(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1.

ÆÇÌ Ì ÇÅ Ê ÆË Ê Î Ä ÌÁÄ ÊÍà Á ÃÍÊË Ì Å Ì½½½ Î ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì Á Ê Æ ØØ ÒÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ ÒÝØØ Ô Ò ÙÑ ÙÖ Ø Å Ì½½½ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÐÖ Ó Ò Ó Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÙØ ÝÐÐ Ò ÒÓØ Ø Ø Ð Ã Ô ØØ Ð ½ Ñ Ð ÒØ ÒÒ Ø ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö Ô ÚÓÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Ø ÖÙ Ö ǫ δ¹ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö º ÆÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö Ö ÑÔÐ Ö ÒÒ Ø ÓÑ Ö Ð ØØ ÒÒÓÑ ØØ Ô ÓÖ Ð Ò Ò º È ÓÖ Ð Ò Ò Ö Ö Ð Ò ØÓ Ö ÒÓØ Ø Ø Ð ØØ ÒÒÓÑ ØØ ï½º ï¾ Ö Ñ ØºÓºÑº º ¾º º º ¾º º º ¾º½¼º º ¾º½½ Ò Ñ ÐÐÓÑØ Ò Ú Ò Ù ÓÖÑ ÐÐ Ó ÓÖÑ ÐÐ ÓÖ Ð Ö Ò Òµº ï ÓÖØ ØØ Ö º º º Ó º º Ç Ñ Ö Ø Ö Ò ÚÒØ Ö Ô Ò δ¹óñ Ò Ó ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò Ô ÓÖ Ð Ò Ò ï½ ÐÚ ÓÑ ÐÖ Ó Ò Ö Øº Ø ÑÑ Ð Ö ÒÓØ ÓÒ Ò f : A B ÓÖ Ò ÙÒ ÓÒº ½º Å Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ö Î Ú Ð ØØ ÒÓØ Ø Ø ØÖ Ø Ö ÐÐ ÙÒ ÓÒ Ö f Ò ÖØ Ô ÐÑ Ò Ö Úµ Ñ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ò Rº ØØ Ú Ð Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ò D(f { f( Ö Ò ÖØ} ÚÓÖ Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ø Ò Ø ØÝÖ Ð Ø µ Ö Ò ÐÑ Ò Ú R Ѻ ºÓº D(f R Ó Ú Ö Ñ Ò Ò V(f {f( D(f} Ö Ò ÐÑ Ò Ú R Ѻ ºÓº V(f Rº À Ö Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø ÒÓØ ÓÒ Ò A B ÓÖ Ñ Ò Ö ØÝÖ Ø ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò A Ö Ó Ñ B ºµ ÓÖ Ò Ð ÙÒ ÓÒ f Ñ Ò ÓÒ Ñ Ò D(f Ö Ú Ö Ú ÖÒ f : D(f R, ÐÚ ÓÑ ÐÖ Ó Ò ÖÙ Ö ÒÒ ÒÓØ ÓÒ Òº Â Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ò Ò D(f Ø Ð Ñ Ò Ò R Ö Ò Ö Ð ÓÑ Ø ÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ø Ú ÖØ Ø ÐÐ D(f Ø ÒØÝ Ø ÐÐ R ÓÑ Ú ÐÐ Ö f(º Î Ò Ö Ö Ö Ò Ø Ð f Ø Ð ÚÖ Ñ Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔÐ Ò Ø (,y ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö f( y Ú º Ö Ò Ø Ð f {(,y R 2 D(f, y f(}, ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ô Ò Ú Ú Ð ÒØ ÑØ Ö Ò Ø Ð f {(,f( R 2 D(f}. Î Ö ÓÒ Ø ÖØ ½ º¼ º½ º ½

¾ ÙÖ ½º Ö Ò Ø Ð f( ËÓÑ Ú Ø ÙÖ ½ Ø ÖØ Ö Ú Ñ Ò ¹Ú Ö D(fµ Ó Ø Ò Ö Ò Ú ÖØ Ð Ð Ò Ò ÓÑ Ö Ö ¹ Ò ÒÒ Ú Ö Ò Ú Ð Ú ØÖ Ö Ò Ò Ý Ø ØØ ÔÙÒ Ø Ò ÑÐ (,f(º Ì Ò Ö Ú Ò ÓÖ ÓÒØ Ð Ð Ò Ò ÒÒÓÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ø Ú Ð Ò ØÖ y¹ Ò ÔÙÒ Ø Ø f(º Î Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ØÙ Ø Ú ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ñµ ÔÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÖÙÒ Ø Ø ÔÙÒ Ø aº Ö Ú ÒØ Ö ÖØ ØÙ Ö ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø a D(f ÓÐ Ö Ø Ò ÑÐ ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÑ Ð Ñ ÝÑÑ ØÖ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÑ ÔÙÒ Ø Ø aº Ö ÓÑ Ú Ö ÙØ Ò Ú Ø Ò δ > 0 Ô Ö Ú a ÚÓÖ δ ØÖ ÓÖ Ò Ö Ó Ø Ú Ò ÐØ µ Ö Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ô ÓÖÑ Ò (a δ,a+δ, ÓÑ Ú ÖÒ ÐÐ Ö Ò ÓÑ Ò ÓÑ a Ú Ö Ù δµ ÐÐ Ö Ò δ¹óñ Ò ÓÑ aº È Ò Ð ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÓÖ Ò ÓÖ ÓÓ Ð Ø Ø ÙÒÒ ÚÖØ Ö Ø Ò ÐÐ ÓÑ Ò Ö ÓÖ Ò ÓÐ Ô ÒÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÐØ Ø Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ö Ú Ð Ø ÒÒ Ò ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Òºµ Å Ö Ø Ò δ¹óñ Ò ÓÑ a ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ð Ö Ú Ø Ò Ñ Ò Ö ÒÒ δ Ö aº Ë Ò Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Ô Ø ÐÐ Ò Ò Ó a Ö a a Ñ Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ö Ú (a δ,a+δ { R a < δ}. Ö ÓÑ Ú Ø Ö ÓÖØ ÔÙÒ Ø Ø a ÓÑ Ú Ö Ö ÓÑ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ ØÙ Ö ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÖÙÒ Ø Ñ Ò ÔÙÒ Ø Ø aµ Ö Ú Ñ Ò Ò (a δ,a+δ\{a} (a δ,a (a,a+δ { R 0 < a < δ}, ÚÓÖ ÒÓØ ÓÒ Ò \ ØÝÖ ÓÖØ ØØ Ö º Ò Ð Ñ Ò ÐÐ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖØ ÓÑ Ò ÓÑ a Ú Ö Ù δµ ÐÐ Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ aº ¾º Ò ÓÒ Ú Ö Ò Ö ï ½º µ ÍØ Ò ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ô Ø Ö Ø Ú Ö ÒØ Ö ÖØ ÒÒ ÙØ Ú ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð Ò ÙÒ ÓÒ f ÐÐ Ö Ò Ö µ ÙÖ Ø ÔÙÒ Ø Ø a Ñ Ò ÒÖ ÒÖÑ Ö aº ËÓÑ Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔ Ð Ð Ó Ø ÖØ Ñ ØÖ Ø Ò Ö Ð Ø ÚØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÑÐ Ò Ð ÒÖ ÙÒ ÓÒ f( 2. ËÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ Ú ÔÐ ØØ Ö Ú Ö Ò ÓÒ Ñ Ò Ò ØÝÖ ØØ Ø Ú Ö f Ò Ø Ö Ø ÑÙÐ Ò ÓÒ Ñ Ò Ò º Ì ÓÑ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ö ïèº ÐÖ Ó Òµ ÓÑ ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ö D(f R Ò ÙØØÖÝ Ø ÓÖ f Ö Ñ Ò Ò ÓÖ ÐÐ Ö ÐÐ Ø ÐÐ º Ä Ó Ø Ú Ö ÒØ Ö ÖØ Ú Ø ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø 3 Ñ Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú Ö Ú Ö Ö f ÑÓØ ÒÖ Ö ÑÓØ 3º Ë Ò Ú ÓÚ Ö Ó Ø Ö ÒØ Ö ÖØ Ú ÓÑ Ö

