Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert formelsamling). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling (bakerst i oppgavesettet). Kontroller at du har fått alle arkene. Les oppgavetekstene nøye. Bruk egne ark på hver oppgave. Begrunn alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave a) Finn funksjonsuttrykket/ligningen til den rette linjen som går gjennom punktene (2, 2) og (4,). b) Nedenfor ser du grafen til en annengradsfunksjon. Skriv ned funksjonsuttrykket til denne funksjonen.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 c) Bruk derivasjon til å bestemme lokale topp- og bunnpunkter for funksjonen g x = 2x + 3x 2x + 4. d) Finn asymptotene til funksjonen f x = 3x + 4x 2 x Oppgave 2 a) Den dagen du fyller 20 år bestemmer du deg for å sette 000 kroner i banken på en pensjonskonto. På 2 årsdagen øker du beløpet og setter 00 kroner inn på pensjonskontoen. Beløpet du setter inn på kontoen økes deretter med 00 kroner for hvert år. Dette fortsetter du med helt frem til 69 årsdagen din. Hvor mye penger vil du ha satt inn på kontoen i løpet av disse årene? b) En venn av deg skal også spare penger til pensjonen. Han starter også med å sette inn 000 kroner på 20 årsdagen. Han bestemmer seg for å øke det årlige sparebeløpet med 5% hvert år. Vennen din fortsetter også sparingen frem til 69 års dagen. Hvor mye har han til sammen satt inn på kontoen? Oppgave 3 Du bestemmer deg for å spare litt penger og setter derfor 0 000 kroner i banken. Du får 4% rente i året av banken. a) Hvor mye har beløpet vokst til etter 3 år. Finn også et uttrykk for hvor hva beløpet har vokst til etter n år. b) Hvor mange år tar det før beløpet han har satt i banken har blitt doblet? c) En venn av deg sparer penger i en annen bank. Du registrerer at etter 5 år har beløpet han satte i banken blitt doblet. Hva er renten i denne banken? 2
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Oppgave 4 Funksjonen f er gitt ved f x = 4e 2x e a) Hva er funksjonens største mulige definisjonsområde? b) Deriver f og bruk den deriverte til å bestemme funksjonens (lokale) ekstremalpunkter. c) Regn ut det ubestemte integralet xe dx d) Regn ut det ubestemte integralet x cos x dx Oppgave 5 a) Et fly av en bestemt type bruker en gitt dag 30 sekunder fra flyet starter å kjøre på rullebanen til det tar av. I disse 30 sekundene er akselerasjonen konstant 2,5. Finn ut hvor meter flyet kjører på rullebanen før det letter. b) Litt senere skal flyet lande på en flyplass. I det hjulene tar bakken har flyet en hastighet på 65 m/s. Det kjører bortover rullebanen med denne hastigheten i 5 sekunder før kapteinen setter på bremsen. Når flyet breser har det en akselerasjon (dette kalles gjerne retardasjon) på 3. Han bremser i 20 sekunder. Deretter fortsetter han med den hastigheten flyet da har i 0 sekunder før det svinger av rullebanen. Regn ut hvor mange meter flyet kjører på rullebanen. Det vil si avstanden fra hjulene tar bakken til flyet svinger av. 3
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Oppgave 6 Vi har gitt funksjonen f x, y = x 3x + 2xy + y a) Regn ut de partiellderiverte av første orden. b) Finn de stasjonære punktene til funksjonen. NB. Det er ikke nødvendig å klassifisere dem. c) Forklar kort hva en nivåkurve er. d) Likningen x 3x + 2xy + y = gir en nivåkurve. Punktet (,) ligger på denne kurven. Bruk implisitt derivasjon til å finne likningen til tangenten til kurven i dette punktet. Oppgave 7 En gjenstand settes til avkjøling i et rom med temperaturen T 0. La y(t) være gjenstandens temperatur etter t timer. Etter Newtons avkjølingslov vil endringen av gjenstandens temperatur være proporsjonal med differensen (y T 0 ). a) På en varm sommerdag kjøper du deg en flaske hvitvin på Vinmonopolet. Flasken har en temperatur på 25 grader. For at den skal få riktig temperatur legger du den i kjøleskapet. Temperaturen i kjøleskapet er 5 grader. Vi skal anta at proporsjonalitetskonstanten er 0,4. Vis at differensiallikning y = 0,4 y 5 modellerer denne situasjonen. Løs også differensial likningen. b) Hva er temperaturen til flasken etter 2 timer? c) Anta at flasken i punkt a) skal kjøles ned til 0 C før servering. Hvor lang tid tar det? 4
