Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio is give by ( L(β β(β + x i ( x i β β (β + x i ( x i β, ad the log likelihood which has derivative l L(β l β + l(β + + l x i + (β (l L (β β + β + + l( x i. l( x i, (l L is decreasig o (, ad the sum of two first terms teds to whe β + ad to whe β, so that (l L will have a sigle zero (the third term is egative for β > ad be positive left of the zero ad egative right of the zero. This meas that L has its maximum at this zero. Solvig for the zero, we get β ( l( x i + + l( x i β +, β l( x i ± 4 + ( l( x i l( x i l( x i ( ± l( x i + 4. We choose the larger zero sice (l L has oly oe zero for positive argumets (the other we foud must be egative, ad get the maximum likelihood estimator ( + l( X i 4 l( X i ( + l( X 4 l( X. ov9-lsf-b 5. mars 5 Side
For ad l( x i 4. the estimate is /.4 + /4 + /.4 /.545. (The discussio of actual attaimet of maximum at the zero ad of which zero to be chose, is ot required. Oppgave Atar atall grove fartsoverskridelser, X, over et tidsrom t er oissofordelt med parameter t. a Sasylighetsfordelige til X er gitt ved: Med.5 og t 5 får vi : (X x (tx e t x! (X x (.5x e.5 Sasylighete for at det skjer ige grove overskridelser i periode: x! (X e.5.8 Sasylighete for at det skjer mer e grove overskridelser i periode: (X > (X ( (X + (X + (X (.8 +.5 +.57.456 E[X].5, Var[X].5 b Sa fart på bilee er, lasermåligee er N(,.5. Skal fie sasylighete for at lasere viser mer e km/h for e bil som kjører i 9 km/h. ( Y 9 9 (Y > 9 >.5.5 Kostate må oppfylle: som ka omformes til ( Y.5 Kostate er dermed gitt ved: (Z >.67 (Z.67.749.5 (Y k. k.5. k.5.35 k +.5.35 33.5 ov9-lsf-b 5. mars 5 Side
c Sasylighetstetthetsfuksjoe er gitt ved: f(x, x, x 3, x 4, t, t, t 3, t 4 (t x e t Som gir følgede likelihood: x! (t x e t x! (t 3 x 3 e t 3 x 3! (t 4 x 4 e t 4 x 4! L( x, x, x 3, x 4, t, t, t 3, t 4 x i t x i i x i! e t i l L( x, x, x 3, x 4, t, t, t 3, t 4 l x i + l( t x i i t i l( x i! t Deriverer og setter lik ull: l L(... x i t i x i t i dvs. sasylighetsmaksimerigsestimatore er: X i t i X i Forvetigsverdie til estimatore er: E[] {E[X ] + E[X ] + E[X 3 ] + E[X 4 ]} {5 + 5 + + } og variase er: Var[] {Var[X ]+Var[X ]+Var[X 3 ]+Var[X 4 ]} {5+5++} d Y 4 X i er oissofordelt med parameter 4 t i : Med.5 er Var[Y ] 5 det er rimelig gru til å tro at fordelige til Y ka tilærmes med e ormalfordelig. Y (v;, (z;, ov9-lsf-b 5. mars 5 Side 3
Vi får: z α z α < < z α α < < + z α α e α.5, et 95 % kofidesitervall blir: (.67.97,.67 +.97 (.38,.96 9 9 (T t (T > t (X i tidsrommet [, t] { e t t > T er ekspoesialfordelt. ellers. La U mi{t, T,..., T 8 } (U u (T > u, T > u,..., T 8 > u { 8 e u u > ellers. { e 4u u > ellers. 8 (T i > u { e 8u u > ellers. (U 4 e.368.63 Oppgave 3 (Merk: I følgje oppgåvetekste skal kofidesitervallet utleias, ikkje berre setjas opp! Vi har at X,..., X er u.i.f. N(, σ og at Y,..., Y m er u.i.f. N(, σ, og også at alle X i -ae er uavhegige av alle Y j -ae, i,...,, j,..., m. Forvetigsverdiae og er ukjede, meda variase σ er felles og kjed. Naturleg estimator: ˆ ˆ X Ȳ Då estimatore er ei lieærkombiasjo av uavhegige ormalfordelte variable er ha sjølv ormalfordelt med: E( ˆ ˆ E( X E(Ȳ Var( ˆ ˆ Var( X + Var(Ȳ σ + σ m. ov9-lsf-b 5. mars 5 Side 4
D.v.s: X Ȳ ( σ + m N(, som gjev: ( z α X Ȳ ( σ + m X Ȳ z α σ + m X Ȳ + z α σ + m D.v.s. at vi får ( α% kofidesitervall ved: z α α α [ ] X Ȳ z α σ + m, X Ȳ + z α σ + m For å få umerisk svar set vi i talverdiae: x 8.8, ȳ 6.7, σ, m og z.5.96. Får då eit 95%-kofidesitervall på: [.977, 4.483] Oppgave 4 a T eksp( z E(T z, z. (T z z e x dx (T.5 e z.5 e z.5 z l.5.69 z., z. (T T? Fier simultafordelige til T og T : x 5 e 5 dx [ e x 5 ] e.86 f(t, t z e z t z e z t side T og T er uavhegige. (T T z z t f(t, t dt dt z z [ z e z t z t ] t dt z z t z z [ z +z e ( z +z t ] z z +z..+. 3 e z t e z t dt dt e z t z t dt ov9-lsf-b 5. mars 5 Side 5
b SME for : f(t,..., t ;, z,..., z z i e t i L(; t,..., t, z,..., z z i e t i l( l L( l l t i l + t i t i t i Dermed er SME T i. E( E( T i E(T i Dvs. estimatore er forvetigsrett. Var(ˆ Var( T i z i z i Var( T i zi Var(T i c MGF for T i : M Ti (t V T i M zi (t T i t (Fuet i tabell. T i t ( t (Bruker at M ax (t M X (at M V (t ( t ( t (Bruker at M X (t i M X i (t ( t er MGF for kji-kvadratfordelige med frihetsgrader. V har samme MGF som kji-kvadratfordelige med frihetsgrader, derfor er V χ. d ( α% kofidesitervall for : Bruker at V χ. Det gir kofidesitervallet [ (z α/, V z α/, α (z α/, z α/, α ( z α/, ( z α/, z α/, α α z α/, z, α/, z ] α/, ov9-lsf-b 5. mars 5 Side 6
α.,, 7.38 z α/, z.95,.85, z α/, z.5, 3.4 Isatt disse tallverdiee blir kofidesitervallet [88.9, 34.7] TMA445 Statistikk ov9-lsf-b 5. mars 5 Side 7