Ê ÆË Ê ÙÖ Ø ÔÙÒ Ø Ø 3 ÙÒÒ Ú Ð Ó Ø ÖÒ Ø ØØ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Ó ØÖ Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ò f( 2, D(f R\{3} (,3 (3, ÚÓÖ Ú Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ø Ò Ø \ ØÝÖ ÓÖØ ØØ Ö µ ½ º Ö Ò Ø Ð ÒÒ ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ò ÑÑ ÓÑ Ø Ð Ö ÓÖØ ØØ Ö Ø Ú Ö Ø ÙÐÐ ÙÖ Ø 3 ÙÖ ¾º 5 3 ÙÖ ¾º Ö Ò Ø Ð f( 2 3º ËØÙ Ö Ö Ú Ö Ò Ø Ð f Ú Ö Ö Ø Ø ÑÑ Ð Ð ÖØ Ú ÓÑ Ö Ö Ò Ö ÑÓØ ÔÙÒ Ø Ø (3,5 Ð Ø Ö Ò Ò Ø Ð f ÒÖ ÒÖÑ Ö 3 Ö 5º Î Ö Ú Ö ¾º½µ Å ØØ Ñ Ò Ö Ú Ø Ú Ò Ö ÓÖ Ø lim f( 5. 3 ¾º¾µ f( Ö ÒÖ Ú Ú Ð 5 Ð Ò ¾º µ Ö ÒÖ ÒÓ 3 Ó 3µ. Å Ø Ñ Ø Ò Ú ÙØØÖÝ ¾º¾µ Ó ¾º µ Ú ÐÔ Ú Ú Ø Ò Ö ÓÑ ¾º µ Ð Ò f( 5 Ö Ð Ø Ò Ú Ú Ð ¾º µ 3 Ö Ð Ø Ò ÒÓ Ó 3 > 0µ. Ä Ó ÓÑ ÙÒ ÓÒ Ò ÚÖ Ú Ö Ð ÓÔÔ ÝÐÐ Ö ØØ º ½ ËÓÑ Ú Ö ØØ Ñ Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ö ØØ Ø ÑÑ ÓÑ º º Ò Ò ÓÔÔÖ ÒÒ Ð f Ñ 3 Ó ÙØØÖÝ Ø 3 f( (2+( 3 3 22 5 3. 3

ÀÚ ÒÖ Ú Ú Ð ØÝÖ Ú Ø Ò < ÐÐ Ö Ñ ÐÑ Ö Ò Ò Ú Ö ÒØ Ð Ö Ö Ú f( 5 < 2 5 < 2 6 < 2 3 < ØØ ØÝÖ Ó Ø 3 < 2 Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò < µ Ð Ò 0 < 3 < 2 ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < 2 Ö 3 Ó 3 µ Î Ö Ð Ø Ø Ð Ø 3 ÐÐ Ö 3 > 0 Ò f Ö Ò ÖØ 3 ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ó Ò Ö ÐØ ÓÖ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ Ú Ö Ò Ø Ð f ÔÙÒ Ø Ø Ú Ö Ö Ò Ò ÑÓغµ Ö Ò Ø Ú Ö ÓÖØ Ú Ù Ð Ö ÙÖ ¾ Ò ÒÙÒ Ö 5 3 /2 /2 ÙÖ º f( Ú Ø Ò < Ö 5 ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ú Ø Ò < 2 Ö 3º

Ê ÆË Ê Ä Ó ÓÖ ÓÑ ØØ ÙÒ Ö Ö ÓÑ Ú ÝØØ Ö ÙØ Ú Ø Ò < Ñ ÒÓ Ò Ñ Ò Ö Ú Ø Ò < 2 º Ë ÑÑ ÙØÖ Ò Ò Ñ ÝØØ Ø ÙØ Ñ 2 Ú Ö f( 5 < 2 2 5 < 2 2 6 < 2 2 3 < 2 3 < 4 ØØ ØÝÖ Ø Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < 2 ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò 2 µ Ð Ò 0 < 3 < 4 ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < 4 Ö 3 Ó 3 µ Ö Ø Ó Ö Ú Ú Ö Ú Ö Ò ØØÐ Ø Ò Ú Ø Ò Ú Ø Ò < 0 6 ØØ ØÝÖ Ø f( 5 < 0 6 2 5 < 0 6 2 6 < 0 6 2 3 < 0 6 3 < 2 0 6 Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < 0 6 ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò 0 < 3 < 2 0 6 ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < 2 0 6 Ö 3 Ó 3 µ 0 6 µ Ð Ò Ø Ö Ò Ò Ö 5 ØÝÖ Ò ØØÓÔÔ Ø ØØ ÙÒ Ö Ö Ú Ö Ù Ò ØØ Ú Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Ú Ø Ò Ú ÝØØ Ö ÙØ 2 Ó 0 6 Ñ º Î Ð Ñ Ò Ö ÓÖ Ð Ö Ú Ò Ö ÐØ ÚÓÖ Ð Ø Ò 3 Ñ Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ø f( 5 Ð Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ò Øº Ò Ò Ö ÐÐ Ú Ø Ò Ò ÓÑ f( 5 Ñ ÚÖ Ñ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ñ Ò Ó Ø Ú Ò ÑÐ Ò Ö Ó Ø Ú Ò

