Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009
Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt fra MAT-INF1100. En del temaer behandelses parallelt i MAT1110. I MEK1100 legger vi vekt på geometriske tolkninger * Indikerer eksempel el. på tavle 1 Utgangspunkt: vanlig derivert 2 Definisjon av differensial, Taylorpolynom, feilledd 3 Partieltderiverte, retningsderiverte 4 Gradienten 5 Geometriske anvendelser av gradienten 6 Taylorutvikling i flere variabler 7 Vektorfelt, strømlinjer
Gode gamle f Derivert* f er endringsraten: f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x). x f = f (x + x) f (x) f (x) x, (1) Endring av f tilnærmet f ganger endring av x. Mer presist betyr dette f = f (x + x) f (x) = f (x) x + E(x, x), (2) der E/ x 0 når x 0
Differensial Fysikere skriver ofte der de mener (2), dvs. df = f (x)dx. (3) f = f (x + x) f (x) = f (x) x + E(x, x), slik at E er neglisjerbar i forhold til f x for små x. (2) og (3) kan sees på som lineære Taylorutviklinger. E svarer da til feilleddet.
Taylorutvikling av f (x) (MAT-INF1100) f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) +... + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n, (4) n! Feilledd R n = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1, der c er mellom x 0 og x. Omsatt til vår notasjon (x x 0 ) x, x x + x og x 0 x Oftest godt nok f = f (x + x) f (x) = f (x) x + f (c) ( x) 2 2 E f (x) ( x) 2 = () x 2 2
Lineært Taylorpolynom
Partieltderiverte Skalarfelt β(x, y). Fra punkt (x, y) har β ulik endring i ulike retninger. Først: endring i akseretningene Partieltderiverte Endringsrate i x-retning og i y retning β(x, y) x β(x, y) y β(x + x, y) β(x, y) = lim x 0 x β(x, y + y) β(x, y) = lim y 0 y
Grafisk framstilling som flate F: z = β(x, y) K x : z = β(x, y 0 ). T 1 tangent i x 0, y 0 med stigningstall β(x 0,y 0 ) x. *
Retningsderivert Betrakter variasjon langs linje r + sa, for a = 1 og s R. Oppfatter g(s) β(r + sa) som ordinær funksjon* Retningsderivert β β(r + a s) β(r) (r,a) = lim s 0 s = dg(0). (5) ds avhenger av retningen på a. Differensialform dβ = β (r,a)ds, (6) NB: dβ endringen av β når dr = ads. ds = dr er lengde av dr.
... Oppdeling: endring=endring med x + endring med y * β (r,a) = lim s 0 = lim s 0 β(r + a s) β(r). s ( β(x + ax s, y) β(x, y) s + β(x + a x s, y + a y s) β(x + a x s, y) s Skriver om ved å innføre x og y r = a x si + a y sj = xi + yj ).
... s 0 x, y 0 β β(x + x, y) β(x, y) (r,a) = a x lim x 0 x Grenseovergang + a y lim x, y 0 β(x + x, y + y) β(x + x, y). y (7) β (r,a) = β(x, y) a x + x β(x, y) a y. (8) y
Gradienten Gradienten til β β β x i + β y j Retningsderivert kan da skrives β (r,a) = β x a x + β y a y = β a = a β Bruk av dr = a s og dβ = β (r,a)ds Gradient definert ved differensialform dβ = β dr. (9) Endringen i β (tilnærmet) lik gradient prikket med posisjonsendring.
y dr dβ = dβ 1 + dβ 2 = β dr dx dβ 1 = β x dx dy dβ2 = β y dy x Forhold mellom retningsdifferensialer. *
Geometriske tolkninger av gradienten * θ: vinkel mellom dr og β. dβ = β dr = β dr cosθ. Egenskaper ved gradienten 1) β normalt på ekviskalarflatene (β =konstant) 2) β peker ut retningen der β endrer seg raskest 3) β angir maksimal økning i β pr. lengdeenhet
Normal til ekviskalarflater Flate definert som β(x, y, z) = β 0 Enhetsnormal n = β β.
Gradienten i R 3 Gradienten til β(x, y, z) Anvendelse β = β x i + β y j + β z k Flatenormal til σ: z = η(x, y)* Knep: Flaten σ er en nivåflate for β(x, y, z) = z η(x, y), nemlig β = 0. Derved n σ = β β = η k x i η 1 + ( η x y j ) 2 + ( η y ) 2
Topografisk eksempel Sirkulær fjelltopp h = Utregning av gradient Addering h = h x i + h h 0 1 + x2 +y 2 R 2 = h 0 (1 + x2 + y 2 R 2 ) 1 h x = h 0 (1 + x2 + y 2 ) 2 2x R 2 R 2, h y = h 0 (1 + x2 + y 2 ) 2 2y R 2 R 2. y j = 2h 0(xi + yj) 2h 0 r R 2( 1 + x2 +y ) 2 2 = R 2( ) 1 + r2 2. R 2 R 2
... Konturlinjer h h. Akser: km h 0 = 2277 m R = 4000 m. Observasjoner?
Taylorpolynom i flere variabler Funksjon g = g(x, y) dg = β dr = β β x dx + y dy tilsvarer også her et linært Taylorpolynom. Andre ordens Taylorpolynom ( ) ( ) g(x, y) g g = g(x0, y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) + x x 0,y 0 y x 0,y 0 ( 1 2 ) g 2 x 2 (x x 0 ) 2 + 1 ( 2 ) g x 0,y 0 2 y 2 (y y 0 ) 2 + x 0,y 0 ( 2 ) g (x x 0 )(y y 0 ). x y x 0,y 0 *
Strømfelt
Partikkelbaner Hastighetsfelt v = v x (x, y, t)i + v y (x, y, t)j. Partikkel, posisjon x p (t), y p (t), som følger med strømmen. dx p dt dy p dt = v x (x p (t), y p (t), t), = v y (x p (t), y p (t), t). (10) Differensiallikninger for x p, y p Kan løses (?) med x p (0) = a, y p (0) = b
Strømlinjer Stasjonær strøm v = v x (x, y)i + v y (x, y)j. Serie partikler følger samme linje strømlinje* Divisjon av komponenter i (10) dy p dt dx p dt = dy p dx p = v y(x p, y p ) v x (x p, y p ) v xdy p = v y dx p Alternativt, dr liten bit av strømlinje v dr = 0 v x dy = v y dx NB Generelt feil: antiderivert av v x mhp. y = antiderivert av v y mhp. x
Strømlinje