AST5220 forelesning 1 Litt praktisk CMB-analyse Hans Kristian Eriksen 16. januar 2008
Litt om kurset Pensum basert på Modern Cosmology av Scott Dodelson Mål : Å forstå dannelse av storskala-strukturer i universet Fire forelesere: Øystein Elgarøy Per Lilje Frode Hansen Hans Kristian Eriksen En forelesning i uka klokka 14.15 i peisestua Mine to dobbelt-timer blir hver først foredrags-stil med PowerPoint i første time, og praktiske eksempler i andre time Trenger ikke å ta notater, ettersom PDF er av foredragene blir gjort tilgjengelig Holder på til en gang uti mai Muntlig eksamen Tidspunkt avtales senere
Plan for første forelesning Første time introduksjon til CMB-teori og -analyse: Kjapp kosmologi-oppsummering fra tidligere (håper jeg) Matematisk beskrivelse av bakgrunnsstrålingen Andre time praktiske eksempler og forberedelser: CMBFast fra kosmologi til CMB-spektrum Hvordan velge parametere, kjøre programmet, og plotte resultatet Healpix praktisk behandling av CMB-data Synfast Hvordan lage et CMB-kart fra CMBFast-spekteret Map2gif Hvordan plotte resultatet Anafast Hvordan estimere power spekteret fra kartet Forberede kontoer, pather etc. på lokale maskiner og Titan Beskrivelse og utdeling av prosjektoppgave
Bittelitt kosmologi
Grunnleggende idéer bak Big Bang: 1) Big Bang-modellen Universet ekspanderer i dag Derfor må universet ha vært mindre tidligere Veldig tidlig må det ha vært veldig lite Når en gass komprimeres, blir den varm Det tidlige universet må ha vært veldig varmt Høy-energi-fotoner ødelegger partikler Kun elementær-partikler kan ha eksistert tidlig Mer komplekse partikler ble dannet etterhvert som temperaturen falt Viktige epoker i universets CMB-historie: Skapelse (!) omtrent 14 milliarder år siden Inflasjon rask ekspansjon omtrent 10-35 s etter Big Bang; strukturer dannes Rekombinasjon temperaturen faller under 3000K omtrent 300,000 år etter Big Bang; hydrogen dannes
2) Inflasjon og initial-betingelser Vi observerer at universet er svært nær flatt (euklidsk) isotropisk (ser likt ut i alle retninger) Hvorfor? Beste idé: Inflasjon! Kort periode med eksponentiell ekspansjon Størrelsen til universet øker med 10 23 i løpet av 10-34 sekunder! Effekter: Geometry drives mot flatt Alle før-inflasjons-strukturer vaskes ut Men aller viktigst: Universet fylles med et plasma bestående av høy-energifotoner og elementær-partikler Kvante-fluktuasjoner dannet små variasjoner i plasma-tettheten
3) Gravitasjonell strukturdannelse
4) Kosmisk bakgrunnsstråling Tid Temp. Universet startet som en varm gass med fotoner og frie elektroner Hyppige kollisjoner førte til termodynamisk likevekt Fotoner kunne bare bevege seg noe få meter før de spredte på et elektron Gassen ekspanderte raskt, og derfor ble avkjølt Da temperaturen falt under 3000 K gikk elektroner og protoner sammen, og dannet nøytralt hydrogen I dag Uten frie elektroner kunne fotonene bevege seg fritt gjennom hele universet!
4) Kosmisk bakgrunnsstråling Tid Temp. Universet startet som en varm gass med fotoner og frie elektroner Hyppige kollisjoner førte til termodynamisk likevekt Fotoner kunne bare bevege seg noe få meter før de spredte på et elektron Bakgrunnsstrålingen er vår Gassen ekspanderte raskt, eldste og reneste informasjonskilde om det tidlige og derfor ble avkjølt univers! Da temperaturen falt under 3000 K gikk elektroner og protoner sammen, og dannet nøytralt hydrogen I dag Uten frie elektroner kunne fotonene bevege seg fritt gjennom hele universet!
