Aktuarstandarden for NRS-beregninger Kurs DNA 18. september 28 Aktuar Pål Lillevold Aktuarfirmaet Lillevold & Partners AS
2 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Problemstillingen: Tidslinje For alderspensjon : Avgang ved fastsatt alder r i motsetning til mulige stokastiske avgangstidspunkter Hx + t + t L
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 3 Ytelser (1) Pensjonsytelse uttrykt som funksjon: av pensjonsgivende lønn og folketrygdens grunnbeløp (og andre pensjonsbestemmende faktorer) i det pensjonen blir aktuell og senere regulert under utbetaling Notasjon: L t+t = Lønn på tid Ht + tl (dvs. regnet t år frem i tid fra måletidspunktet t) G t+t = Folketrygdens grunnbeløp på tid Ht + tl Fremtidig lønn og G i realiteten ukjente. Standard fremgangsmåte å estimere deres antatte verdi: L` t+t = H1 + ll t ÿl t der: G` t+t = H1 + gl t ÿg t l = antatt (forventet?) årlig lønnsvekst g = antatt (forventet?) årlig G-vekst
4 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Ytelser (2) Metodemessig ikke begrenset til geometrisk L ê G - vekst, selv om dette er enesteh?l som anvendes i praksis. Forenklet notasjon : L t+t êg t+t i det følgende, der vi reelt mener L` t+të G` t+t. Pensjonsytelse : H1 + ql s ÿ P HL t+t, G t+t L beregnet på tid t for ytelse som blir aktuell på tidht + tl og deretter har vært under utbetaling s år der : q = antatt Hforventet?L årlig pensjonsregulering
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 5 Tilstandsmodell (privat!) (1)
6 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Medlemmets tilstand i alder y : SHyL e8a, i, f, d< Tilstandsmodell (2) Tilstandssannsynligheter : sp y jk = Pr@SHy + sl = k SHyL = jd; j, k e8a, i, f, d< Overgangsintensiteter : s.a. : m y jk = lim jk s p y s s ; j, k e8a, i, f, d<, j k ds p y jk > m y jk ÿ ds for infinitesimal ds
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 7 Tilstandsmodell (3) Spesielt : sp y aa = ExpB- s k e8i, f,d< ak m y+t tf Diskontering : i = diskonteringsrente Hp.a.L v = 1 1 + i = diskonteringssats
8 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb a TBO x+t = r-hx+tl Alderspensjon (1) v t ÿ t p aa x+t ÿh1 + ql t-@r-hx+tld ÿ P a HL r, G r L t = v r-hx+tl ÿ r-hx+tl p aa x+t ÿ P a HL r, G r L ÿ r-hx+tl v t-@r-hx+tld ÿ t-@r-hx+tld p r aa ÿh1 + ql t-@r-hx+tld t (1) = v r-hx+tl ÿ r-hx+tl p aa x+t ÿ P a HL r, G r L ÿ @v ÿh1 + qld t ÿ t p aa r t a PBO x+t = t r - x ÿ TBO a x+t = t r - x ÿ vr-hx+tl ÿ r-hx+tl p aa x+t ÿ P a HL r, G r L ÿ @v ÿh1 + qld t ÿ t p aa r t (2)
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 9 Alderspensjon (2) a SCC x+t = 1 r - x ÿ TBO a x+t = 1 r - x ÿ vr-hx+tl ÿ r-hx+tl p aa x+t ÿ P a HL r, G r L ÿ @v ÿh1 + qld t ÿ t p aa r t (3) a ABO x+t = t r - x ÿ vr-hx+tl ÿ r-hx+tl p aa x+t ÿ P a HL x+t, G x+t L ÿ @v ÿh1 + qld t ÿ t p aa r t (4)
1 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Alderspensjon (3) Observasjoner : PBO a r = r - x r - x ÿ TBO r a = TBO a r ; Ytelsen er fullt opptjent ved nådd pensjonsalder. r-xv t ÿ t p aa a x ÿ SCC x+t t = TBO x a ; Periodisering av Service Cost over hele opptjeningstiden gir full opptjening av ytelsen.
