Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Eksamen i matematikk 102 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT102 Ordinær prøve Tid: 5 timer Dato: 1.6.2015 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Nett Antall sider: 4 + formelark og LK06. Totalt 20 sider. NB. Alle svar skal begrunnes. Vis utregningene. Oppgave 1 (vekt 20%) a) Løs ligningen: : x 3 + 6 = 2 x 3 + 6 = 2 / 3 x + 18 = 6 x = 6 18 x = 12 Hvis du velger å sette prøve: VS: x 3 + 6 = 12 3 + 6 = 4 + 6 = 2 HS: 2 VS = HS en er korrekt b) Løs ligningen og sett prøve på svaret: (2x + 1)(x 3) = 0 : Her kan vi gjerne bruke produktregelen som sier at dersom et produkt er lik null (slik vi har her) så må minst en av faktorene være lik null. Vi har to faktorer, henholdvis (2x + 1) og (x 3). (2x + 1) = 0 gir x = 1 2 (x 3) = 0 gir = 3 : = 1 eller x = 3 2 Vi må sette prøve på begge løsningene: Prøver = ( 1 2 ) VS: (2x + 1)(x 3) = [2 ( 1 2 ) + 1] ( 1 2 3) = ( 1 + 1) ( 7 2 ) = 0 ( 7 2 ) = 0 HS: 0 VS = HS en er korrekt
Side 2 av 13 Prøver = 3 VS: (2x + 1)(x 3) = [2 3 + 1](3 3) = (6 + 1)(0) = 7 0 = 0 HS: 0 VS = HS en er korrekt Vi kan også multiplisere uttrykket og bruke fullstendig-kvadraters-metode eller abcformelen på resultatet. Jeg viser abc-formelen: (2x + 1)(x 3) = 2x 2 5x 3 2x 2 5x 3 = 0 gir: b± b2 4ac 2a = 5± ( 5)2 4 2 ( 3) 2 2 = 5± 25+24) 4 = 5± 49) 4 = 5±7 4 x = 3 eller x = 1 2 c) Løs ligningssettet: 2x + y = 9 x 2 y = 1 Merk at dette kan løses på flere måter. Vi bruker gjerne disse tre metodene: Innsettingsmetoden, addisjonsmetoden eller grafisk. Så vil det komme strategiske valg i dem alle sammen. Hva som er lurest kan jo diskuteres, men innsetingsmetoden virker lurt siden vi har henholdsvis y og y i de to ligningene. Brøken irriterer noe. Jeg kan velge å gange begge ligningene med 2 før jeg begynner, men tar utfordringen uten å gjøre det: I: 2x + y = 9 II: x 2 y = 1 5x SUM: + 0y = 10 som gir: 5x = 10 og x = 4 2 2 Setter inn x = 4 i ligning I: 2 4 + y = 9 8 + y = 9 y = 1
Side 3 av 13 en er: x = 4 og y = 1 Løser dere begge ligningene mht y blir ligningene: I: = 2x + 9 II: = x 2 1 Tegner dere disse to funksjonene samtidig, f.eks i Geogebra, vil dere se at de skjærer hverandre i punktet (4,1), altså x = 4 og y = 1. d) Vi har gitt uttrykket b 3 + a(b + 3) + 1 a 2 Sett a = 3 og b = ( 1) og regn ut hva verdien av brøken blir i dette tilfellet. b 3 +a(b+3)+1 a 2 = ( 1)3 +3( 1+3)+1 = 1+3 2+1 = 1+6+1 = 6 = 2 3 2 9 9 9 3
Side 4 av 13 Oppgave 2 (vekt 20%) Et forlag har inngått en avtale med en forfatter om utgivelse av en bok. De har avtalt at han skal få et beløp utbetalt straks boken er klar og deretter skal han få et beløp for hver bok han selger. Forfatteren har ikke fått med seg hva satsene er, men etter at boken har solgt i 1000 eksemplarer får han melding om at han har tjent 80 000 kroner. Etter 5000 solgte bøker får ny melding om at han har tjent 200 000 kroner totalt på boken. Opplaget er 8000 bøker. a) Lag et koordinatsystem der verdien på x-aksen er antall solgte bøker og y er den tilsvarende lønnen. Tegn opp punktene i et koordinatsystem og trekk opp en linje som går gjennom punktene. Bruk dette til å finne hvor mye han tjener i grunnlønn. Dette vil si beløpet han tjener om han ikke selger noen bøker. Vi ser han tjener 50 000 i grunnlønn. b) Bruk grafen til å finne ut hvor mye han tjener hvis hele opplaget selges ut. Fra grafen i punkt a ser vi at han tjener 290 000 hvis han selger 8000 bøker. c) Finn en funksjon som beskriver sammenhengen mellom antall solgte bøker og lønnen han får.
