Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011
Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker
3 i
3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0
3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 Løsningene er x = ±i
3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 Løsningene er x = ±i i = 1
4 Eulers identitet e 1 x = cos x + 1 sin x e i x = cos x + i sin x e i π = 1
5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a
5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x).
5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)!
5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. f(x) = f(a) + f (a)(a b) + f (a) 2! R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! (a b) 2 + + f (n) (a) (a b) n + R n (x) n!
6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka.
6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka).
6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka). Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å forstå teoremet.
Kapittel 8.10. Binomialrekker
8 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke
8 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke 1 + m x + m(m 1) x 2 m(m 1)(m 2) + x 3 + 2! 3! m(m 1) (m n + 1) + x n + n!
9 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) ( m(m 1) m,..., = 2! n) m(m 1) (m n + 1). n!
9 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) Definisjon (Binomialrekke) Binomial rekken til (1 + x) m er ( m(m 1) m,..., = 2! n) 1 + k=1 ( ) m x k. k m(m 1) (m n + 1). n!
10 Eksempler Binomialrekken til er Binomialrekken til er
10 Eksempler Binomialrekken til er (1 + x) 1? Binomialrekken til er
10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til er
10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til 3 1 + x? er
10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til 3 1 + x? er 1 + 1 3 x 1 9 x 2 + 5 81 x 3 10 243 x 4 +
Kapittel 15.1. Løsninger, retningsfelt og Picards teorem
12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger
12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger
12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 2 d dx y = y + sin x er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger
12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 2 d dx y = y + sin x 3 x dy dx = y 2 er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger
13 Løsning av differensiallikning Definisjon En deriverbar funksjon y(x) som er definert på et intervall I kalles for en løsning av y = f(x, y) hvis for alle verdier av x I y (x) = f(x, y(x))
14 Løsning av differensiallikning Eksempel Funksjonen y(x) = e x 1 2 cos x 1 2 sin x er løsning til likningen d dx y = y + sin x
15 Generell løsning Definisjon (Generell løsning) En generell løsning er familien av alle løsninger Eksempel Vis at funksjonen y(x) = c x, der c er en vilkårlig konstant, er løsninger til liknigen y = y/x, x > 0.
16 Første-ordens initialverdiproblem Definisjon Differensialikningen y = f(x, y) kombinert ved startverdibetingelsen y(x 0 ) = y 0 kalles for et første-ordens initialverdiproblem. Eksempel Vis at y(x) = 2e x x 1 er løsning av initialverdiproblemet y = y + x, y(0) = 1.
17 Retningsvektorfelt for y = y sin x 2 1 4 3 2 1 1 1 2 3 4 2