ǫ Ô ÐÓÒ µº Ö Ò Ò Ò Ñ 2 Ó 0 6 Ö Ø ØØ Ø Ñ ǫ Ð Ö ØØ ØÝÖ Ø f( 5 < ǫ 2 5 < ǫ 2 6 < ǫ 2 3 < ǫ 3 < ǫ 2 Í Ò ØØ ǫ > 0 Ò Ú Ö ÓÖ Ø f( 5 < ǫ Ð Ò 0 < 3 < ǫ 2 º ÐÐ Ö ÓÑ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ð ØØ Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ò Ú Ö ǫ > 0 Ð Ö 0 < 3 < ǫ f( 5 < ǫ. 2 Ø 0 < 3 < ǫ 2 ØÝÖ Ø (3 ǫ 2,3 (3,3 + ǫ 2 ÓÑ Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ 3 ÓÖ δ ǫ 2 ï½µº Ø f( 5 < ǫ ØÝÖ Ø f( (L ǫ,l+ǫ ÓÑ Ö Ò ǫ¹óñ Ò ÓÑ L Ò ï½µº Î Ö ÐØ ÓÒ Ö Ø ÙÒÒ Ø Ú Ð Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ 3 Ñ Ð ÓÖ Ø f( Ð Ð Ò ØØ ǫ¹óñ Ò ÓÑ Lº Ë Ò ÓÑ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ö Ú Ø Ú Ò Ø ÓÖ Ò Ú Ö ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < 3 < δ f( 5 < ǫ Ò ÑÐ δ ǫ 2 µº Î Ð Ö Ù ØØ ÓÑ ØØ ǫ ÒÒ Ö Ú δº Î Ö Ò Ð Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ò ÓÒ ¾º½º Î Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ð f Ö L ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø ÒÖÑ Ö ÔÙÒ Ø Ø a ÙØØÖÝ Ø ÓÑ lim f( Lµ Ú Ø Ø Ð Ø Ú ÖØ Ø ÐÐ ǫ > 0 ÒÒ Ø Ø ÐÐ δ > 0 ÓÑ Ú Ò Ö Ú ǫµ Ð Ø ¾º µ 0 < a < δ f( L < ǫ. Å Ö Ø Ø Ò Ð Ò 0 < a < δ Ò Ö Ú ÓÑ (a δ,a+δ\{a} Ð Ø Ò ØÝÖ Ø Ð Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ aº Ø Ò Ð Ò f( 5 < ǫ Ò Ö Ú ÓÑ f( (L ǫ,l + ǫ ÓÑ Ö Ò ǫ¹óñ Ò ÓÑ Lº À Ð Ø Ò Ð Ò ¾º µ Ò Ö ÓÖ Ö Ú Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÑ ¾º µ (a δ,a+δ\{a} (a δ,a (a,a+δ f( (L ǫ,l+ǫ Ñ Ö Ò Ò ¾º¾º Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ò Ð Ò ¾º µ Ó ¾º µ Ö Ú Ö Ø (a δ,a + δ \ {a} Ö Ò ÓÐ Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ò D(f Ø Ð f ÐÐ Ö Ö f( Ò Öصº Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ñ Ò Ò Ú ÙÒ ÓÒ Ò f Ö Ò ÖØ Ò Ð Ø Ò ÓÑ Ò ÓÑ a Ú º Ø Ð Ø Ô ÒØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö a ÓÖØ ØØ Ö ÑÙÐ Ò a ÐÚº Ø Ö ØØ ÐÖ Ó Ò Ñ Ò Ö ÒÖ Ò Ò Ù ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò ï½º¾ Ö Ø f Ö Ò ÖØ ÐÐ ÒÖ a ÓÖØ ØØ ÑÙÐ Ò Ö aº ËÔ ÐØ Ö Ú Ø Ø f Ö Ò ÖØ Ô Ö Ú aº

Ê ÆË Ê ÙÖ º f( Ð Ö Ñ ÐÐÓÑ L ǫ Ó L+ǫ ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ú Ø Ò < δ Ö aº ËØÖ Ò Ø Ø ØØ Ò Ú Ð Ö Ó Ñ Ò ÒÓ Ú Ö Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ð f ÒÖ Ö ÑÓØ a Ñ Ò Ø ÓÑÑ Ö Ú Ø Ð ÒÖÑ Ö ÒÒ Ô Öº Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ø Ö Ò Ö Ö ÒØÝ Ö ÓÑ Ø Ö Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÒØÝ Ø Ú Ö Ò Öµ Ö Ò Ö Ö ÒØÝ Ú º Ø Ö ÓÑ lim f( L Ó lim f( M Ö L M º Ú Ø Ø Ð ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ò ÓÔÔ Ú ÇÔÔ Ú ½º º ½µº Ä Ó Ò Ô ÒÓ Ò ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ Ö Ô ÖÙ Ú Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ò Öº Ä Ó Ø ÖØ Ñ Ø Ð Ø Ð ÑÔÐ Ø Ú Ö ØØ Ô ÓÖ ÚÓÖ Ò Ú ÓÖ Ö Ö ÒÒ Ð Ò Ò Òº ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Ä f( (2 3º Î Ø lim 3 f( 5º Ä Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫ 2 º Ú 0 < 3 < δ ǫ 2 Ö f( 5 2 5 2 6 2 3 < 2 ǫ 2 ǫ, ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î Ñ Ö Ö Ó Ø Ð Ò Ò Ò Ö Ø ÑÑ Ð ÓÖØ Ó Ø ÖØ Ö Ñ Ò δ³ Òº ÓÖ ÒÒ δ ÓÑ Ú ÓÖ ÓÚ Ö Ø ÖØ Ø Ú Ñ Ð ÖØ Ñ ÙØØÖÝ Ø f( 5 º Ø Ú Ö Ø Ô Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ú Ö Ó Ú ÒÒ Ö ÐÖ Öµ ÐØ Ú Ö Ò Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ò ÑØ Ò Ð ÓÔÔ Ú Ö ÓÑ ÖÓÚØ Ø Ò ÚÖ ÂÓ Ñ ÙØØÖÝ Ø f( L Ø Ð Ù Ö ÙØ ÙØØÖÝ Ø a º Î Ð Ô ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Ä f( c ÓÖ Ò ÓÒ Ø ÒØ c 0º Î Ø lim f( caº Ù ÓÒ Î ÖÙ Ö Ö Ñ Ò ÑØ Ò ÒØÝ Ø ÓÚ Ö Ó Ø ÖØ Ö Ñ ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Ø f( L f( ca c ca c( a c a. Ø ØØ Ö < ǫ Ö Ú Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ c a < ǫ a < ǫ c. ØØ Ö Ó Ú Ú Ñ Ö a Ñ Ò Ö ÒÒ ÓÖ Ö ÓÖ Ø f( ca < ǫ Ò ÑÐ ÓÑ Ú Ø Ö ÓÑ ÚÖ δº ǫ c

