NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 13.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Arild H. Clausen, 73 59 76 32 Sensuren faller senest 10. januar (så fremt ikke noe uforutsett inntreffer) EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE Mandag 12. desember 2005 Tid: kl 09 00-13 00 Hjelpemidler: C Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Irgens, F. : Formelsamling Mekanikk. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Ett ekstra formelark er vedlagt dette eksamenssettet. MERK: ALLE SKAL FØRE BESVARELSEN PÅ OPPGAVEARKENE!
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 2 av 13 Oppgave 1 (vekt ca 35 %) L/2 L/2 V T y ε II ε III x 60 o ε I r m t Figur 1a: Tynnvegget rør med strekklapprosett sett ovenfra Figur 1a viser et sirkulærsylindrisk tynnvegget rør med lengde L = 800 mm, konstant veggtykkelse t = 10 mm og middelradius r m = 200 mm. Røret er fast innspent i venstre ende og belastes fra spenningsfri tilstand med en nedadrettet vertikalkraft V og et torsjonsmoment T i høyre ende. Røret er laget av et homogent isotropt lineært elastisk materiale med elastisitetsmodul E = 250 GPa, tverrkontraksjonstall ν = 0, 3 og flytegrense f y = 300 MPa. Midt på røret er det limt på en strekklapprosett som registrerer tre lengdetøyninger ε I, ε II og ε III. Rosetten er orientert slik at ε x = ε I. a) Vis at koordinattøyningene ε y og γ xy kan uttrykkes ved lengdetøyningene som følger ε y 1 = 3 [ 2( ε + ε ) ε ] og γ = ( ε ε ) II III I xy 2 3 II III
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 3 av 13 b) Beregn koordinatspenningene σ x, σ y og τ xy i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tynnveggete røret i Figur 1a når det for en gitt belastning V og T 6 6 6 ε = 764 10, ε = 130 3 172 10, ε = 130 3 + 172 10. måles tøyninger I II ( ) III ( ) c) Tegn Mohr-diagrammet i figur 1b for spenningstilstanden i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tynnveggete røret i figur 1a. Ikke pensum TKT4122 τ 10 MPa σ Figur 1b: Rutenett for Mohr-diagram til bruk i spørsmål c), d) og e). d) Lokaliser og marker polen i Mohr-diagrammet i figur 1b for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tynnveggete røret i figur 1a. Ikke pensum TKT4122
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 4 av 13 e) Finn hovedspenningene og angi de tilhørende hovedspenningsretningene i Mohr-diagrammet i figur 1b for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tynnveggete røret i figur 1a. Mohrs sirkel er ikke pensum i TKT4122. Benytt formler! f) Bestem sikkerhetsfaktoren n T mot flytning etter Tresca-kriteriet og sikkerhetsfaktoren n M mot flytning etter Mises-kriteriet for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tynnveggete røret i figur 1a. g) Bestem vertikalkraften V og torsjonsmoment T som resulterer i de målte tøyningene i b).
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 5 av 13 Oppgave 2 (vekt ca 20 %) 50 50 140 C z q 120 y C N y (a) L (b) Figur 2: Bjelke i takkonstruksjon. (a) Tverrsnitt. Mål i mm. (b) Statisk system med belastning I en enebolig av tre ønsker arkitekten å benytte et bjelketverrsnitt som vist i figur 2a) i stua. Som antydet i figuren, er tverrsnittet limt sammen av en rektangulær del med mål 100mm x 140mm, og en trekantet del med bredde og høyde lik hhv 100mm og 120mm. a) Vis at tverrsnittets flatesenter (og nøytralaksen) er lokalisert y C = 157 mm over spissen av trekanten.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 6 av 13 b) Regn ut tverrsnittets 2. arealmoment I z om z-aksen. c) Takbjelken kan idealiseres som en fritt opplagt bjelke med lengde L = 6 m, se figur 2b). Den er påkjent av en aksialkraft (trykk) N = 30 kn, som skyldes vindlast på veggen i enden av bjelken. Bestem den maksimale, jevnt fordelte lasten q bjelken kan belastes med når trematerialet har flytespenning f y = 24 MPa. d) Bestem hvilken kraft pr lengdeenhet limfugen mellom de to tverrsnittsdelene må overføre når bjelken er belastet med q som beregnet i spørsmål c).