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 11 Avgangsytelser (1) k TBO x+t = v t ÿ t p aa ak x+t ÿ m x+t+t ÿ P k k HL t+t, G t+t L ÿ K x+t+t t (5) der : k K x+t+t = Forventet ê forsikringsteknisk kontantverdi av en "enhetsytelse" som blir aktuell etter avgang av årsak k i alderhx + t + tl. Konkretisering ë eksempel : i Uførhet : K x+t+t = r-hx+t+tl@v ÿh1 + qld s ii ÿ s p x+t+t s d EnkeHmannL : K x+t+t = @v ÿh1 + qld s a ÿ s p jhx+t+tl s, med jhx + t + tl = gjenlevendes antatteêforventede alder ved medlemmets død i alderhx + t + tl a og s p jhx+t+tl f Fratredelse : K x+t+t beregnet med gjenlevendes dødelighetsforutsetninger = Premiereserven ved fratredelse i alderhx + t + tl
12 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Avgangsytelser (2) Periodisering ved avgang på tidht + tl : Før pensjonsalder : Avlagt tid i forhold til samlet tid ved avgang : Etter nådd pensjonsalder : Ferdig periodisert da : t r - x t t + t Ytelsesberegning : Før pensjonsalder : Ut fra L t+t ê G t+t på tidht + tl Etter nådd pensjonsalder : Ut fra L r ê G r og senere regulering i samme takt som pensjoner under utbetaling k PBO x+t r-hx+tl r-hx+tl t = t + t ÿ vt ÿ t p aa ak x+t ÿ m x+t+t ÿ P k k HL t+t, G t+t L ÿ K x+t+t t r - x ÿ vt ÿ t p aa ak x+t ÿ m x+t+t t + ÿ P k HL r, G r L ÿh1 + ql t-@r-hx+tld k ÿ K x+t+t t (6)
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 13 Avgangsytelser (3) Periodisert på tid t for avgang på tidht + tl : t t + t Periodisert på tidht + hl for avgang på tidht + tl : t + h Ht + hl +Ht - hl = t + h t + t h Økt periodisering for avgang på tidht + tl fra t tilht + hl : t + t d "Marginal" periodisering på tid t for avgang på tidht + tl : dh h t + t = 1 t + t k SCC x+t r-hx+tl r-hx+tl 1 = t + t ÿ vt ÿ t p aa ak x+t ÿ m x+t+t ÿ P k k HL t+t, G t+t L ÿ K x+t+t 1 r - x ÿ vt ÿ t p aa ak x+t ÿ m x+t+t t + ÿ P k HL r, G r L ÿh1 + ql t-@r-hx+tld k ÿ K x+t+t t (7)
14 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Avgangsytelser (4) Observasjoner : t t = : t + = Åt t = 1 Ytelsen som blir aktuell ved avgang "straks" er til enhver tid fullt opptjent. r-xv t ÿ t p aa k x ÿ SCC x+t t = TBO x k HRegneøvelse : Vis dette!l; Periodisering av Service Cost over hele opptjeningstiden gir full opptjening av ytelsen.
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 15 Avgangsytelser (5) Tidsprofil for allokering av "aggregert periodisering" : r-hx+tl 1 t + t t = Log@r - xd - Log@tD Tidsprofil fordelt relativt : Log@r - xd - Log@tD Ÿ r-x HLog@r - xd - Log@sDL s = Log@r - xd - Log@tD r - x
16 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Avgangsytelser (6) Tidsprofil fordelt relativt : x r.1.8 Out[1]=.6.4.2 5 1 15 2 25 3 35
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 17 "Etterfølgende ytelser"; a z izd a z izap z d a z ap z d k Ivaretas ved inkorporering i K x+t+t. Kommentarer (1) Særlig problemstilling er regulering av ytelse etter avgang fra a og før ytelsen blir aktuell I offentlig sektor og ved "fripoliser egen balanse" i privat sektor : Også fratredelse H f L gir oppgav til etterfølgende ytelser Hi motsetning til premiereserve som engangsutbetalingl
18 Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb Kommentarer (2) SCC x+t er intensitet, dvs. mål for "styrken i pensjonsopptjening akkurat i øyeblikket" Presist målt for Hden forventede kontantverdien!l av pensjonsopptjening over tidsintervalletht + a, t + bl beregnet på tid t er : bv t ÿ t p aa x+t ÿ SCC x+t+t t a F. eks a =, b = 1 gir verdi av "kommende års pensjonsopptjening" lik : 1v t ÿ t p aa x+t ÿ SCC x+t+t t
Aktuarstandarden for NRS-beregninger.nb 19 Kommentarer (3) I hvilken forstand er PBOêSCC "riktige mål" for verdien av pensjonsopptjeningen? "Riktigheten" av forventet kontantverdi begrunnet med diversifisering ê store talls lov - som ikke får anvendelse på rente ê diskontering, lønns - og G - utvikling Sannsynlighetsfordeling for verdi av pensjonsopptjeningen har betydelig spredning, hvorav de økonomiske faktorer bidrar med det alt vesentlige Forventning HkontantverdiL KontantverdiHforventningL