È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫ ǫ c º Ú 0 < a < δ ǫ f( ca c ca c( a c a < c c ǫ, c Ö ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim sin( 2 0º 0 Ù ÓÒ Ë ØØ f( sin( 2 ÓÑ Ö Ò ÓÒ Ñ Ò R\{0}º Ö ÓÖ ÑÓÖÓ ÝÐ Ö Ö Ö Ò Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ØØ ÓÖ Ø ÖÖ Ø Ø Ð ÝÖ Á Ò Ø ÖØ Ö Ú Ñ ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Ø f( L f( 0 sin( 2 sin( 2. ØØ Ò Ö Ú < ǫ Ù Ò ØØ ǫ > 0 Ú Ú Ð 0 Ð Ø Ò ÒÓ º Î Ö ÐÝ Ø Ñ ÓÑ ÓÖÖ ÑÔ Ð ØÓÖ Ö ÙØ 0 Ñ Ò Ú Ö Ó ØÓÖ Ò sin( ÒÒ Ò Òº ÆÖ Ú Ö Ð Ø ÐÐ ØÓÖ Ö Ñ Ú ÔÖ Ú Ö Ò Ó º Á ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ú Ø Ú Ø ÒÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ö ÙÒ Ú Ö Ö Ñ ÐÐÓÑ Ó Ó ÖÑ Ú Ø Ú Ø sin( ÓÖ 0º Ö Ú f( 0 sin( 2 sin( 2 2 2, Ó Ø ÒÒ Ö < ǫ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ 2 < ǫ < ǫ. Î Ö ÖÑ ÙÒÒ Ø Ø Ð Ò 0 < < ǫ Ö f( 0 < ǫ Ó Ú Ö ÙÒÒ Ø ÚÖ δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫº Ú 0 < 0 < δ ǫ Ö sin( 2 0 sin( 2 2 2 < ǫ 2 ǫ, ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Å Ö ÚÓÖ Ò Ú Ò ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ú Ð Ø Ö Ó ÙÐ Ø Ö ÓÑ Ö Ø Ð ÖØ ÓÖ Ð Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú ÖÙ Ö a < δ Ø Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ø f( L < ǫº Ú ÖÖ Ö Ø ÐÐØ Ð Ø δ³ Ò ÐÐ Ö ÙØ Ð ØØ ÓÑ ÑÔÐ Ò ÓÚ Öº Æ Ð Ú Ô Ð ØØ Ú Ò Ð Ö ÑÔÐ Öº ( ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim 2 + 2º 2 Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < ( 2 < δ ( 2 + 2 < ǫ,

Ê ÆË Ê ÐÐ Ö 0 < +2 < δ 2 + 2 < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø 2 + 2 Ó ÓÖ Ö Ö Ò ØØ Ú Ö Ò +2 º Ø Ö ÐØ ØÓÖ Ò +2 Ú Ò Ö ÙØ ØØ Ø Ð ÐРغ Î Ñ Ö Ö Ø 2 Ö ÖÓØ 2 + 2 Ð Ø +2 Ö Ò ØÓÖº Î ÒÒ Ö Ð ØØ ÙØ Ø 2 + 2 (+2( º Ö ÓÖ Ö Ú ÓÑ ÓÖÑ Ø ÙØØÖÝ Ø 2 + 2 +2, Ó Ò Ò ØÓÖ Ò Ò ÑÐ +2 Ö Ò Ú Ò Ö Ò ÑÝ Ú Ú Ð Ú Ú Ð δ Ð Ø Ò ÒÓ Ò Ð Ö Ú ÀÚ Ñ ØÓÖ Ò Ã Ò Ú Ó Ö Ò Ò Î Ð Ú Ú Ö + 2 Ð Ø Ò ØÝÖ Ø Ø Ö ÒÖ 2 Ó Ö Ó Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ó º Ç Ú Ö ÒÖ 2 Ö Ò Ð Ò Ø ÙÒÒ ÐÐ Ö ÓÖ ÑÔ Ð ÒØ ¾º µ +2 < Ú º Ö Ú Ø Ò < Ö 2µº ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ø < +2 < º ÇÑ ÓÖÑ Ö Ú ØØ Ö Ú < +2 < 3 < +2 3 < 3 4 < < 2 Ú ØÖ Ö 3 ÓÚ Ö ÐØ ÓÖ Ú Ò Ø ÓÑ ÓÖÑ + 2 Ø Ð µº ØØ Ø ØÝÖ Ø 2 < < 4 Ó Ø Ö ÙÐ Ø Ò Ø Ð ÝÖ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ º ÍÒ Ö ÓÖÙØ ØÒ Ò Ò ¾º µ Ð Ö ÐØ 2 + 2 +2 < +2 4 4 +2, Ó Ú Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º µ +2 < ǫ 4. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò 2 + 2 < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º µ Ó ¾º µ ÓÐ Öº Î Ö ÐØ ÒÒ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ð Ö Ô a Ø Ò ÓÖ Ö Ò ÓÑ Ø Ð Ö º ØØ Ö Ó Ø Ú Ñ Ú Ð +2 Ø Ð ÚÖ Ñ Ò Ö ÒÒ Ó ǫ 2 º ØØ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÒÖ { +2 < min, ǫ }, 4 ÚÓÖ ÙØØÖÝ Ø min ØÝÖ Ø Ñ Ò Ø Ú Ø ÐÐ Ò ÓÑ Ð Ö º Î Ö Ö ÓÖ Ò ÙÒÒ Ø Ò δ ÓÑ Ö Ó Ò Ò ÑÐ min{, ǫ 4 } Ø Ñ Ò Ø Ú Ó ǫ 4 Ö ÓÑ º º ǫ 5 Ö δ min{, 5 4 } Ó Ö ÓÑ º º ǫ Ö δ min{, 4 } 4 µº ÆÖ Ú Ò Ö Ú Ö ÒÒ Ò Ô Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ò Ò Ñ Ú Ô Ô Ö Ø Ð ÖØ ÓÖ Ð Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú ÖÙ Ö ØÓ ÙÐ Ø Ò ¾º µ Ó ¾º µº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØǫ > 0º Ä δ min{, ǫ 4 }º Ú 0 < ( 2 +2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½¼µ +2 < ǫ 4. ÙØ Ò Ö +2 < ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú < +2 < 4 < + < 2, ¾º½½µ < 4. ÖÑ Ú Ð ( 2 + 2 2 + 2 +2 ( < ǫ 4 4 ǫ

