OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 (Tall i blått angir utgave 6.) Avsn. 6.2(6.3): 9, 20 Avsn. 6.3(6.2): 19, 51(45). Avsn. 6.5: 13, 23, 31 Oppgaver til seminaret 17/11 Oppgaver til gruppene uke 47 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.1 35 ( ) Avsn. 6.2(6.3) 4, 5, 12, 13, 14, 16, 21, 28 Avsn. 6.3(6.2) 2, 8, 9, 29, 35, 52(46) Avsn. 6.5 1, 6, 11, 24, 30, 35 46(44) Avsn. 7.1 21 Avsn. 7.9 7, 10 ( ) På settet G.1, G.2, G.3, G.6, G.7, G.4, G.5 G.8, G.9 ( ) Denne oppgaven er et godt eksempel på at en løsning y på en differensialligning ikke alltid kan skrives eksplisitt som en funksjon av x. (Merk også at de konstante løsningene y(x) = 0 og y(x) = 1 mangler i eldre utgaver av løsningsmanualen.) Se også Eks. 1 i 7.9 i læreboken. ( ) Rekursjonsformelen for integralet I n = dx (x 2 +a 2 ) n man utleder i denne oppgaven: I n = x 2n 3 2(n 1)a 2 (x 2 + a 2 + ) n 1 2(n 1)a 2 I n 1 er nyttig fordi uttrykk av denne typen er ett av uttrykkene vi reduserer integraler av rasjonale funksjoner til etter polynomdivisjon, delbrøksoppspalting og fullføring av kvadratet i 6.2(6.3), se også lysarkene fra forelesning på http://folk.uib.no/st00895/mat111-h17/intrasjfn2017-handout.pdf Når dere har oversikt over integrasjonsteknikkene i 5.6, 6.1, 6.2, 6.3, kan dere gå løs på oppgavene under Review Exercises on Techniques of Integration på slutten av Kap. 6. Disse er ikke ordnet etter metode og er derfor utmerket trening. Les også Summary of Techniques of Integration rett før. Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 24/11. Obligatoriske oppgaver Ingen nye oppgaver, men husk at også stoffet fra denne uken er eksamensaktuelt! Husk innleveringsfristen for Obligatorisk innlevering 4 mandag 20/11 kl 14:00. 1
2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-H06-Oppg. 3) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 1)
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 3 OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-V00-Oppg. 1) OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 5)
4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V07-Oppg. 7) OPPGAVE G.6 (Eksamen NTNU) En robåt ligger i avstand a fra kaien og er fortøyet i punktet O med et tau som har lengde a. En jente løsner fortøyingen og går langs kaikanten mens hun trekker båten etter seg med tauet, som hele tiden er stramt. Båtens baug følger den stiplede kurven i figuren. Tauet er hele tiden tangent til denne kurven. Vi ønsker å beskrive den stiplede kurven som en graf y = f(x), 0 < x a. Vis at y = f(x) oppfyller y a2 x = 2. x Bestem f(x) ved å løse differensialligningen. Integralet som fremkommer skal løses ved hjelp av substitusjonen u = a 2 x 2. Du kan bruke uten bevis at a+u ln a + C ( u < a). 2 u 2 du a 2 u 2 = 1 a
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 5 OPPGAVE G.7 Arbeidet A en konstant kraft K utfører over en avstand s er definert i fysikk til å være A = K s ( arbeid er lik kraft ganger vei ). Dersom kraften varierer som funksjon av s, skriver vi kraften som funksjon K(s), og arbeidet utført av kraften mellom punktene s = a og s = b er definert til å være A = b a K(s) ds. Ifølge Coulombs lov vil to elektiske ladninger q 1 og q 2 i avstand r fra hverandre påvirke hverandre med kraften F = k q 1q 2 r 2, hvor k er en naturkonstant. (Spesielt vil ladningene frastøte hverandre hvis de har samme fortegn og tiltrekke hverandre om de har motsatt fortegn.) (a) Anta ladningene tiltrekker hverandre og er i avstand a fra hverandre. Hvor stort arbeid må vi utføre for å separere dem? (Hint: vi tenker oss at vi holder den ene partikkelen i ro og flytter den andre uendelig lant bort. Formulér arbeidet ved hjelp av et uegentlig integral.) (b) Anta nå at ladningene frastøter hverandre og er i avstand a fra hverandre. Hvor stort arbeid må vi utføre for å føre partiklene sammen? Kommentér svaret. OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) En funksjon y = f(x) er løsning av differensiallikningen y = xy + 1 med initialbetingelsen f(0) = 1. Finn Taylorpolynomet til f av grad 3 om x = 0. OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) I denne oppgaven tenker vi oss at f : R R er en funksjon med kontinuerlig annenderivert. På figuren har vi tegnet inn tangenten til f i et punkt (x, f(x)). Vi lar g(x) være y-koordinaten til det punktet der tangenten skjærer y-aksen. (a) Vis at g(x) = f(x) xf (x). Vis også at dersom f er konkav, så er g(0) den minste verdien til g, og at dersom f er konveks, så er g(0) den største verdien til g. (b) Vis at for alle a R. a 0 g(x) dx = 2 a 0 f(x) dx af(a) (Husk at notasjonen f : R R betyr at f har definisjonsmengde R og tar verdier i R. Husk også at konkav= concave down og konveks = concave up.)
6 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 Fasit/hint på neste side
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 46 7 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://org.uib.no/mi/eksamen/mat111/ Oppgave G.6. f(x) = a 2 x 2 + a ln a+ a 2 x 2 x Oppgave G.7. (a) kq 1 q 2 /a. (b). Oppgave G.8. 1 + x + 1 2 x2 + 1 3 x3. LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen