Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamlig (bakerst i ogavesettet). Kotroller at du har fått alle arkee. Les ogavetekstee øye. Bruk ege ark å hver ogave. Begru alle svar. Alle delsørsmål teller like mye. Ogave De 4 elevee i e. klasse skal å klassetur. For å tjee i eger til ture har klasse kakelotteri hver lørdag. a) Per, Pål, Ese og Has blir trukket ut. Hvor stor er sasylighete for dette? b) Hvor stor er sasylighete for at de fire er to gutter og to jeter? c) Loddee som gir gevist legges tilbake etterå, slik at samme lodd ka gi flere gevister. E tidel av loddee er vierlodd. More til Terje kjøer lodd. Hvor stor er sasylighete for at hu vier å øyaktig ett av loddee? d) Hvis situasjoe er som i ukt e), hvor stor er sasylighete for å vie å 3 eller færre lodd? Ogave Vi skal her gå ut ifra at SAS har 5 daglige avgager fra Fleslad til Gardermoe, mes Norwegia har avgager. Vi teker oss videre at det bare er disse selskaee som flyr dee ruta. E viterdag er det uvær, og avgagee fra Fleslad er forsiket. Sasylighete for at et tilfeldig SAS-fly er forsiket er,, mes tilsvarede for Norwegia-fly er,3. Vi defierer følgede hedelser: S = et tilfeldig valgt fly å ruta Fleslad Gardermoe er et SAS-fly N = et tilfeldig valgt fly å ruta Fleslad Gardermoe er et Norwegia-fly F = et tilfeldig valgt fly å ruta Fleslad Gardermoe er forsiket a) Sett o sasylighetee P(S), P(N), P(F S) og P(F N). b) Fi sasylighete for at et tilfeldig valgt fly er forsiket. c) Hva er sasylighete for at et tilfeldig valgt fly som er forsiket, er et SAS-fly? d) Hva er sasylighete for at et tilfeldig valgt fly som er i rute, er et SAS-fly?
Ogave 3 På visse tider av året krysser jordas bae e kometbae (oe slike krysiger er faste årlige feomeer). I kometes bae ligger det igje massevis av små artikler, alt fra bittesmå støvkor til litt større steier. Når artiklee kommer i i jordas atmosfære med stor hastighet (otil 7 km/t), vil friksjoe varme dem o slik at de lyser kraftig et kort øyeblikk, mes de farer over attehimmele. Vi omtaler dette som stjereskudd (de er der om dage også, me da ser vi dem ikke). La X være tide et slikt stjereskudd lyser, målt i sekuder. Vi betrakter bare legde å lysglimtet, ikke adre faktorer. Vi skal ata at X er ormalfordelt med forvetig µ = sekud og stadardavvik σ =, sekud. a) Hvor stor er sasylighete for at et stjereskudd varer i midre e sekuder? b) Hvor stor er sasylighete for at et stjereskudd varer mellom og 3 sekuder? c) Hvor stor er sasylighete for at et stjereskudd varer mer e to sekuder? Det tar jorda oe timer å assere støvet som ligger sredt utover i kometes bae. Vi atar at forvetet atall stjereskudd er miutt er i dette tidsrommet. La Y være atall stjereskudd i løet et vilkårlig tidsitervall av legde 3 miutter. d) Redegjør for hvilke fordelig det er rimelig å ata at Y har, og reg ut P(Y = 5). e) Vi ka ata at atallet stjereskudd i to itervaller som ikke overlaer hveradre er uavhegige hedelser. Forklar hva vi meer med uavhegige hedelser. f) Vi observerer to itervaller av legde 3 miutter. De to itervallee overlaer ikke. Beskriv hvorda vi ka rege ut sasylighete for at vi observerer stjereskudd i løet av de to itervallee du treger ikke rege det ut, bare beskrive hva du må gjøre for å få det til. Ogave 4 a) E eske ieholder tre kuler, ummerert;,, 3. E kule trekkes tilfeldig, og legges tilbake i eske. Vi trekker to gager å dee måte. Hva er sasylighete for at vi trekker kule r. å adre trekig? b) La eske ieholde 5 ummererte kuler. E kule trekkes tilfeldig og legges tilbake i eske. Dette gjetas 5 gager. Hva er sasylighete for å trekke kule r. mist e gag? c) La eske ieholde 5 ummererte kuler. E kule trekkes tilfeldig og legges tilbake i eske. Dette gjetas 5 gager. Hvor stor er sasylighete for at vi trekker 3 femmere?
