OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 5.5: 8, 15, 39, 4 18, 44, 48, 49 5, 51 Avsn. 5.6: 5, 21, 23 8, 18, 39, 46 Avsn. 5.7: 13 16, 24 3 På settet: G.1, G.2 G.3, G.4, G.5 G.6, G.7, G.8 Oppgavene under Mer dybde beandles i 2. time av det raske seminaret 11/11. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 3, 4 og 5 i Obligatorisk innlevering 3 (innleveringsfrist mandag 21/11). 1
2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-H7-Oppg. 4) Finn grenseverdien lim OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) e t2 dt. OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V13-Oppg. 8) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-H3-Oppg. 1)
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 3 OPPGAVE G.3 (Eksamen UiO) Bestem grenseverdien lim ln(1 + t2 ) dt. 3 OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V1-Oppg. 4) OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB)
4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO) La f være en kontinuerlig funksjon definert på R. La { 1 f(t) dt, ; g() = f(), =. (a) Vis at g er kontinuerlig. (b) Anta i tillegg at f er begrenset. Vis at g er begrenset. OPPGAVE G.7 (Eksamen UiO) Anta at g : [a, b] R er kontinuerlig, at g() for alle, og at det finnes en c [a, b] slik at g(c) >. Vis at b a g() d >. Er dette nødvendigvis sant vis g ikke er kontinuerlig? Merknad: Notasjonen g : [a, b] R betyr at g er definert på [a, b] og tar verdier i R. Vis at funksjonen OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) F () = er konstant og finn verdien F (). Fasit/int på neste side 1 dt 1 + t + 2 dt 1 + t 2, >
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 5 Fasit og int til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden ttp://mat.uib.no/adm/eksamen/content/mat111/inde.tml Oppgave S.2. 1. Oppgave G.3. 1/3. Oppgave G.5. Se fullstendig løsningsforslag neste side.
6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Løsningsforslag Oppgave G.5 (a) (i) f er kontinuerlig i dersom lim f() = f(). Har: = f() = =. 1 + 2 lim f() = lim 4) = =. ( 2 lim f() = lim + + 1 + = 2 1 + =. Dermed er lim f() = = f() og f er kontinuerlig i. f() f() (ii) f er derivérbar i dersom grensen lim eksisterer. Vi ar f() =, mens uttrykket for f() er forskjellig om > og <. Vi regner derfor ut de to ensidige grensene: og f() f() lim f() f() lim + f() f() Dette betyr at lim = lim ( 2 4) = lim + 1+ 2 = lim ( 4) = 4 = lim 1 + 1 + = 1. 2 ikke eksisterer, og følgelig er f ikke derivérbar i. f() f() Vi merker oss for senere bruk, når vi skal skissere grafen, at lim er eller ikke eller, slik at grafen til f ikke ar en tangent i = (dvs. grafen ar et knekkpunkt ; adde grensen vært eller, ville grafen att en vertikal tangent i =, selv om funksjonen ikke er derivérbar der). For å finne lokale ekstremalverdier, starter vi med å finne den deriverte til f. Siden d d 1 + = 1 (1 + 2 ) 2 = 1 2 2 (1 + 2 ) 2 (1 + 2 ) 2 og d d ( 2 4) = 2 4, kan den deriverte av f skrives som { 1 2 f, >, (1+ () = 2 ) 2 2( + 2), <. Vi ser at f ar kritisk punkt (der f () = ) for = 1 og = 2, singulært punkt (der f ikke eksisterer) for =, ingen endepunkt i definisjonsmengden. Lokale ekstremalpunkter kan bare forekomme i kritiske punkt, singulære punkt eller endepunkt, som for f kun er = 2,, 1. Fra uttrykket for f ser vi at f > for < 2, f < for ( 2, ), f > for (, 1),
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 7 f < for > 1, dvs. at f er voksende for 2, avtagende for [ 2, ], voksende for [, 1], avtagende for 1, slik at lokale maksima forekommer i = 2 og = 1 og lokalt minimum forekommer i =. Vi regner ut f( 2) = 4 og f(1) = 1, og vet allerede at f() =, slik at 2 vi konkluderer at lokale maksimumspunkter er ( 2, 4) og (1, 1 ), og lokale 2 minimumspunkter er kun (, ). (b) Eventuelle globale ekstremalpunkter finnes blant de lokale. Regner ut og lim f() = lim 1 + = lim 2 1 1 + 1 = 2 + 1 = lim f() = lim ( 2 4) = lim 2 ( 1 4 ) =, siden 4. Dermed konkluderer vi at ( 2, 4) er globalt maksimum, mens f ikke ar noe globalt minimum. For å finne eventuelle vendepunkt, regner vi ut: d 1 2 = 2(1 + 2 ) 2 (1 2 ) 2(1 + 2 ) 2 = 2(1 + 2 ) 4(1 2 ) d (1 + 2 ) 2 (1 + 2 ) 4 (1 + 2 ) 3 = 2 23 4 + 4 3 = 23 6 (1 + 2 ) 3 (1 + 2 ) = 2(2 3) 3 (1 + 2 ), 3 slik at den dobbeltderiverte til f kan skrives som { 2( 2 ) f, >, (1+ () = 2 ) 3 2, <. Vi ser dermed at f < for <, f < for (, 3), f > for > 3. Et vendepunkt er et punkt der funksjonen ar en tangent og den deriverte skifter fortegn. Vi ser derfor at f ar vendepunkt kun i = 3 (for = ar grafen til f ingen tangent, som bemerket over, og f ville derfor per definisjon ikke att vendepunkt i = selv om f adde skriftet fortegn er). Vi regner ut f( 3) = 3, 4 slik at eneste vendepunkt til f er ( 3, 3 ). 4 For å tegne grafen i neste punkt merker vi at opplysningene om den annenderiverte gir oss at grafen til f er
8 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 nedoverkrummet (konkav) for < og (, 3), oppoverkrummet (konveks) for > 3. (c) Skisse av grafen basert på det vi ar funnet ut: (d) Vil a a f() d = 1. Regner ut (1) ( 2 4) d = 1 3 3 2 2 = ( 13 ) ()3 2() 2 = 9 + 2 9 = 9 < 1. Vi må derfor a a >. Substitusjon u = 1 + 2 (slik at du = 2 d) gir 1 + d = u 1 1 2 2 du = 2u du = 1 2 ln u +C = 1 2 ln 1+2 +C = 1 2 ln(1+2 )+C (siden 1 + 2 > ), for en konstant C, slik at (2) a f() d = a 1 + d = 1 2 2 ln(1 + 2 ) = 1 2 ln(1 + a2 ) 1 2 ln 1 = 1 2 ln(1 + a2 ). a
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 9 Setter vi sammen (1) og (2), får vi ligningen 1 = a f() d = f() d a 1 = 1 2 ln(1 + a2 ) 2 = ln(1 + a 2 ) e 2 = 1 + a 2 a 2 = e 2 1 a = e 2 1 (fordi a > ). Vi må derfor velge a = e 2 1. f() d = 9 + 1 2 ln(1 + a2 ) LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen