FYS6 Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig Sindre Rannem Bilden. september 05
Oppgave 0. - Likevekt i et spinnsystem a Hva er antallet mikrotilstander i et system med antall spinn? Svar: Da hver spinn har to orientasjoner vil antall mikrotilstander være. b Uttrykk den totale energien ved nettospinn s. Svar: Ved å introdusere E S+ = µb og E S = S µb vil den totale energien bli E tot = E S+ + E S = S µb = sµb c Generer 0 000 tilfeldige mikrotilstander for et system med = 50 spinn. Anta at alle mikrotilstaner er like sannsynlig. Plott energien opp mot tilhørende mikrotilstand. Svar: Koden i Vedlegg bygger en matrise med n tilfeldige mikrotilstander for et system med partikler. Koden skriver også ut Figur og. Figur : Histrogram over mikrotilstanene vist i Figur. d Vis at multiplisiteten til en tilstand med antall spinn opp er: Ω, =!!S! Svar: Da vi har antall partikler kan positiv spinn plasseres på Ω, =! måter. Dette kan skrives!!. Da partiklene må ha spinn, positiv eller negativ kan skrives om til S og vi får Ω, =!!S!. e Vis at multiplisiteten kan uttykkes ved netto spinn s på denne måten: Ω, s =! s! +s! Svar: Ved å reintrodusere s = S kan man skrive s + S =, som tidligere er = S + så vi kan skrive s+ = som gir = +s, tilsvarende for S og vi får S = s. Settes disse inn i resultatet fra deloppgave d får vi Ω, s =! s! +s! Figur : Graf over energi over en n lang rekke mikrotilstander. f Vis at multiplisiteten kan skrives som Ω, s = Ω, 0 exp s / Svar: Utregning ligger som Vedlegg.
g Sammenlign det analytiske resultatet med histogrammet for mikrotilstanene generert i c. Svar: Sammenlikned med Figur er Figur 3 mye høyere, men omfatter også mange er mikrotilstander. Ser man på = 50 er! i størrelsesorden 0 68, som er mye større enn 0 000. Om det derimot gjøres om til en sannsynlighet og tilpasses til n = 0 000 tilstander ser vi i Figur 4 at de stemmer godt overens. Figur 4: Fordelingen til det analytiske uttrykket fra f tilpasset n = 0 000 tilstander. Sammenlignet med histo ger s, U kan ta energier fra U,min = 5 0 µb til U,max = 5 0 µb. i Vis at multiplisiteten til makrotilstanden s, s er Ω, 0Ω, 0 exp s s Figur 3: Graf over analytisk uttrykk for Ω, s gitt fra deloppgave f. h Hva er de mulige verdiene for s? Hva er de mulige energiene U for system? Svar: De mulige verdiene for s er ekstremalverdiene 0 og 0. Om én partikkel skifter fra til + vil, =,0 + og S, = S,0. Da blir s =, S, =,0 + S,0 =,0 S,0 + = s 0 + Derfor vil s også kunne ta alle partall imellom ekstremalverdiene. s = s vil kunne ta alle verdier mellom 5 0 og 5 0. Energien U = s µb føl- Svar: Vet at multiplisiteten til system er Ω og system er Ω, den kombinerte multiplisiteten er Ω = Ω Ω. Fra f fant vi et uttrykk for Ω i i, s i. Ω = Ω Ω = Ω, 0 exp = Ω, 0Ω, 0 exp s Ω, 0 exp s s exp s = Ω, 0Ω, 0 exp s s
j Vis at i den mest sannsynlige makrotilstanden har vi ŝ = ŝ = s. Svar: Den mest sannsynlige makrotilstanden vil være likevekt, hvor vi har at Ω s = Ω s. Utregning ligger som vedlegg 3. k Finn entropien som en funksjon av og til et enkelt system. Svar: Entropi gis ved S = k lnω. Får derfor: S, = k ln Ω,! = k ln!! = k [ln! ln! ln! Ved å bruke stirling formel fås: = k [ ln ln + ln + = k [ ln ln ln = k [ ln ln ln + ln = k [ ln ln + ln ln [ S+ = k ln + ln [ = k ln + ln l Finn et uttrykk for temperaturen til systemet. Svar: Vet at T = S U T =, får da uttrykket:,v SS+ U S =,V S+ U Bruker U = µb + µb og får U = U µb [ [ SS+ S+ U = U [ S+ = k [ = k + ln S + + + ln [ µb = k [ + + ln µb [ S+ U U S+
Vedlegg - Kode til deloppgave c n = 0000; % number of micostates = 50; % spins in system k = 5; count = linspace,n,n ; micros = randi 0:, n, * - ones n, ; energy = sum micros, spec = linspace -,,* +; Omg0 = factorial / factorial 0.5* * factorial 0.5* ; Omg = zeros size spec,,; for j = : size spec,; Omg j = Omg0 * exp -* spec j /* spec j // /^ ; end h = figure ; plot count, energy ; xlabel ' etto spin [ s ' xlabel ' Trial number [n' print ' OB_graph_c ','- dpng ' h = figure ; hist energy,k ; ylabel ' umber of states [D s ' xlabel ' etto spin [ s ' print ' OB_hist_c ','- dpng ' h 3= figure ; plot spec, Omg *^ ; ylabel ' umber of states [D s ' xlabel ' etto spin [ s ' print ' OB_graph_g ','- dpng ' h 3= figure ; hist energy,k ; hold on plot spec, Omg *n,'r '; ylabel ' umber of states [D s ' xlabel ' etto spin [ s ' hold off print h 3, ' OB_graph_g_ ','- dpng '
Vedlegg - Utregning av oppgave f! Ω, s = s! + s!! ln Ω, s = ln s! + s! = ln! ln s! + s! = ln! ln s! ln + s! = ln [ s ln s s [ + s ln + s + s = ln s ln s + s ln + s = ln s ln s + s ln + s = ln [ln s + ln s [ + s ln = ln ln ln [ s ln s + ln + s [ ln + s + s Antar at netto spinn er mye lavere enn totale antall partikler og bruker ln + x x for x. = ln ln ln + s ss s ss + s = ln ln = ln = ln! ln = ln!! s ln! s = ln Ω, 0 s Ω, s = exp [ln Ω, 0 s = exp [ln Ω, 0 exp = Ω, 0 exp [ s [ s s Her har det lurt seg inn en faktor i eksponen som jeg ikke får vekk.
Vedlegg 3 - Utregning til deloppgave j Den mest sannsynlige makrotilstanden vil være likevekt, der har vi situasjonen Ω s = Ω s. Ved å sette inn uttrykket fra f og fortsette antagelsen om = = kan resten løses ved algebra: Ω 0 s exp s Ω 0 s exp s Ω 0 og Ω 0 vil bli like om = og kan fjernes. = Ω 0 s = Ω 0 s s exp s = s ln [ s s = exp s s exp s exp s exp s s s = s s s ln [s = s ln [s Ser her at s = s, da netto spinn i hvert enkelt system er nødt til å summeres opp til det totale netto spinn s + s = s vil s = s = s. Da vil s = s = s gjelde i likevekt.