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Formelsamling for Matematikk 2, Modul Generelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN Ligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 har løsninger gitt ved 𝑥 = 𝑏 ± 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 KONTINUERLIG FUNKSJON 𝑓 er kontinuerlig i c dersom lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐) INVERS FUNKSJON 𝑔 er invers til 𝑓 dersom 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥. Den inverse skrives ofte 𝑓 (𝑥). Rekker GEOMETRISK REKKE 𝑥 = + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + + 𝑥 = 𝑥 𝑥 Rekken er konvergent dersom < 𝑥 <, og da er 𝑥 𝑥 = + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + = lim = 𝑥 𝑥 Summen av geometrisk rekke kan også skrives slik 𝑆 = 𝑎 + 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑎 + + 𝑘 𝑎 = 𝑘 𝑎 𝑘 ARITMETISK REKKE La 𝑑 være den faste differensen mellom leddene. Da er 𝑎 + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 + 𝑑 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + + 𝑎 = hvor 𝑛 = 2 𝑑 Derivasjon PRODUKTREGELEN: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 + 𝑔 𝑥 ℎ (𝑥) 5
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 KJERNEREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑢 𝑥 ), så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) KVOTIENTREGELEN 𝑢(𝑥) 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 (𝑥) Hvis 𝑓 𝑥 =, så er 𝑓 𝑥 = 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥) POTENSREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 så er 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥, hvor 𝑎 𝑅, 𝑛 𝑄. DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎, så er 𝑓 𝑥 = 𝑎 ln(𝑎), hvor 𝑎 > 0. (spesialtilfelle: 𝑒 = 𝑒, siden ln 𝑒 = ). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis 𝑓 𝑥 = ln 𝑥, så er 𝑓 𝑥 = 𝑥, hvor 𝑥 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER sin(𝑥) = cos(𝑥) og cos(𝑥) = sin(𝑥) PARTIELT DERIVERTE: For en funksjon 𝑓(𝑥, 𝑦) skriver vi 𝑓 𝑥 eller 𝑓 (𝑥, 𝑦) for den partielt deriverte med hensyn på x. Tilsvarende for derivasjon med hensyn på y. Annenderiverttesten Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 < 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 maksimumsverdi. Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 > 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 minimumsverdi. et lokalt maksimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal et lokalt minimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : () Forutsatt at 𝑔 𝑥 0 har vi lim = lim (). Regelen kan brukes til å bestemme grensen i tilfeller hvor vi har lim = " ". L HÔPITALS REGEL FOR / : () Dersom lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔 𝑥 =, da er lim = lim () () forutsatt at lim () eksisterer, eller er ±. Regneregler for logaritmer 𝑙𝑛𝑎 = 𝑛 ln(𝑎) ln 𝑎𝑏 = ln(𝑎) + ln(𝑏) 6
Høgskolen i Telemark ln Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 𝑎 = ln 𝑎 ln(𝑏) 𝑏 Integrasjon DELVIS INTEGRASJON 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢𝑣 𝑑𝑥 INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Dersom 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥), så er 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) 𝑑𝑢 = 𝐺 𝑥 + 𝐶, hvor G er en antiderivert til g. Ved beregning av bestemte integraler: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 SPESIELLE INTEGRALER 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑛+ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶 ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑥 + 𝐶 Funksjoner i flere variable TANGENTPLAN Dersom 𝑓(𝑥, 𝑦) er en partielt deriverbar funksjon, er tangentplanet for grafen til 𝑓 i punktet 𝑎, 𝑏 gitt ved 𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 + 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑏 + 𝑓 𝑎, 𝑏. STASJONÆRT PUNKT Dersom 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 og 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 kalles 𝑥, 𝑦 et stasjonært punkt. Løsninger av differensialligninger Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦, har løsning 𝑦 = 𝑘𝑒 ". Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏, 𝑎 0, har løsning 𝑏 𝑦 = 𝑘𝑒 " 𝑎 Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. 7