Statiske magnetfelt Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-79 Trondheim, Norge 9. mars Sammendrag I dette eksperimentet målte vi med en aksial halleffektprobe de statiske magnetfeltene som genereres rundt strømførende enkeltspoler, Helmholtzspoler og solenoider. Vi sammenlignet eksperimentelle data med teoretisk beregnede verdier, og vår utførelse av eksperimentet resulterte i et gjennomsnittlig eksperimentelt avvik på.%. Innledning Jean-Baptiste Biot og Félix Savart utførte i 8 eksperimenter for å måle magnetiske felt rundt strømførende ledere. I lys av resultatene av disse eksperimentene satte de opp en lov som beskriver bidragene til et magnetfelt fra infinitesimale strømelementer i en ledning. I dette eksperimentet skal vi forsøke å måle disse feltene og se om Biot- Savarts lov tilnærmet beskriver våre observasjoner. Rapporten gir en gjennomgang av teorien bak beregningene, samt en beskrivelse av utstyret og metodene som ble brukt i målingene. Videre følger resultater og en diskusjon med tilhørende feilanalyse. Rapporten rundes av med en konkluderende del hvor resultatene av forsøket og mulige anvendelser av disse drøftes. Teoretisk bakgrunn. Magnetfelt fra strømsløyfe Biot-Savarts lov sier at for en strøm I i en ledning s er feltbidraget i et punkt P fra et strømelement Ids lik µ Ids ˆr π r, () hvor r = r ˆr er posisjonsvektoren fra punktet P til ledninglementet ds og µ er den magnetiske permabiliteten i tomt rom. Superposisjonsprinsippet gjelder for disse bidragene, derfor vil feltet B som genereres i et punkt P være gitt ved kurveintegralet µ Ids ˆr π s r. () TFY55 Elektrisitet og magnetisme, laboratoriekurs Våren, Gruppe, Team..6 6 H/m
Av symmetri har vi kansellereing av komponentene i bidragene som står normalt på aksen som sammenfaller med probebevegelsen, heretter kalt x-aksen. Dette fører til at resultantbidragene vil være redusert til db = µ I ds π x sin α, () + ξ hvor α er vinkelen mellom x-aksen og ˆr-vektor, altså trigonometrisk identisk med ξ, der ξ er radiusen for strømsløyfa. ds er ledningelementet, og uttrykt x +ξ ved ξ vi har at ds = ξ dθ. Uttrykket for differensialet av B-feltet forenkles til µ Iξ dθ () π (x + ξ ) / Integrasjon over sløyfa s ; θ π gir oss det genererte feltet s.f.a posisjon langs x-aksen B = µ ) / I ( + x ξ ξ (5). Kort spole For en kort spole med N viklinger kan vi beregne en tilnærming for magnetfeltet ved å summere N antall sløyfer med ξ lik ξ, altså gjennomsnittlig radius. Vi har da for en kort spole. Helmholtzspoler B N µi ξ ( + x ξ ) /. (6) Helmholtzspoler er et oppsett som består av to identiske spoler plassert i en avstand a fra hverandre på en slik måte at spolenes magnetfelt sammenfaller langs en felles akse. Fra superposisjonsprinsippet har vi at det totale feltet B er summen av disse to magnetfeltene. Feltene kan tilnærmes på samme måte som for en enkelt spole, altså har vi at B N µi ξ. Solenoide ( + (x a/) ξ ) / + ( + ) / (x + a/) ξ. (7) En solenoide består av N sløyfer tett plassert over en lengde l. Magnetfeltet i et punkt P langs x-aksen kan vi regne ut ved å ta utgangspunkt i likning (5). Hvis vi lar I t være den totale strømmen gjennom spolen, kan vi sette opp N I(x) = I t l x di(x) = I N t dx. (8) l Vi kan benytte uttrykket vi fant for B i (5) og sette opp et uttrykk for differensialet til magnetfeltet langs x-aksen. db = µ ) / I t N ( + x ξl ξ dx = µ I t N ξ dx (9) l (ξ + x ) /
