MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Ordet utvalg med og ute tilbakeleggig (repetisjo) Uordet utvalg ute tilbakeleggig (repetisjo) Tilfeldige variabler og sasylighetsfordeliger Hypergeometrisk fordelig Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Ulike typer utvalg Eksempel 6.: Vi skriver bokstavee i alfabetet på hver si lapp og legger de 29 lappee i e eske Vi trekker så fire lapper, é etter é Vi sier at vi trekker et utvalg på fire bokstaver Hvis vi legger e lapp tilbake før vi trekker de este, trekker vi med tilbakeleggig Hvis vi ikke legger lappe tilbake, trekker vi ute tilbakeleggig Hvis rekkefølge bokstavee trekkes i har betydig, trekker vi et ordet utvalg Hvis rekkefølge ikke har betydig, trekker vi et uordet utvalg 2 Ordet utvalg med tilbakeleggig Vi ser på bokstaveksemplet Hver gag vi trekker er det 29 bokstaver å velge mellom Vi ka velge de fire bokstavee på 29 29 29 29 29 forskjellige måter år vi tar hesy til rekkefølge Geerelt har vi e megde med elemeter, og vi velger r elemeter fra megde med tilbakeleggig Da ka vi lage r 70721 ordede utvalg Ordet utvalg ute tilbakeleggig Vi ser igje på bokstaveksemplet Første gag er det 29 bokstaver å velge mellom Adre gag er det 29-1 bokstaver å velge mellom Tredje gag er det 29-2 bokstaver å velge mellom Fjerde gag er det 29- bokstaver å velge mellom Atall måter vi ka velge de fire bokstavee på er 29 (29 1) (29 2) (29 ) 570 02 Geerelt har vi e megde med elemeter, og vi velger r elemeter fra megde ute tilbakeleggig Atall ordede utvalg er P ( 1) ( 2) ( r + 1) r
a) Atall «ord» som består av tre ulike bokstaver er 29 P 29 2 27 2192 b) Atall «ord» som består av fire ulike bokstaver er 29 P 29 2 27 26 570 02 c) Atall «ord» som består av fem ulike bokstaver er 29 P5 29 2 27 26 1 0600 5 Eksempel 6.1: I e klasse er det elever Hva er sasylighete for at mist to har samme fødselsdag? Vi reger først ut sasylighete for at ige har samme fødselsdag Atall mulige ordede utvalg: 65 Atall gustige ordede utvalg: 65 P 65 P P(ige samme fødselsdag) 0.1 65 P(mist to samme fødselsdag) 1 0.1 0.569 6 Uordet utvalg ute tilbakeleggig Eksempel 6.7 (modifisert): Ladslagstreere i lagre for me har sju løpere å velge mellom til e World Cup stafett over x10 km På hvor mage måter ka ha ta ut de fire som skal gå stafette (år vi ikke tar hesy til hvem som skal gå de ulike etappee)? Geerelt har vi e megde med elemeter, og vi velger r elemeter fra megde ute tilbakeleggig Atall uordede utvalg vi ka lage er C r Pr r! Merk at vi ka skrive ( 1) ( 2) ( r + 1) 1 2 ( r 1) r Atall måter treere ka ta ut de fire løpere på er C P 7 7! Merk at vi ka skrive 7 6 5 1 2 5 C ( 1) ( r + 1) ( r) ( r 1) 2 1 r r! ( r)!! r! ( r)! C 7 7 6 5 2 1 1 2 1 2 7!!! 7 7 Vi vil bruke skrivemåte for biomialkoeffisietee
Eksempel 6.: E klasse har elever Fire elever skal velges til e festkomité Hvor mage måter ka det gjøres på? Atall måter vi ka velge de elevee på er!! 21! Med GeoGebra: 2 2 22 1 2 Eksempel 6.10 (modifisert): E pokerspiller får delt ut fem kort Hva er sasylighete for at spillere får fem kort i samme «farge»? Atall mulige måter å dele ut fem kort på er Atall av disse som gir fem kort i samme farge er 1 5 + 1 5 + 1 5 + 1 5 52 5 51 9 P(samme farge) 51 0.0020 9960 10 Eksempel 6.11: I e kartog er det 12 sikriger Fire av dem er defekte, reste er i orde Vi trekker tilfeldig tre sikriger Hva er sasylighete for at é er defekt? Atall mulige utvalg 12 Atall gustige utvalg 1 220 2 2 112 Eksempel 6.12: I e klasse er det 11 jeter og 1 gutter Fire elever velges ved loddtrekig til e festkomité Hva er sasylighete for at det blir to jeter og to gutter i komitee? Atall mulige utvalg er Atall gustige utvalg er 11 2 1 2 55 91 5005 P(é defekt sikrig) 112 220 0.509 11 5005 P(to jeter og to gutter) 0.96 12