Side 5 av 13 Det er mange måter å løse denne på. Her er en måte. Vi vet at det er en rett linje og da må den være på formen y = ax + b Vi finner stigningstallet ut fra figuren Vi ser at a = 200000 80000 5000 1000 = 30 Vi kan finne b ved å bruke et av punktene, f. eks (1000,80000). Da får vi 80000 = 30 1000 + b 80000 = 30000 + b b = 50000 Funksjonen blir dermed y = 30x + 50000 d) Bruk grafen til å finne ut hvor mange bøker han må selge dersom han skal ha en inntekt på 140 000 kroner. Finn også svaret ved regning. Ut i fra grafen ser vi at han må selge 3000 bøker for å få en inntekt på 140 000 kroner. Se neste side. Vi kan finne det ved regning også. 140000 = 30x + 50000 30x = 90000 som gir x = 3000
Side 6 av 13 e) Forfatteren får tilbud om et annet lønnssystem. Dette går ut på at han får 80 000 utbetalt når boken er ferdig. Han får ingenting for de 2000 første bøkene som selges, men han får 50 kroner for hver bok som selges utover de første 2000. Tegn opp grafen til funksjonen som beskriver dette lønnssystemet i samme koordinatsystem som det du brukte i spørsmål a) Oppgave 3 (vekt 20%) Vi har funksjonen f(x) = x 2 4x 5 a) Finn funksjonens nullpunkter og funksjonens bunnpunkt ved regning.
Side 7 av 13 Vi finner først nullpunktene x 2 4x 5 = 0 x = ( 4) ( 4)2 4 ( 5) 1 2 1 x = 4 36 2 x = 5 og x = 1 = 4 6 2 Bunnpunktet ligger mitt mellom nullpunktene, altså for x = 2 Alternativt kunne vi funnet det ved å regne ut x = b 2a = 4 2 1 = 2 Vi beregner også tilhørende y-verdi. y = 2 2 4 2 5 = 9 b) Lag en skisse av grafen.
Side 8 av 13 Vi har funksjonen som er gitt ved f(x) = x 2 + 1 x + 1 c) Finn funksjonens asymptoter. Funksjonen har to asymptoter. Den ene som er den vertikale finner vi når nevneren er lik 0, med andre ord når x = 1. Den andre vil være en skråasymptote. Vi ser at hvis x vil f(x) x 2 slik at y = x 2 blir en skråasymptote. d) Lag en skisse av grafen.
Side 9 av 13 Oppgave 4 (vekt 20%) Du spør noen tilfeldige skoleelever om hva de får i lommepenger i uken. Resultatet ser du under Kari Ole Truls Ida Petter 170 kroner 110 kroner 50 kroner 80 kroner 90 kroner a) Lag et søylediagram og sektordiagram som viser hvor mye skoleelevene fikk i lommepenger. (Hvis du mangler gradskive, holder det å lage en skisse av sektordiagrammet. Men du må vise hvordan du kommer frem til gradene i diagrammet. ) Her er søylediagram 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Kari Ole Truls Ida Petter Størrelsen på sektordiagrammet beregnes slik Kari: Ole: Truls: Ida: 170 500 110 500 50 500 80 500 360 = 122,4o 360 = 79,2o 360 = 36,0o 360 = 57,6o
Side 10 av 13 Petter: 90 500 360 = 64,8o 90 170 80 50 110 Kari Ole Truls Ida Petter b) Gir det mening å sette opp et sektordiagram over disse tallene? Begrunn svaret ditt. Søylediagrammet gir mest mening. Sektordiagrammet gir et inntrykk av at det kun er fem elever på skolen, evt. at disse elevene på en annen måte utgjør en helhet. Men det gjør de ikke. De er kun et tilfeldig utvalg av blant en større gruppe elever. Sektordiagram gir mening når utvalget utgjør en helhet. F.eks. kan man ved stortingsvalg se på hvilke partier som tilsammen har over 50 % oppslutning i folket. c) Hvor mye får elevene i gjennomsnitt i lommepenger? Finn også median og standardavviket. Median: Stiller opp tallene fra minst til størst: 50 80 90 110 170 Medianen er 90 kroner. Gjennomsnitt: 50+80+90+110+170 5 kroner = 100 kroner. Standardavvik: (50 100)2 +(80 100) 2 +(90 100) 2 +(110 100) 2 +(170 100) 2 5 40 kroner d) I en annen større undersøkelse som er gjort ved en av landets skoler viser det seg at elevene får 100 kroner i gjennomsnitt i lommepenger. Standardavviket er 80 og