½¼ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½¼µ Ó ¾º½½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ð Ø Ö + 2 < ¾º µ ÒØÐ Ú Ö Ð ØØ Ø Ð Ð º Î ÑØØ Ö Ø ÖØ Ñ Ö Ø Ñ Ò Ö ÒÒ ÒÓ Ó ØÓ ØØ ÒÓ Ø Ð ÚÖ º Î ÙÒÒ Ó ÝØØ Ø ÙØ ¾º µ Ñ º º + 2 < 2 ÓÑ Ú ÐÐ ØØ ØØ Ö Ð Ò Ò ÙØÖ Ò Ò Ö ÓÑ ÓÚ Öµ Ø 5 < < Ú º Ú Ö + < 5 Ø Ò ÓÖ ¾º µ ÓÑ Ú ÐÐ ÖØ Ø Ð Ø Ú ÑØØ Ú Ð ØØ Ö Ð Ò Ò ÙØÖ Ò Ò Öµ δ min{2, ǫ 5 }º ØØ Ú Ö Ø Ö Ð Ö Ø ÓÑ Ø ÓÖÖ º Î Ú Ö Ò Ô Ò Ö Ò Ò Ú ØØ Ú Ö Ø Ó È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò Ô ÓÖÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØ ÖÒ Ø Ú ¾ ØØ ǫ > 0º Ä δ min{2, ǫ 5 }º Ú 0 < ( 2 +2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½¾µ +2 < ǫ 5. ÙØ Ò Ö +2 < 2 ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú 2 < +2 < 2 5 < <, ¾º½ µ < 5 ÖÑ Ú Ð ( 2 + 2 2 + 2 +2 ( < ǫ 5 5 ǫ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½¾µ Ó ¾º½ µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î ÓÖØ ØØ Ö Ñ ÒÓ Ò ÑÔÐ Ö ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim 3 3 3º Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < < δ 3 3 3 < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø 3 3 3 Ó Ò Ö ÙØ ØÓÖ Ò º Á Ò Ö ØÓÖ Ö Ò Ò ÐÓÖ Ø 3 3 3 3( 3 Ó Ø Ö ÓÑ ÖÓØ Ó ØÓÖ Ö ÓÑ 3 ( ( 2 ++. Â Ø Ö ÓÖ ØØ Ø Ö ØÓÖ Ö ÙØØÖÝ ÓÑ ØØ º º Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒºµ ÐØ Ö Ú 3 3 3 3 3 3 2 ++. Á Ò Ö ØÓÖ Ò Ò Ú Ò Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δ Ò Ð Ö Ú º Ê Ø¹ ØÓÖ Ò 2 ++ Ò Ú Ö Ò Ú Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÑ ÓÖÖ ÑÔ Ðº ÒØ º º Ø ¾º½ µ < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < < 0 < < 2 Ð Ø Ð ÓÚ Ö Ðصº ÍÒ Ö ÓÖÙØ ØÒ Ò Ò ¾º½ µ Ð Ö ÐØ ¾ Ð Ø 2 ++ < 2 2 +2+ 7, 3 3 3 3 3 3 2 ++ < 3 7 2. ¾ À Ö ÖÙ Ö Ú Ø > 0º À Ú Ú Ø Ø > 0 Ú ÐÐ Ú Ö Ò Ø 2 ++ Ú Ö Ò Ó ÖÙ ØÖ ÒØÙÐ Ø Ò Ö ï躽 2 ++ 2 + + 2 + +º

Ê ÆË Ê ½½ Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º½ µ < ǫ 2. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò 3 3 3 < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÐ Öº ØØ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÒÖ { ǫ } < min,, 2 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{, ǫ }º Ú 0 < < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½ µ ÙØ Ò Ö < ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú < ǫ 2. 2 < < 0 < < 2, ¾º½ µ 2 ++ < 2 2 +2+ 7 ÖÑ Ú Ð 3 3 3 3 3 3 2 ++ ( ǫ < 3 2 7 ǫ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Ø Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÑ Ò Ð Ö Ò Ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ú º Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ 3 4 2 +4 3 Î Ø lim º + Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < < δ 3 4 2 +4 3 ( + < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ø Ð ÝÖ 3 4 2 +4 3 ( + 3 4 2 +4 3 + + ( 3 4 2 +4 3+(+ + 3 4 2 +5 2 + 2 2, + ÚÓÖ Ú Ø Ð Ø Ö ØÓÖ ÖØ Ø ÐÐ Ö ÓÑ 3 4 2 +5 2 ( 2 ( 2º ØÓÖ Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δº Æ Ñ Ú Ö Ò 2 + º Á Ò ÓÖ Ö Ú Ñ Ö Ò ÓÑ ¾º½ µ < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < < 2 < 2 < 0

½¾ ØÖ Ö ÓÚ Ö Ðص Ó < < < + < 3 Ð Ø Ð 2 ÓÚ Ö Ðصº ØØ Ö 2 < 2 Ó + < ÓÑ Ö Ö ÓÖ Ø 2 + 2 < 2 2. + ÐØ Ö Ú ÙÒÒ Ø ÙØ Ø ÒÖ ¾º½ µ ÓÐ Ö Ú Ð 3 4 2 +4 3 ( + 2 2 2 2 + + < 2 2 2 2. Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ǫ ¾º½ µ < 2. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò 3 4 2 +4 3 + ( < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÐ Ö Ó ØÓ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ { } ǫ < min,, 2 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Å Ö Ø ÓÑ Ú ÓÖ Ø Ñ < 2 Ø Ò ÓÖ ¾º½ µ Ú ÐÐ Ú ØØ 0 < + < 4 ÒÓ Ú ÙÒÒ ÖÙ Ø Ø Ð Ö Ò + º È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{, ǫ 2 }º Ú 0 < < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ǫ ¾º¾¼µ < 2 ÙØ Ò Ö < ÓÑ Ö Ð Ø ¾º¾½µ ÖÑ Ú Ð 3 4 2 +4 3 ( + 2 < 2 < 0 Ó < + < 3, 2 < 2 Ó + <. 3 4 2 +4 3 + + ( 3 4 2 +4 3+(+ + 3 4 2 +5 2 + 2 2 ( < + ( 2 ǫ 2 ǫ, 2 ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º¾¼µ Ó ¾º¾½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Ø Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÑ Ò Ð Ö Ò Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ø Ø ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ù Ö ÓÔÔ º ÓÑÑ ÒØ Ö Ò ÓÖÖ ÑÔ Ðµ

Ê ÆË Ê ½ ÑÔ Ð ¾º½¼º ÈÖÓ Ð Ñ 2 2 Î Ø lim 2 3 2 0+8 3 2 º Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < 2 < δ 2 2 3 2 0+8 3 2 < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ø Ð ÝÖ Ó Ñ Ö Ö Ø Ö Ò 2 2 3 2 Ö Ø ÐØ 0+8 ÒÙÐйԹÒÙÐйÙØØÖÝ Ú º Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ö 0 ÒÖ 2º Î Ú Ø Ø 2 Ö ØÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ó Ò ØÓÖ Ö º º Ú ÒÒ Ò Ò Ö ÖÓØ Ò ÙØØÖÝ Ò µ 2 2 ( 2(+ Ó 3 2 0+8 3( 2( 4 3 ( 2(3 4. 2 2 3 2 0+8 Ë Ò 2 ÓÖ 0 < 2 µ Ö ÙØØÖÝ Ø Ò ÖØ Ó Ú Ò ØÓÖ Ö ÓÖØ 2º Î Ö Ø Ø Ð ÓÑ ÑÙÐ Ö Ú ØØ Ö Ô ÐÐ Ö ØÖ ÓÖ ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ò Ò 2 2 3 2 0+8 3 2 ( 2(+ ( 2(3 4 3 2 2 + 3 4 3 2 2(+ 3(3 4 2(3 4 7+4 2(3 4 7 2 2 3 4 7 2 2 3 4. ØÓÖ Ò 2 Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δº Æ Ñ Ú Ö Ò Ö ÓÖØ Ø Ð Ö ÓÖ Ö Ú Ñ Ö Ò 2 ÓÑ ¾º¾¾µ 2 < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < 2 < 3 < 3 6 < 3 < 3 4 < 5 3 4 º ËÓÑ Ú Ò Ñ 3 ÓÚ Ö ÐØ Ð Ø Ð 2 ÓÚ Ö Ðصº ØØ Ö Ó Ø 0 3 4 < 5º Î ÒÒ Ö ÐØ ÒÓ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ö Ö Ò ÓÖ Ò ÚÒ Ö Ò ÒÒ Ò Ò Ð Ø Ú Ð Ö Ö Ø 3 4 Ö Ñ Ò Ö ÒÒ ÒÓ º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ò Ò ¾º¾¾µ ÒÒ Ò Ò Ö ÓÖ ÖÓÚ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ö Ø (,3 ÓÑ ÙØ ÐÙ Ö Ø 3 4 0 ÓÑ Ó Ö ÓÖ 3 4 ÓÑ Ð Ö Ú Ø Ò 2 3 < Ö 2º Î Ñ Ö ÓÖ Ö Ò 2 Ñ Ö ÓÖ Ð Ú ØØ 4 3 º Î ÔÖ Ú Ö Ñ ¾º¾ µ 2 < 3. ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ 3 < 2 < 3 < 3 6 < < 3 4 < 3 Î Ò Ó ØØ Ô ÐÐ Ö ØÖ Ö Ø Ó ÓÖ ÓÖØ ØØ ÖÔ Ð Ö ÙØÖ Ò Ò Ò ÓÑ Ð Ö 2 2 3 2 0+8 3 2 2( 2 2 3(3 2 0+8 2(3 2 0+8 7 2 +28 28 2(3 2 0+8 7(2 4+4 2(3 2 0+8 7( 2 2 2( 2(3 4 7 2 2 3 4.

½ ÓÑ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ò Ô 3 4 > ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ 3 4 < º ÆÖ ¾º¾ µ ÓÐ Ö Ú Ð ÐØ 2 2 3 2 0+8 3 2 7 2 2 3 4 < 7 2 2 7 2 2. Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º¾ µ 2 < 2ǫ 7. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò 2 2 3 2 0+8 3 2 < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º¾ µ Ó ¾º¾ µ ÓÐ Ö Ó ØÓ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ 2 < min { 3, 2ǫ }, 7 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{ 3, 2ǫ 7 }º Ú 0 < 2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º¾ µ 2 < 2ǫ 7 ÙØ Ò Ö 2 < 3 ÓÑ Ú Ò ÓÑ Ö Ú ÓÑ 2 < 3 3 < 2 < 3 < 3 6 < < 3 4 < 3, Ð Ø ¾º¾ µ 3 4 > ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ 3 4 <. ÖÑ Ú Ð 2 2 3 2 0+8 3 2 ( 2(+ ( 2(3 4 3 2 2 + 3 4 3 2 2(+ 3(3 4 2(3 4 7+4 2(3 4 7 2 2 3 4 7 2 2 3 4 ( < 7 2 2ǫ ǫ, 7 ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º¾¼µ Ó ¾º¾½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º À ÐØ Ø Ð ÐÙØØ Ú Ò ØØ Ø Ð Ú Ô Ø ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ò ÓÑ Ø Ö Öº ØÖ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ( f( sin, 0 Ñ Ö