Atall mulige utvalg er m ( ) a) Her er atall gustige utvalg Derfor er: P(bare jeter) g m b) Tilsvarede fier vi: ( 1 P(bare gutter) ) ( ) g 11 ( ) 0 0.026 0 1001 0.079 1 c) Her er atall gustige utvalg g Det gir at 1 11 ( 1 )( ) 1 165 210 P(é gutt og tre jeter) g m 210 0.1 1 9 a) Atall valg for firemasrommet er ( ) 126 ( ) b) Atall valg for tremasrommet er 5 10 c) Atall måter de ka fordele seg på rommee er 126 10 1 1260 Eksempel 6.1: E pokerspiller får delt ut fem tilfeldig valgte kort Hva er sasylighete for at spillere får to par? 52 Atall mulige utvalg: 5 9960 1 Atall gustige utvalg: 2 2 2 1 12552 9960 valg av to verdier valg av to kort i første verdi P (to par) 0.0 valg av to kort i adre verdi valg av ett kort i e tredje verdi 12552 16
Tilfeldige variabler Når vi kaster to teriger er det 6 utfall Vi er ofte ikke iteressert i de ekelte utfallee Vi ka for eksempel bare være iteressert i X «summe av atall øye» De mulige verdiee til X er 2,,,, 11, 12 Ved å telle opp atall gustige utfall for hedelse «X k» ka vi bestemme P(X k) for k 2,,, 12 X er e tilfeldig variabel (1,6) (2,6) (,6) (,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (,5) (,5) (5,5) (6,5) (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) (1,2) (2,2) (,2) (,2) (5,2) (6,2) (1,6) (2,6) (,6) (,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (,5) (,5) (5,5) (6,5) (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) (1,2) (2,2) (,2) (,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (,1) (,1) (5,1) (6,1) «X 7» P(X 7) 6/6 (1,1) (2,1) (,1) (,1) (5,1) (6,1) 17 1 Vi får tabelle: Tabelle gir sasylighetsfordelige til X Summe av sasylighetee i tabelle er lik é a) Det er åtte mulige utfall: KKK,KKM, KMK, MKK, MMK, MKM, KMM, MMM Hvert av utfallee har sasylighet 1/ Vi ka vise sasylighetsfordelige med et stolpediagram 19 b) X ka få verdiee 0, 1, 2 og X0: KKK X1: KKM, KMK, MKK X2: MMK, MKM, KMM X: MMM c) k P( X k) 0 1 2 1 1 20
Hypergeometrisk fordelig (1,6) (2,6) (,6) (,6) (5,6) (6,6) Y 6 (1,5) (2,5) (,5) (,5) (5,5) (6,5) Y 5 (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) Y (1,) (2,) (,) (,) (5,) (6,) Y (1,2) (2,2) (,2) (,2) (5,2) (6,2) Y 2 (1,1) (2,1) (,1) (,1) (5,1) (6,1) Y 1 Mulige verdier for Y er 1, 2,,, 5 og 6 k 1 2 5 6 11 9 7 5 1 P( Y k) 21 6 6 6 6 6 6 Eksempel 7.1: I e kartog er det 12 sikriger Fire av dem er defekte, reste er i orde Vi trekker tilfeldig tre sikriger X «atall defekte sikriger vi trekker» Vi vil fie P(X k) Atall mulige utvalg 12 Vi ka trekke k defekte på måter Vi ka trekker k som er i orde på måter Atall gustige utvalg for k defekte (og k som er i orde) er Sasylighetsfordelige til X Når vi setter i k 0, 1, 2, får vi: P( X 0) 0.5 P( X 1) 0.509 P( X 2) 0.21 P( X ) 0.01 2 Geerelt har vi følgede situasjo: Vi har e megde med N elemeter (I eksempel 7.1 er dette megde av de 12 sikrigee) Elemetee i megde ka deles i i to delmegder D og D Det er m elemeter i D og N m elemeter i D (I eksempel 7.1 er de to delmegdee de defekte og de ikke-defekte sikrigee. Det er defekte sikriger og 12 - som er i orde) Vi trekker tilfeldig elemeter fra megde (I eksempel 7.1 trekker vi sikriger) 2
La X være atall elemeter vi trekker fra D Vi ka bruke sasylighetskalkulatore i GeoGebra til å bestemme P(Xk) Ved å resoere som i eksemplet fier vi at X har sasylighetsfordelige Vi sier at X er hypergeometrisk fordelt Her skriver du i atall elemeter i megde (populasjoe) du trekker fra Her skriver du i atall elemeter i delmegde D Her skriver du i atall elemeter du trekker fra megde