Matematisk beskrivelse av CMB-fluktuasjoner
CMB-observasjoner og kart Et CMB måle-instrument er egentlig bare en dyr TV-antenne Man retter antennen i en retning, og får ut en spenning Jo høyere spenning, desto mer innkommende stråling Jo mer innkommende stråling, desto varmere CMB-temperatur Man scanner så himmelen med antennen, og får et kart over temperaturer i alle retninger på himmelen Kartet blir ofte vist i den såkalte Mollweide-projeksjonen: Nord-pol Ekvator 180 90 0 270 180 Sør-pol
CMB-observasjoner og kart Problem: Hvordan pikseliserer man en kule-flate? Det finnes ingen perfekt regulær oppdeling Man må spørre hvilke operasjoner man ønsker å optimalisere Standard i CMB-miljøet i dag er HEALPix: Pikslene ligger på ringer med lik bredde-grad De er hierarkisk inndelt Høy-oppløsnings piksler ligger innenfor lav-oppløsnings-piksler
CMB-observasjoner og kart Oppløsningen er gitt ved en parameter kalt N side Antall sub-piksler langs kanten på én basis-piksel Siden det er 12 basis-piksler, er totalt antall piksler i et kart Gjennomsnittlig piksel-størrelse er derfor Nside = 1 Nside = 4
CMB-observasjoner og kart Vi er mer imidlertid interessert i fysikk enn detaljer i et CMB-kart Forskjellige fysiske effekter virker på forskjellige skalaer Inflasjon virker på alle skalaer, fra små til veldig store Strålings-diffusjon virker på små skalaer Nyttig å kunne splitte opp kartet i veldefinerte skalaer
Fourier-transformasjon Teorem : Enhver funksjon kan ekspanderes i bølge-funksjoner I vanlig flatt rom kalles dette Fourier-transformasjon: a k bestemmer modens (bølgens) amplitude Fasen til a k bestemmer posisjonen til bølgen langs x-aksen Fourier-komponentene er (opp til normalisering) gitt ved 0,1 0,04 Amplitude 0 0,03 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0,03-0,04 0 100 200 300 400 500-0,1 0 100 200 300 400 500 Time Amplitude Amplitude 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0,03 0 100 200 300 400 500 500 Time
Power spekteret For støy -fenomener er vi kun interessert i amplituden til fluktuasjonene som en funksjon av skala Husk at bakgrunnsstrålingen er støy fra Big Bang! Spesifikke posisjon til maksima eller minima er irrelevant Dette kvantifiseres ved hjelp av power spekteret, P(k) = a k 2 Power på en gitt skala = kvadratet av Fourier-amplituden 0,02 Amplitude Amplitude 0,01 0-0,01-0,02-0,03 0 100 200 300 400 500 0,02 0,01 0-0,01-0,01-0,02-0,02 Time -0,03-0,03 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 Time Time Power spectrum 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Frequency
Laplace s likning på kula Fourier-transformasjonen er spesifikk for flatt rom De ønskede basis-bølge-funksjonene i et vilkårlig rom er gitt ved Laplace s likning: Siden CMB-feltet er definert på en kule-flate, må man løse denne likningen i sfæriske koordinater (der ): Det er (heldigvis!) gjort i andre kurs, og svaret er for l 0 og m = - l,..., l Funksjonene Y lm kalles sfærisk harmoniske funksjoner
Sfærisk harmoniske funksjoner Sfærisk harmoniske funksjoner er bølge-funksjoner på kule-flaten Fullstendig analog til den komplekse eksponential-funksjon i flatt rom Istedet for bølge-tall k, beskrives disse av to kvante-tall l og m l bestemmer bølge-lengden til moden l er antall bølger langs en meridian m bestemmer fasongen til moden m er antall bølger langs ekvator m = 0 m = 2 m = 4 m = 1 m = 3 l = 4
Forholdet mellom skala og multipol ` = 0 Hvis vi øker l med én, så øker antall bølger mellom 0 og 2π med én Bølgelengden er derfor ` = 1 ` = 2 ` = 3 Dette holder kun langs ekvator For en generell l-mode (sum over m) sier vi mer generelt at typisk størrelse for en flekk er ` = 4
Sfærisk harmoniske transformasjoner Teorem : Enhver funksjon definert på kuleflaten kan ekspanderes i sfærisk harmoniske: Ekspansjons-koeffisientene er gitt ved: = + + + + l = 2 l = 3 l = 20 l = 50 = 50 l = 100 +...