Hvis vi lar θ være vinkelen mellom x-aksen og randen på solenoiden, har vi at tan θ = ξ/x x = ξ/ tan θ Derivasjon gir dx = R sin θdθ. Da vil sin θ = Innsatt i uttrykket for db gir oss at B = µ I t N l ξ (ξ + x ) dx = ξ (ξ + x ) / / ξ sin θdθ () θ θ sin θdθ = µ IN (cos θ cos θ ), () l med cos θ = x/ x + ξ og cos θ = (l x)/ (l x) + ξ Eksperimentelt For å gjøre dette eksperimentet ble det brukt følgende utstyr: Et Gaussmeter for å måle styrken og retningen til magnetfeltet med en aksial hallprobe. Et nullfeltkammer ble brukt for å nullstille Gaussmeteret uten påvirkning av magnetiske strøfelt som jordfeltet og induserte felt fra V nettledninge. To korte spoler med viklinger fordelt som viklinger/lag x 5 lag. Indre diameter er 6 mm, og ytre diameter er 5 mm. Gjennomsnittlig radius R er lik 7 cm. En solenoide med 97 viklinger med lengde 98 mm og diameter mm. (R = 5 mm) Et multimeter for å måle strømstyrken I gjennom spolene/solenoiden. En kraftforsyning for å forsyne oppsettet med en konstant strømstyrke mens målinger av det magnetiske feltet foretas. Eksperimentet har tre deler hvor feltet fra én spole måles, så måles feltet mellom to spoler og til sist måles feltet i en solenoide. To spoler i et oppsett med felles spoleakse, kalles en Helmholtzspole. Størrelsen a betegner avstanden mellom spolene. Alle målingene ble foretatt på aksen gjennom spolene/solenoide med den aksiale hallproben rettet langs med aksen. Kraftforsyningen ble koblet opp som en strømkilde med multimeteret i serie for nøyaktig strømmåling. I alle deleksperimentene ble strømstyrken I holdt konstant på A. Midtpunktet på spolen/solenoiden ble funnet ved å utnytte symmetrien til feltet. Ved å måle en fast feltstyrke f. eks. Gauss på hver side av spolen/solenoiden også dele avstanden mellom punktene med to, ble midtpunktet funnet nøyaktig. Det ble tatt en måleserie av de forskjellige oppsettene, og en tilsvarende teoretiske verdier ble beregnet.
x x z V V V A (a) Kort spole A (b) Helmholtzspole A (c) Solenoide Figur : Skissser av det forskjellige oppsettene. A representerer multimeteret, og V er kraftforsyningen. Resultat Måleresultatene fra eksperimentet ble behandlet med et skript i MATLAB som tok hensyn til spolenes utstrekning i utrekningen av det magnetiske feltet. Måleseriene og de teoretiske verdiene er plottet sammen for hvert av de forskjellige oppsettene med et tilhørende plott som viser den relative differansen mellom den målte og den teoretiske verdien. Den relative differansen ble beregnet etter differanse = B målt B teoretisk B teoretisk %. () Figur viser resultatene for spolen i figur (a). Figur, og 5 viser resultatene for Helmholtzspolen i figur (b) med avstanden a mellom spolene hhv. lik R/, R og R. Figur 6 viser resultatene for solenoiden i figur (c).
5 B (G) 5 5.5..5..5.5..5. 5.5..5..5.5..5. Figur : Plott av det magnetiske feltet langs med og på spoleaksen til en enkelt spole, og differansen fra de teoretisk beregnede verdiene. Nullpunktet på x-aksen tilsvarer sentrum i spolen. 5
6 5 a = R/ Sentrum av spole B (G).5..5..5.5..5..5.5.5.5..5..5.5..5..5 Figur : Plott av det magnetiske feltet langs med og på spoleaksen til en Helmholtzspole, og differansen fra den teoretisk beregnede verdien. Nullpunktet på x- aksen tilsvarer punktet på spoleaksen som ligger like langt fra begge spolens sentrum. Avstanden mellom spolene er a = R/. B (G) 5 a = R Sentrum av spole.5..5..5.5..5..5.5.5.5.5..5..5.5..5..5 Figur : Plott av det magnetiske feltet langs med og på spoleaksen til en Helmholtzspole, og differansen fra de teoretisk beregnede verdiene. Nullpunktet på x- aksen tilsvarer punktet på spoleaksen som ligger like langt fra begge spolens sentrum. Avstanden mellom spolene er a = R. 6
B (G) 5 a = R Sentrum av spole.5..5..5.5..5..5.5..5..5.5..5..5 Figur 5: Plott av det magnetiske feltet langs med og på spoleaksen til en Helmholtzspole, og differansen fra de teoretisk beregnede verdiene. Nullpunktet på x- aksen tilsvarer punktet på spoleaksen som ligger like langt fra begge spolens sentrum. Avstanden mellom spolene er a = R. 8 B (G) 6.......5 z (m).......5 z (m) Figur 6: Plott av det magnetiske feltet langs med og på solenoideaksen, og differansen fra de teoretisk beregnede verdiene. Nullpunktet på z-aksen tilsvarer enden av solnoiden. 7
