan Implement Verify Elapsed Time (Minutes) Figure 1. A time-line representation of a problem solving attempt. Reprinted from [Schoenfeld 1992], with permission. graph above indicates, failing to do so can guarantee failure at problem solving: if one is fully occupied doing things that do not help to solve the problem, one may never get to use the right knowledge in the right ways. Although I have told this story as an anecdote, there are lots of data to back it up. Over more than 25 years, more than half of the hundreds of problem sessions that my research assistants and I have videotaped have been of the type represented in Figure 1. This kind of finding has been widely replicated; for a general discussion see [Lester 1994] or [Schoenfeld 1987]. As was the case with strategies, the story here is that (a) effective problem solvers behave differently; and (b) students can learn to be much more efficient Activity Read Analyze Explore Plan Implement Verify Elapsed Time (Minutes) Figure 2. A time-line representation of a mathematician s problem solving attempt. Reprinted from [Schoenfeld 1992], with permission. a great deal on issues of metacognition, acting as a coach while groups of students worked problems. (That is, I would regularly intervene to ask students if they could justify the solution paths they had chosen. After a while, the students began to discuss the rationales for their problem solving choices as they worked the problems.) As Figure 3 indicates, the students hardly became ideal problem solvers. In the particular solution represented in Figure 3, the students jumped into a solution with little consideration after reading the problem. However, they reconsidered about four minutes into the solution, and chose a plausible 26 solution

44 Problemløsning Alan H Schoenfeld: Det er ikke kun det du kan som er avgjørende, men snarere når og hvordan du bruker det du kan. Foto: Ambassadors Football USA på Flickr, cba 27

45 TIMSS 1999 Video Study Gjennomsnittlig tid per oppgave i 8. klasse Tid i minutt Australia Tsjekkia Hong Kong Japan Nederland Sveits Østeriket 28

46 TIMSS 1999 Video Study 32 x

47 TIMSS 1999 Video Study 50 x 30 30

48 TIMSS 1999 Video Study 50 x 30 30

49 TIMSS 1999 Video Study 30

50 Progresjon

51 Progresjon i en elevs matematiske kompetanse Teksnisk nivå Aksjonsradius Dekningsgrad

52 Progresjon i en elevs matematiske kompetanse Teksnisk nivå Aksjonsradius Dekningsgrad 31

53 Hvordan finne gode problemløsningsoppgaver? 31

54 Eksempel Oppgave Regn ut (x + 7) 2 32

55 Eksempel Oppgave Regn ut (x + 7) 2 Oppgave Ove regner ut (x + 7) 2 og får feil svar x Forklar hvor han gjorde en feil. 32

56 Eksempel fra 1T Til høyre ser du et rektangel ABCD som er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i S. D C a) Bestem radius i sirkelen dersom rektangelet skal ha lengde 10,0 og bredde 5,0. Et rektangel med lengde 2x er innskrevet i en sirkel med radius 10. A S r x B b) Vis at arealet av det innskrevne rektangelet kan skrives som A(x) = 4x 100 x 2 c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengden og bredden i dette rektangelet. 33

57 Eksempel Til høyre ser du et rektangel ABCD som er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i S og radius 10. Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengden og bredden i dette rektangelet. D S C A B 34

58 Problemløsning Lester peker på følgende fire punkt: 1. Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsningsevnen sin. 35

59 Problemløsning Lester peker på følgende fire punkt: 1. Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsningsevnen sin. 2. Problemløsningsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 35

60 Problemløsning Lester peker på følgende fire punkt: 1. Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsningsevnen sin. 2. Problemløsningsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3. Elever må tro på at læreren synes at problemløsning er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 35

61 Problemløsning Lester peker på følgende fire punkt: 1. Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsningsevnen sin. 2. Problemløsningsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3. Elever må tro på at læreren synes at problemløsning er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4. De fleste elever tjener på systematisk undervisning i problemløsning. 35

62 Takk for oppmerksomheten! 35