Side 11 av 13 antall elever ved skolen er 200. Hvordan vil du beskrive hva elevene får i lommepenger ved denne skolen. Her er standardavviket ganske stort i forhold til gjennomsnittet. Her er det stor variasjon. Det betyr at det er mange som får lite i lommepenger (nesten ingenting) og mange som får ganske mye i lommepenger (gjerne et hundre kroner). Det er relativt få som ligger rundt gjennomsnittet. Oppgave 5 (vekt 20 %) a) Skriv opp definisjonen på en sannsynlighetsmodell. Hva vil det si at sannsynlighetsmodellen er uniform? En sannsynlighetsmodell er et utfallsrom U med sannsynligheter knyttet til hver begivenhet slik at følgende er oppfylt: 1. For en vilkårlig begivenhet A er 0 P(A) 1. 2. P(U) = 1. 3. For en begivenhet, f.eks. A = {u 1, u 2, u 3 }, er P(A) = P(u 1 ) + P(u 2 ) + P(u 3 ). Det vil si at sannsynligheten for en begivenhet A er lik summen av sannsynlighetene til hvert av utfallene i A. Sannsynlighetsmodellen er uniform hvis det er lik sannsynlighet for hvert av utfallene i utfallsrommet. b) Hvordan regner vi ut ordnet utvalg uten tilbakelegging? Gi et eksempel der dette brukes. Et typisk eksempel på en slik oppgave kan være denne. I VM i skiskyting er det 9 utøvere i Norge sinn tropp. Til stafetten skal det plukkes ut 4 løpere. Hvor mange forskjellige måter kan laget settes opp på? (Her tenker vi at det er forskjell om Bjørndalen går f. eks 1. etappe og f. eks 4. etappen) Oppgaven kan løses på to måter. Først bruker vi sunn fornuft og logisk tenkning. På 1. etappen har vi 9 alternativer. På den neste etappen er det kun 8 løpere igjen. Hver av de 8 løperne kan kombineres med de mulige løperne for 1. etappen. Med andre ord er det 9 8 = 72 muligheter for de to første etappene. Tar vi med 3. og 4. etappe får vi 9 8 7 6 = 3024 mulige kombinasjoner.
Side 12 av 13 Andre alternativet er å se i formelsamlingen. Det står det at antall kombinasjoner er n! (n k)! Med våre tall gir det 9! (9 4)! = 9! 5! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 9 8 7 6 = 3024 5 4 3 2 1 På NRKs kanaler skal 25 % av tekstingen være på nynorsk, etter et stortingsvedtak fra 1970. I praksis varierer dette fra kanal til kanal, men vi skal i denne oppgaven anta at andelen ligger på akkurat 25 %. Vi antar også at det ikke kunngjøres på forhånd hvilke programmer som tekstes på nynorsk og at programmene som skal tekstes på nynorsk plukkes tilfeldig ut av NRK. En kveld viser NRK2 din favorittfilm, den finske blockbusteren Näkymätön Elina. c) Vi lurer på hva sannsynligheten er for at denne filmen tekstes på nynorsk. Hvis vi lar utfallsrommet være U = {tekstingen er på bokmål, tekstingen er på nynorsk}, gir dette oss da en uniform sannsynlighetsmodell eller ikke? Begrunn svaret. Den gir ikke en uniform sannsynlighetsmodell. Sannsynligheten for at du får teksting på bokmål, er 75 %, og dette er forskjellig fra 25 %, som er sjansen for at du får teksting på nynorsk Oppfølgerne, Näkymätön Elina 2 og Näkymätön Elina 3, skal vises de to påfølgende kveldene. d) Hva er sannsynligheten for at alle tre filmene blir tekstet på nynorsk? Vi finner sannsynligheten ved å regne ut P(alle tre på nynorsk) = 0,25 3 = 0,0156 På Dagsrevyen kan man regne med at det er seks innslag i løpet av en sending som blir tekstet. Hvert innslag kan tekstes på enten bokmål eller nynorsk. e) Regn ut sannsynligheten for at minst ett av disse innslagene tekstes på nynorsk. Vi finner sannsynligheten ved å regne ut P(minst et på nynorsk) = 1 P(alle på bokmål) = 1 0,75 6 = 0,8220
Side 13 av 13 Formelark Ettpunktsformelen: y y 1 = k (x x 1 ) Topunktsformelen: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Andregradsligninger Hvis ax 2 + bx + c = 0, er x = b ± b2 4ac. 2a Alternativt, hvis x 2 + px + q = 0, er x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q. Standardavvik S = (x 1 x ) 2 + (x 2 x ) 2 + (x 3 x ) 2 + + (x n x ) 2 n Gjennomsnittlig absoluttavvik ga = x 1 x + x 2 x + x 3 x + + x n x n Ordnet trekning med tilbakeleggning: Ordnet trekning uten tilbakeleggning: n k n! (n k)! Uordnet trekning uten tilbakeleggning: ( n k )