5 Diskusjon Som kan sees i resultatet, så er den gjennomsnittlige relative feilen liten. Det er godt samsvar mellom verdier beregnet fra Biot-Savarts lov () og verdier målt med Halleffektproben. Ved å derivere likningen (7) for det magnetiske feltstyrken på aksen gjennom en Helmholtzspole oppdaget vi at db dx = d B dx = d B dx =, når a = R. Dette antydet at denne geometrien ville gi et meget godt homogent magnetfelt midt i mellom spolene. Dette gjenspeiles tydelig i plottet i figur. Dette gjør at Helmholtzspoler er en meget god måte å fremstille et spesialt godt homogent magnetfelt som ofte er nødvendig i forbindelse med eksperimenter og vitenskaplig utstyr som massespektrometre. Den viktigste systematiske feilen i dette eksperimentet ligger i spolenes fysiske utstrekning. I utledningen av det magnetiske feltet fra en spole, blir det antatt at spolen ikke har noen fysisk utstrekning, men dette er ikk realiteten. Dette løste vi ved å beregne feltet fra individuelle spoler og benytte superposisjonsprinsippet for å bestemme feltstyrken. Dette ble gjort numerisk på datamaskin ved å beregne feltet for hver spole med en unik x-posisjon på spoleaksen og radius, og så summere. Selv om denne metoden er bedre enn å anta at spolene har ingen utstrekning, er den ikke helt korrekt. Dette er fordi det er ikke individuelle spoler, men en sammenhengende kobbertråd som er viklet ganger. Derfor ville et kurveintegral over en parameterisert kurve som representerer kobbertrådens viklinger ville vært bedre løsning, men nøyaktigheten ville ikke nødvendigvis blitt mye bedre. I et slikt integral vil heller ikke y-komponenten kanselere, så B vil ikke kun gå i x-retning. Siden Halleffektproben er aksiell vil kun feltstyrkekomponenten langs x-aksen måles. Mulige magnetiske strøfelt som kan forstyrre målingene er jordfeltet, felt fra nettledinger og metaller i rommet hvor eksperimentet ble gjennomført. Angående jordfelt så var retningen til feltet stilt normal på halleffektproben i oppsettet vårt. Siden det ble benyttet en aksiell probe vil innvirkningen fra jordfeltet være minimal. I tillegg til dette så var det spolen/solenoiden som flyttet seg i eksperimentet, mens proben var fastmontert slik at det ikke ville være variasjoner i jordfeltet. En rask utregning viser at nettledinger i vegger ikke bidrar nevneverdig til feilen i målingen. Selv om Biot-Savarts lov gjelder kun for kostant strømstyrke, holder den ganskje bra for høye nok frekvenser av vekselspenning. I et worst case scenario har vi 6 A strømstyrke i nettledningen, og oppsettet i ca. avstand m fra veggen: B θ (r) = µ I πr B θ ( m) = mg. Den totale gjennomsnittlige relative feilen i alle oppsettene er, %. Hvis man ser på feilplottene ser man ikke noen klar sammenheng mellom hvor stor den relative feilen er og hvor på aksen verdien måles. Dette gjør det mer sannsynlig at feilen er forårsaket av tilfeldige feil enn systematiske målefeil. 8
6 Konklusjon Måleresultatene stemmer meget godt overens med det Biot-Savarts lov () forutsier om magnetfeltene rundt spoler og solenoider. Feltet i en Helmholtzspole med avstand lik radiusen til spolene mellom spolene gir opphav til et spesielt godt homogent magnetfelt som har mange anvendelser i vitenskapelig utstyr som f. eks. massespektrometre. Referanser [] Knut Gjerden, Egil Vlandsmyr Herland, Iver Bakken Sperstad, Mari Helene Farstad, Troels Arnfred Bojesen, Amund Gjerde Gjendem, og Thor Bernt Mel. Laboratorium i emne TFY55/FY Elektrisitet og magnetisme for studenter ved studieprogrammene MTFYMA, MLREAL, BFY, BKJ. NTNU, Trondheim,. 9