Det angulære power spekteret Det angulære power spekteret måler amplitude som en funksjon av bølgelengde Det er definert som et gjennomsnitt over m for hver l: l = 4 10 4 Merk: Denne m-midlingen er kun vel-begrunnet dersom feltet er isotropt! Power spectrum (μk 2 ) 10 3 10 2 10 1 101 10 0 100 10 100 1000 1000 Multipole moment, l
Gaussianitet Anta at bakgrunnsstrålingen er Gaussisk fordelt Dette vil være tilfellet dersom den ble dannet fra et kvante-felt (harmoniske oscillatorer) i grunntilstanden under inflasjons-fasen I så fall er sannsynlighets-distribusjonen for a lm gitt ved Power spekteret er ganske enkelt variansen til a lm -ene! Generelt: For et Gaussisk og isotropt felt, inneholder power spekteret all statistisk informasjon! Litt mer presist: Alle momenter av sannsynlighets-distribusjonen er gitt av variansen
Egenskaper ved reelle felt En nyttig symmetri-egenskap ved sfæriske harmoniske funksjoner er Fordi et CMB-kart er et reelt felt, og ikke komplekst, må
Simulering av Gaussiske CMB-kart Algoritme: For hver l 0, og m = 0, trekk og sett imaginær-delen til 0. Husk symmetri-egenskapen, For hver l > 0, og m = 1,..., l, trekk Beregn den inverse sfærisk harmoniske transformasjonen
Teoretisk og observert spektrum Man har to typer power spektra: 1. Gitt et spesifikt kart, beregn Dette er det observerte spekteret til en bestemt realisasjon 2. Gitt et ensemble av kart (tenk tusenvis av uavhengige realisasjoner), beregn Dette er det ensemble-midlede spekteret Fysikken sitter i, mens vi observerer kun Alle CMB-målinger er forbundet med en usikkerhet kalt kosmisk varians Den kosmiske variansen er gitt ved
Teoretisk og observert spektrum Power spectrum, C l l(l + 1)/2π (μk 2 ) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Teoretisk spektrum Observert spektrum 10 100 1000 Multipol moment, l
Kosmologi og CAMB Forskjellige fysiske effekter påvirker forskjellige skalaer Gravitasjonell tiltrekning klumper materie Fluktuasjoner blir forsterket Power spekteret øker på de relevante skalaene Strålingstrykk vasker ut struktur Fluktuasjoner blir dempet Power spekteret avtar på de relevante skalaene For at CMB-observasjoner skal være nyttige, må vi kunne beregne det teoretiske CMB-spekteret fra en gitt kosmologisk modell Heldigvis har andre skrevet programmer som gjør dette for oss, og vi kan benytte resultatene Vi skal bruke programmet CAMB (skrevet av Antony Lewis) i dette kurset
Oppsummering av hoved-punkter 1. All statistisk informasjon i et Gaussisk og isotropt felt er inneholdt i power spekteret 2. Et teoretisk spektrum for en gitt kosmologisk modell kan beregnes ved hjelp av programmer som CAMB Dette skal vi gjøre i neste time 3. Gitt et teoretisk power spektrum er det enkelt å simulere en tilhørende CMB-realisasjon ved å trekke de sfærisk harmoniske koeffisientene fra en Gaussisk distribusjon, og så beregne