Ê ÆË Ê ½ ÆÖ ÖÑÒÓØ 0 Ú Ö Ö Ö Ò ÑÓØ ÐÐ Ø ÐÐ Ñ ÐÐÓÑ Ó Ô y¹ Ò ÑØ º Ò ÒØÙ Ø Ú ÑØ Ò ÓÖ Ø Ö Ñ Ö Ô ÓÑ ¾º¾µ Ó ¾º µ ÐÐ Ö ï½º¾ ÐÖ Ó Òµ Ö Ú Ò Ð ÖÙ Ô Ð Ô ÐÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ñ Ò Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ú Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ö Öº ÑÔ Ð ¾º½½º Ö Ò Ò ( lim sin 0 Ø Ö Ö Í ÓÖÑ ÐÐ ÓÖ Ð Ö Ò ÆÖ 0 Ù Ò ØØ ÓÖ ÒÖØ ÒÒÔ 0 Ö Ú Ð sin( ÓÖØ ØØ ( Ú Ò Ñ ÐÐÓÑÓ º Í Ò ØØ Ú L Ö Ú Ð Ú Ð Ö Ð Ö Ú Ö Ò ÙØØÖÝ Ø sin L ÑÝ Ú Ú Ðº ÓÖÑ ÐØ Ú Ö ÒØ Ø Ö Ò Ú Ö Ò Ø Ö Ö Ó ÐÐ ÒL Ú º ÒØ Ø lim sin( 0 Lº Ë ØØ ǫ ÒÒ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÒÒ Ò δ > 0 ÓÑ Ö Ð Ø ( ( sin L < ÒÖ 0 < < δ. Å Ò ÒÖ 0 < < δ Ú Ð sin( ÒØ Ú Ö Ò Ó Ù Ò ØØ ÚÓÖ Ð Ø Ò δ Öº ÓÖ ØØ Ð n : 2πn+ π ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÐØ ÐÐ nº Ú Ð sin( 2 n sin ( 2πn+ π 2 º Ä Ð ÓÖ yn : 2πn π ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÐØ ÐÐ n Ú Ð 2 sin( y n sin ( 2πn π 2 º Î Ò ÐÐØ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒÓ n Z ÓÑ Ö Ð Ø 0 < n < δ Ó 0 < y n < δº Ë Ø Ø ÓÐ Ö Ú Ð Ò n Ð Ø n > 4 + 2πδ ºµ ØØ ØÝÖ Ø µ Ñ Ö Ö Ø ( ( sin L n L < Ó sin L y n L < Ñ ÚÖ ÓÔÔ ÝÐغ Æ Ö Ø Ð ØØ Ø ØÓ ÙÐ Ø Ò ÑÓØ Ö Ú Ö Ò Ö ÓÖ Ú Ò ØÖ ÙÐ Ø ÑÔÐ Ö Ö Ø 0 < L < 2 Ñ Ò ÝÖ ÙÐ Ø ÑÔÐ Ö Ö Ø 2 < L < 0º º Ò Ô Ö Ú Ö Ò Ö ï ½º¾µ ÓÖ ÒÒ Ö Ò Ö Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ò Ö ÐØ Ö Ø ÒÝØØ Ò Ö ÐÐ Ö ÙÐØ Ø Ö Ó Ö Ð Ö ÓÖ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ò ÓÖ ÙØ Ö ÔÖÓ ÝÖ Ò Ö ÑÔÐ Ò ÓÖÖ Ú Ò ØØ Ú Ö Ò º Î Ñ Ö Ö ÙØ Ò Ø Ñ ØÓ Ò Ö ÓÖÖ Ú Ò ØØ Ö Ó Ò Ñ ØÓ Ø Ð ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ø ÒÖ Ú Ö ÙÒÒ Ø Ò Ø Òº Á ÔÖ ÖÙ Ö Ú Ö ÓÖ Ö Ø Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ø Ð Ú Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÓÑ Ö Ò Ö ÓÑ Ú ÖÙ Ö ÓÖ Ö Ò Ö Ò Ú Ö Öº Á ØØ Ú Ø ÖÙ Ö Ú Ò ÒØ Ó ÒÝØØ Ú Ø Ò ÒÒ Ò ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø ÐØ Ê ÙØ Ó ÙÖ¹ ÙÑ Ú º Ê Ù ÓÒ Ø Ð Ò ÑÓØ Ð Ú ÒØ Ö Ø ÑÓØ ØØ Ú Ø Ú Ð Ú Ó ÙØÐ Ö Ò ÐÚÑÓØ Ð º

½ Î ÓÔÔ ÙÑÑ Ö Ö Ö Ú Ø Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ã Ôº ½ ÐÖ Ó Ò ÓÑ Ö Ó Ø Ò Ø Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ñ Ò Ø Ð ÐÐ Öº Ì ÓÖ Ñ º½º Ö Ò ØÒ Ò Ò µ ÒØ Ø Ö Ò Ò lim f( Ó lim g( Ø Ö Ö Ó k Rº Ð Ö ( µ lim f(±g( lim f(± lim g( ( ( µ lim f(g( lim f( lim g( f( lim f( µ lim g( Ö ÓÑ lim g( 0 lim g( Úµ lim kf( k lim f( ( m/n ( m/n Úµ lim f( lim f( ÓÖ a Ð Ø ÙØØÖÝ Ò Ö Ò Öصº Ì ÓÖ Ñ º¾º Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Øµ ÒØ Ø f( g( h( ÓÖ ÐÐ Ò ÔÙÒ Ø ÖØ ÓÑ Ò ÓÑ a Ó Ø lim f( lim h( Ó Ø Ö Öµº Ú Ð lim g( lim f( lim h(. Ú Ö Ø ÙÒ Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ñ +µ ÓÑ Ú ÐÖ Ó Ò ï½º µ Ö Ø Ò Ð Ö ÓÖ Ö Ô ÐÚ ÓÔÔ Ú Öº f( Ñ Ö Ò Ò º º Î Ñ Ö Ö Ø Ø Ð ÐÐ Ø lim g( º½º Î Ò Ø º½µ Ñ lim g( 0 Ú Ì ÓÖ Ñ f( ÀÚ lim g( 0 Ó lim f( 0 Ø Ö Ö lim g( º f( ÓÖ Ú Ö Ò Ò Ø Ö Ö lim L Ö Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø g( f( g( lim f( lim lim g( ( f( g( g( L 0 0. Ö ÓÑ lim g( lim f( 0 Ò Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ö º Î ÒÐ Ò Ö Ô Ñ ØÓ Ö Ö ÓÖ ØÓÖ Ö ÐÐ Ö Ö٠гÀÔ Ø Ð Ö Ð ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö Ø Ð ÐÖ ï º ÐÖ Ó Òº º¾µ Î ÐÔ Ú Ö ÙÐØ Ø Ò ÑÑ Ò Ñ ØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ò lim a ÓÑ Ö Ø Ô ÐØ Ð ÐÐ Ú ÑÔ Ð ¾º Ó Ú ÓÖ ÚÖ ÑÔ Ð ¾ µ ｺ ÐÖ Ó Ò Ú ÐÔ Ú Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò µ Ó º µ lim c c, ÚÓÖ c Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ Ú ÑÔ Ð ¾ µ ｺ ÐÖ Ó Òµ Ò Ú ÒÒ Ö Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÒØ ÙÒ ÓÒ¹ Öµº Ä Ó º º Ô ÚÓÖ Ò Ú Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔ Ð ¾º º ÀÙ Ø ØØ ØÝÖ Ø Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÙÒ Ø a ÓÖØ ØØ Ö a ｺ