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 7 av 13 Oppgave 3 (vekt ca 20 %) C L A 2L B q Figur 3: Statisk ubestemt ramme. Rammen ABC i figur 3 er én gang statisk ubestemt. Den er fast innspent i punkt A og har forskyvelig leddlager i punkt B. En jevnt fordelt horisontallast med intensitet q virker på rammedel BC. Alle rammedeler har bøyestivhet EI. a) Beregn og tegn moment-, skjærkraft- og aksialkraftdiagram for rammen. (Aksial- og skjærkraftdiagram tegnes med virkningssymbol, og momentdiagram tegnes på strekksiden.)
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 8 av 13
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 9 av 13 b) Beregn rotasjonsvinkelen i punkt C.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 10 av 13 Oppgave 4 (vekt ca 15 %) H ε = ε T ε = 0 dx (a) D D (b) R Figur 4: Skorstein eksponert for solvarme. (a) System. (b) Krumning av element dx. I en by på Østlandet har den kommunale landmålingsenheten plassert et såkalt fastpunkt på toppen av den høyeste skorsteinen hos en større prosessbedrift. Skorsteinen er synlig i store deler av kommunen, og det er derfor hensiktsmessig å benytte denne som et fast referansepunkt i ulike landmålingssammenhenger. Skorsteinen er laget av stål og har sirkulært tverrsnitt med diameter D, og høyde H. En vakker dag blir en av bedriftens driftsingeniører kontaktet av oppmålingssjefen i kommunen. Oppmålingssjefen antyder at toppen av skorsteinen har en tendens til å flytte litt på seg på dager med solskinn, og dette er i så fall en tanke problematisk i forhold til kvaliteten på måledataene. Driftsingeniøren lover å se litt nærmere på saken. a) Når sola skinner på skorsteinen, vil den soleksponerte siden få en temperaturøkning, mens skyggesiden av skorsteinen kan antas å ha lufttemperatur. Forklar hvordan toppen av skorsteinen beveger (forflytter) seg i forhold til sola. b) Figur 4b) viser et lite element dx av skorsteinen. Det fremgår av figuren at den ene siden av skorsteinen har fått en tøyning ε T pga temperaturøkning, mens den andre siden ikke har temperaturtøyning. Vis at krumningen 1/R er gitt ved:
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 11 av 13 1 ε = T R D c) Anta at krumningen 1/R er konstant over hele høyden til skorsteinen. Bestem horisontalforskyvningen til toppen av skorsteinen når temperaturforskjellen mellom soleksponert overflate og skyggesiden er 100 C. Sett H = 100 m og D = 6 m. Stål har termisk lengdeutvidelseskoeffisient α = 1.2 10-5 K -1. Hint: Husk at 1/R = M/EI, og benytt enhetslastmetoden, eller differensialligningen for elastisk linje. Enhetslastmetoden er ikke pensum i TKT4122
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 12 av 13 Oppgave 5 (vekt ca 10 %) Svar kort og konsist på følgende teorispørsmål. Lag gjerne en skisse for å illustrere svaret. a) For bjelker laget av sprø (dvs ikke-duktile) materialer, har det ingenting for seg å beregne plastisitetsmomentet M p. Hvorfor ikke? Plastisitetsmoment er ikke pensum i TKT4122 b) For en massiv stav med radius r og flyteskjærspenning τ y gir formelsamlingen (side 28) følgende uttrykk for torsjonsmomentet for plastisk tilstand: 3 2π r Tp = τ y 3 Utled denne formelen. Torsjonsmoment for plastisk tilstand er ikke pensum i TKT4122
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 12.12.2005 Side 13 av 13 VEDLEGG: Elementærintegral Gjelder enhetslastmetoden ikke relevant i TKT4122