d) La eske ieholde 5 ummererte kuler. E kule trekkes tilfeldig og legges tilbake i eske. Dette gjetas 5 gager. Hvor stor er sasylighete for at vi trekker to - ere, e 3-er og to 5-ere. e) La det være m kuler i eske. Hvis ma trekker 5 kuler ute tilbakeleggig, hva er sasylighete for at kule r. er blat de uttruke? Forklar fremgagsmåte. (Hit: det går for eksemel a å bruke m 4 m 5 ) Ogave 5 E elebode selger elee i artier å eler. Ma må alltid rege med at oe av elee i et slikt arti er såass skadet at de ikke ka selges til almielig kosum. Bode åstår at i et arti å eler vil aslagsvis 5 være ueget for salg i butikke. E otesiell kjøer vil udersøke bodes åstad ærmere, og lukker ut 5 eler tilfeldig. Av disse er 4 skadet. Vi skal hjele kude med å gjøre e hyotesetest. a) Vi velger å sette H = av eler er 5 skadet. Drøft kort om det er rimelig. b) La H være slik som i a). Defier de alterative hyotese H. c) Hvis vi lar X være atall skadede eler i et utvalg å 5, hva slags fordelig har X? Forklar. d) Sasylighetee P(X = x) ka tilærmes godt med sasylighetee for e biomisk forsøksrekke hvor =,5. Forklar sammehege. Nedefor ser du e tabell over sasyligheter for hyoteseteste, bereget med de biomiske tilærmige: Sasylighetee for at x 7 er såass små at vi velger å ase dem som i dee teste. e) Sett sigifikasivået til α =,5. Hva blir da de kritiske verdie? f) Fi sigifikassasylighete for testresultatet X = 4. Trekk koklusjoe. 3
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig Formelark for Matematikk, modul Statistikk og sasylighetsregig BINOMIALKOEFFISIENTEN:! = k ( k)! k! ADDISJONSSETNINGEN: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) DEFINISJON AV BETINGET SANNSYNLIGHET: P( A B) = P( A B) P( B) MULTIPLIKASJONSREGELEN: P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) BAYES FORMEL: P( B A) = P( A B) P( B) P( A) STANDARDAVVIK OG GJENNOMSNITTLIG ABSOLUTTAVVIK La x, x, x3,..., x være observasjoee i et datasett, og x gjeomsittet av dem. Nedefor er det gitt tre formler:. Emirisk stadardavvik.. Teoretisk stadardavvik. 3. Gjeomsittlig absoluttavvik.. ( x i x) i=. ( X i X ) i= 3. x x i= FORVENTNING, VARIANS OG STANDARDAVVIK FOR EN STOKASTISK VARIABEL X E( X ) = x P( X = x ) alle xi i Var( X ) = E ( X E( X )) = E( X ) ( E( X )) i σ ( X ) = Var( X ) = E ( X E( X )) 4
HYPERGEOMETRISK FORDELING M N M k k P ( X = k ) = N M N E( X ) = Var( X ) = ( ) N N GEOMETRISK FORDELING P( Y = y) = ( ) y E( Y ) = Var( Y ) = BINOMISK FORDELING P x x x ( X = x) = ( ) E X ) = ( Var( X ) = ( ) POISSONFORDELING Med t mees tid, legde, areal, volum. λ er atall forekomster er tidsehet av e bestemt hedelse A. λ λ x ( t) t P( X = x) = e E( X ) x! = λt Var( X ) = λt NORMALFORDELING X µ Hvis X ~ N ( µ, σ ), så er Z = ~ N (,). Dersom x er e verdi i verdimegde til σ x µ e ormalfordelt stokastisk variabel X, og vi skriver z =, så bereges σ F( x) = P( X x) = G z (se tabell over sasyligheter i sasyligheter for X ved ( ) stadardormalfordelig) SENTRALGRENSETEOREMET Hvis X er e stokastisk variabel, med E( X ) = µ stadardavvik S, og X, X,..., X er koier av X, så er X = ( X + X + L + X ) tilærmet ormalfordelt for, med forvetig E ( X ) = µ og stadardavvik ( ) σ X = S. 5