Ê ÆË Ê ½ ÑÔ Ð º º 3 4 2 +4 3 Î Ú Ð ÒÒ lim º + Î Ö Ò Ö ÙØ Ó Ö Ú Ð Ò Ý Ø Ô ÚÓÖ Ú ÖÙ Ö Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½µ ÙØ Ò Ö lim (3 4 2 +4 3 (i lim 3 lim (4 2 + lim 4 lim 3 (iv, º µ lim 3 4 lim 2 +4 lim ( (ii 3 ( 2 lim 4 lim +4 lim 3 3 º¾µ 3 4 2 +4 3 4+4 3 2. (i lim(+ lim + lim º¾µ, º µ + 2 0, Ð Ø Ú Ò ÖÙ Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ø ( 3 4 2 +4 3 lim 3 4 2 +4 3 lim + lim (+ 2 2. Ä Ó Ô Ø Ô Ö Ò Ö ÑÔÐ Ö +25 5 ÑÔ Ð º º Î Ú Ð ÒÒ lim º Î Ñ Ö Ö Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ö ÑÓØ 0 0 Ð Ø Ò ÒØ Ò Ö Ú ÓÖØ º Ñ Ö Ò Ò º ºµ Î ÓÑ Ö Ú Ö Ú Ò Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ñ +25+5 +25 5 ( +25 5( +25+5 ( ( +25 2 5 2 +25+5 ( +25+5 +25 25 ( +25+5 ( +25+5. Ë Ò lim Ú º µµ Ó 0 lim ( +25+5 0 Ö Ú Ú Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø +25 5 lim 0 (i lim +25+ lim 0 (iv, º µ (i º¾µ, º µ lim 0 0 5 lim (+25+5 0 lim + lim 25+5 0 0 0+25+5 0, ( +25+5 0. Î Ö ÚÖØ Ú Ð ÔÔ Ð Ñ Ñ Ö Ö ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ÓÖ ÐÐ Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½ ÒÓ ÓÑ Ö Ú ÒÐ Ö Ú º º Ú Ò Ñ Ò Ú Ö Ð ºµ

½ Ë Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ö Ý Ø ÓÔÔ Ú Ó ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ò ± Ó Ö Ú Ø Ì ÓÖ Ñ º½ µ¹ µ Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø ÒÒ ØØ Ò º µ ÀÚ P( Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ö lim P( P(aº Ø ÑÑ Ð Ö Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ú º ÚÓØ ÒØ Ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º½ µ¹ µ Ö ÑØ Ò ÚÒ Ö Ö ÒÙÐÐ a º µ ÀÚ P( Ó Q( Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ó Q(a 0 Ö lim P( Q( P(a Q(a º ËÓÑ Ú Ú Ð Ò Ø Ú Ò ØØ ØÝÖ ØØ ÒÒ Ø ÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ó Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú º ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ö Ò Ò Ú Ö Ø ÒÒ ØØ Ò ºµ Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø º¾ Ö ÒÝØØ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÓÐ Òº Ä Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÖÙ Ô ÙÒ ÓÒ Ò ÑÔ Ð ¾º ÓÑ Ó Ò ÖÙ Ø Ð ÐÐÙ ØÖ Ö Ð ÖÙ Ú Ö Ò ØÒ Ò Ò ÑÔ Ð º º ÈÖÓ Ð Ñ ÒÒ lim sin( 2 º 0 Ð Ð Ò Ò Ñ Ò Ñ Ö ØØ Ú Öµ Î ÔÖÓ Ù ØÖ Ð Ò ÓÖ Ö Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ö Ú Ø lim sin( 0 2 lim 2 lim sin 0 0 ( 0 lim sin 0 ( 0. ÀÚÓÖ Ð Ö Ð Ò ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ò Ö Ò ØÒ Ò Ò ÓÖÙØ ØØ Ö ( Ø Ö Ò Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø Ø Ö Ö Ñ Ò ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ö Ö lim sin ÓÑ Ú ÑÔ Ð 0 ¾º½½ Ð Ø Ö Ð Ò Ò ÖÙ º Ê Ø Ð Ò Ò Î Ö ÓÖ 0µº Ò Ö Ú Ñ 2 Ö Ú sin 2 2 sin ( ( 2. Ë Ò lim( 2 lim 2 0 Ö Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ó 0 0 lim 0 2 sin ( 0. Â Ú Ö Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ò Ö Ò Ö Ó Ö Ò Ö ÑÓØ Ù Ò Ð lim lim f(, +f( lim f(, lim f(. ÆÖ Ñ Ò Ö ÒØ ÚÓÖ Ò Ñ Ò ÖÙ Ö Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ø Ð ÐÐ Ø Ò ÓÒ ¾º½ Ö Ø Ò Ò Ò ØÓÖØ ØØ Ò ÑÑ Ò Ö Ø Ð ÐÐ Ò Ó º Ñ Ö Ò Ò º º Ö Ò ØÒ Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½µ Ó Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø º¾ Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ö Ò Ö Ó Ö Ò Ö ÑÓØ Ù Ò Ð Ú ÝØØ ÙØ lim Ñ lim lim + lim lim º

Ê ÆË Ê ½ Â Ú Ö Ó Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ù Ò Ð Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ô ÐØ Ð ÐÐ Ö Ú Ö Ò Ö ÓÑ Ø Ö Öº Â Ú Ö Ò Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÒ Ò Ú Ø Ò ÙÒ ÓÒ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÔÙÒ Ø a Ò Ò ÓÒ Ñ Ò Ò ÑÐ Ø Ö Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÐÐ Ö lim f( f(a Ö Ú Ö Ø ØØ Ö Ö Ò Ò Ñ Ò Ò Ö Ò Ö ÓÑ f Ö ÙÒ Ò ÖØ Ô Ò Ò Ò Ú aµº Î Ö Ò ÒÝ Ö Ð ÓÖ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÑÐ Ì ÓÖ Ñ ï½º Ì ÓÖ Ñ º º Ö Ò Ú ÑÑ Ò ØØ ÙÒ ÓÒ Öµ ÀÚ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ L Ó lim g( L Ö lim f(g( f(l Î Ù Ö ÒÒ Ö Ð Ò Ø ÓÑ lim f(g( f(lim g(, Ú º Ö Ò Ò Ò ØÖ ÒÒ Ò ÓÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ ÓÒº Ú Ø Ö ÇÔÔ Ú ½º º Î Ú ÐÙØØ Ö Ñ Ø ÑÔ Ð ÓÑ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÙ ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÐ Ö Ö ÓÑ Ú Ö Ú Ö Ø f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º ÑÔ Ð º º Ä f( {, 0, 0 Ö f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ 0 Ò lim f( 0 Ó f(0 º Ä g( º Ö lim g( 0 0 0 Ñ Ò lim f(g( lim f( 0 f(0 f(lim g(. 0 0 0 Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò