Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011

Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall

3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z = f(x)

3 Skall-metoden z = g(x) Radius= x 1 1 1 Høyde x 1 3 1 1 3 z = f(x)

3 Skall-metoden z = g(x) Radius= x x Volumet av tønnebåndet er omkrets høyde bredde 1 1 1 1 Høyde 1 3 1 3 z = f(x) V k = π radius høyde x

4 Formel for skallmetoden og eksempel Volumet til et legeme som dreies om linjen x = L er V = π b a (x L) Skallhøyde(x) dx f(x) = x 6x + 9 g(x) = x + 6x 7 R(x) = x 1

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse? 3 Grenser? 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grenser? 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius = x 1 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius = x 1 5 Høyde = x + 1x 16 6 Skall volum? V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius = x 1 5 Høyde = x + 1x 16 6 Skall volumet er V = π (x 1) ( x + 1x 16) x V?

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius = x 1 5 Høyde = x + 1x 16 6 Skall volumet er V = π (x 1) ( x + 1x 16) x V = 4 π ( x 3 + 14x 8x + 16) dx

5 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 6x + 9 og g(x) = x + 6x 7 Rotasjon om x = 1 Finn volumet 1 Rotasjon om x = 1 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = og b = 4 4 Radius = x 1 5 Høyde = x + 1x 16 6 Skall volumet er V = π (x 1) ( x + 1x 16) x V = 4 π ( x 3 + 14x 8x + 16) dx = 3π 3

Kapittel 6.3. Lengder av plane kurver

7 Aproksimasjon av x og y Gitt funksjonene x = f(t) og y = g(t). Da er x f (t) t y g (t) t

8 Lengde av parametriserte kurver Teorem Lengden av den parametriske kurven er gitt ved L = b a x = f(t) y = g(t) a t b [f (t)] + [g (t)] dt Eksempel (Lengde av kurve)

8 Lengde av parametriserte kurver Teorem Lengden av den parametriske kurven er gitt ved L = b a x = f(t) y = g(t) a t b [f (t)] + [g (t)] dt Eksempel (Lengde av kurve) Gitt kurven x = t 3, y = (1 t) 3, t [0, 1] Finn lengden

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b y x yk = g(

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b Deler opp intervallet i n intervaller a = t 0,, t n = b y x yk = g(

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b Deler opp intervallet i n intervaller a = t 0,, t n = b Tilnærmer lengden som L = s 1 + + s n = k s k y s 1 s 3 s s 4 s 5 x yk = g(

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b Deler opp intervallet i n intervaller a = t 0,, t n = b Tilnærmer lengden som L = s 1 + + s n = k s k Pytagoras gir s k = xk + y k y s 1 = s 1 s 3 s 4 x 1 + y 1 (Hypotenusen) x k = f(t 1 ) f(t 0 ) s s 5 yk = g(t1) g(t0) x

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b Deler opp intervallet i n intervaller a = t 0,, t n = b Tilnærmer lengden som L = s 1 + + s n = k s k Pytagoras gir s k = xk + y k y s 1 = s 1 s 3 s 4 x 1 + y 1 (Hypotenusen) x k = f(t 1 ) f(t 0 ) s s 5 yk = g(t1) g(t0) [f (t k )] + [g (t k )] t x

9 Lengde av param. kurver Parametrisk kurve x = f(t) y = g(t) a t b Deler opp intervallet i n intervaller a = t 0,, t n = b Tilnærmer lengden som L = s 1 + + s n = k s k Pytagoras gir s k = xk + y k y s 1 = s 1 s 3 s 4 x 1 + y 1 (Hypotenusen) x k = f(t 1 ) f(t 0 ) s s 5 yk = g(t1) g(t0) [f (t k )] + [g (t k )] t Lengde: b L = [f (t)] + [g (t)] dt a x

10 Lengde av grafer y = f(x) Teorem Lengden av den grafen er gitt ved L = b a y = f(x), 1 + [f (t)] dx Eksempel (Lengde av kurve) a x b

10 Lengde av grafer y = f(x) Teorem Lengden av den grafen er gitt ved L = b a y = f(x), 1 + [f (t)] dx Eksempel (Lengde av kurve) Gitt kurven y = 1 3 Finn lengden a x b ( x ) 3/, x [ 3, ]

11 Kortform for linjeintegral L = ds = dx + dy

Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer

13 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel 1 1 3 1 1 3 Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = x, 1 x om x-aksen.

13 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel 1 1 1 3 1 x k Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = x, 1 x om x-aksen. 1 3 1 1 3 x 1 k 3

13 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel 1 1 3 1 1 3 3 x 1 1 k 3 1 1 x k s Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = x, 1 x om x-aksen. Arealet til typisk bånd (gult) er A = π x k s Der s = 1 + 1 x x k

13 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel 1 1 3 1 1 3 3 x 1 1 k 3 1 1 x k s Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = x, 1 x om x-aksen. Arealet til typisk bånd (gult) er A = π xk s Der s = 1 + 1 x k x Areal: S = 1 4π x + 1 dx 19,8358

14 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om x aksen) La f(x) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen y = f(x), x [a, b] om x-aksen er S = b a πy b 1 + [f (x)] dx = πf(x) 1 + [f (x)] dx a

15 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen) La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen x = g(y), y [a, b] om y-aksen er S = b a πx b 1 + [g (y)] dy = πg(y) 1 + [g (y)] dy a Omkrets er π x x Arealet er π x s s x = g(y)

16 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen) La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen y = f(x), x [a, b] om y-aksen er S = b a πx 1 + [f (x)] dx Omkrets er π x x Arealet er π x s s y = f(x)