KONFIDENSINTERVALLER Et tilærmet ( α) % kofidesitervall for i e biomisk situasjo, basert å ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) estimatore ˆ = X / er gitt ved ˆ ˆ /, z z α + α / Vi fier et tilærmet( α) % kofidesitervall for forholdet M / N i e x x hyergeometrisk situasjo ved itervallet: z ˆ ˆ α / Var( ), + zα / Var( ) hvor x / er de observerte verdie av estimatore ˆ = X / og N x x Var( ˆ ) = N. Et ( α) % Z-itervall for gjeomsittet µ i e ormalfordelt situasjo er gitt σ ved: X zα /, X + zα / σ Dersom stadardavviket σ ikke er kjet, setter vi S = i= ( x i x). og bruker S i stedet for σ. Dee fremgagsmåte er god ok dersom atallet observasjoer er større e, side ormalfordelige og t-fordelige da er svært like. Dersom atallet observasjoer er vesetlig midre e bør/må vi beytte t-fordeliges kvatiler, t α, i stedet for ormalfordeliges z α. Bruker vi S i stedet for σ får vi e tilærmig til et ( α) % T-itervall for gjeomsittet µ i e ormalfordelt situasjo. KRITISKE VERDIER. Hvis H forkastes år X blir åfallede lite, er k er de største verdi slik at P( X k) α (esidig test). Vi forkaster H dersom X k.. Hvis H forkastes år X blir åfallede stor, er k er de miste verdi slik at P( X k) α (esidig test). Vi forkaster H dersom X k. 3. Hvis H forkastes år X blir åfallede lite eller X blir åfallede stor, er P( X k) α / og P( X k) α / (tosidig test). Vi forkaster H dersom X k eller X k. TEST AV BINOMISK Hesikte med teste er å avsløre om de isamlede data atyder om estimatet X/ til de virkelige sasylighete, avviker sigifikat fra e bestemt verdi, kalt. Vi beytter 6
testobservatore Z X X = =. Vi har følgede alterativer: ) ( ) (. H : og H : > hvis Z > z α H : og H : < hvis Z < z α H : = og H : hvis Z > z α /. 3. Z-TEST (OG TILNÆRMING TIL T-TEST) Her testes det om isamlede data atyder at gjeomsittet µ ligger ær ok e kjet verdi µ. Vi forutsetter først at stadardavviket σ er kjet. Vi beytter X µ testobservatore Z =. Vi har følgede alterativer: ( σ / ). H µ og H > µ hvis Z > z α H µ og H < µ hvis Z < z α H = µ og H µ hvis Z > z α /. 3. Dersom stadardavviket ikke er kjet, bereger vi det emiriske stadardavviket S = ( x i x) og bruker S i stedet for σ. Dee fremgagsmåte er god ok i= dersom atallet observasjoer er større e, side ormalfordelige og t- fordelige da er svært like. Dersom atallet observasjoer er vesetlig midre e bør/må vi beytte t-fordeliges kvatiler, t α, i stedet for ormalfordeliges z α. For øvrig er teste de samme. UPARET T-TEST Vi beytter testobservatore T = S X Y +, hvor S = ( ) S ( ) S x y + Det som er kalt S x her er stadardavviket for x-verdiee, og S y er stadardavviket for y-verdiee. og står for atall observasjoer i hver grue. : og H > µ hvis T > t α H µ og H < µ hvis T < t α H = µ og H µ hvis T > t α /. H µ µ. 3. 7
PARET T-TEST D Vi beytter testobservatore D =, hvor D er gjeomsittet av differesee, S D / S D er stadardavviket for differesee, og er atallet observasjosar.. H µ og H > µ hvis T > t α H µ og H < µ hvis T < t α H = µ og H µ hvis T > t α /. 3. KORRELASJONSKOEFFISIENTEN R = i= ( x x)( y y) i ( xi x) ( yi y) i= i= i TABELLER 8
9