7 Rayleigh-Ritz metode Innhold: Diskretisering Rayleigh-Ritz metode Essensielle og naturlige randbetingelser Nøyaktighet Hermittiske polynomer Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap. 4.11 og 4.13 TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-1 Rayleigh-Ritz' metode
Diskretisering De aller fleste mekaniske systemer, herunder alle problemer som involverer tverrforskyvning (bjelker og rammer), har uendelig mange frihetsgrader. Vi vet ikke à priori hvordan forholdet er mellom forskyvningene (eller vinklene) i to forskjellige punkter. For å kunne benytte prinsippet om stasjonær potensiell energi, er vi avhengig av at det er et endelig antall (for håndberegning: så få som mulig) frihetsgrader. DISKRETISERING: Det kontinuerlige problemet med uendelig mange frihetsgrader idealiseres til et problem med få frihetsgrader. Løsningen av det diskretiserte systemet vil i de aller fleste tilfeller være en tilnærmet løsning. Diskretiseringen er den vesentlige antagelsen og tilnærmelsen når et gitt problem skal løses numerisk med elementmetoden. All diskretisering handler i praksis om å anta/velge et forskyvningsfelt. Dette gjelder både for elementmetoden og håndberegninger. Jo nærmere det valgte forskyvningsfeltet er den korrekte deformasjonen, desto mer nøyaktig er den tilnærmede løsningen. q F Ukjent, eksakt løsning (Usymmetrisk) Tilnærmelse: Parabel (Enkelt, men ikke optimalt) TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-2 Rayleigh-Ritz' metode
Valg av forskyvningsfelt Vi holder oss foreløpig til det 1-dimensjonale tilfellet, dvs bjelker. Dermed kan vi nøye oss med å se på forskyvningen w(x) i tverretning. En tilnærmet forskyvningsfunksjon for konstruksjonen velges på formen hvor w x aifi x n i 1 a i kalles generaliserte frihetsgrader. Etter at fi x er valgt, er de n generaliserte frihetsgradene de ukjente. Rayleigh- Ritz metode gir løsningen til de n ukjente a i. fi x er valgte formfunksjoner. Disse må tilfredsstille o Kontinuitetskrav o Essensielle randbetingelser (se neste side) Typiske valg er polynomer eller trigonometriske funksjoner 2 3 f x a a x a x a x 0 1 2 3... x 2 x 3 x f x a0 a1 sin a2 sin a3 sin... L L L NB: I mange tilfeller må ett eller flere ledd utelates pga randbetingelser, symmetri el. Figuren nedenfor viser eksempler på uakseptable (til venstre) og akseptable (til høyre), om enn urealistiske, formfunksjoner. z, w z, w TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-3 Rayleigh-Ritz' metode
Randbetingelser I faststoffmekanikk skilles det mellom to typer av randbetingelser: Essensielle randbetingelser er randbetingelser som er knyttet til forskyvninger eller vinkler. Et annet navn på disse er kinematiske randbetingelser. Fritt opplegg: v w = 0 Fast innspenning: v w = 0 = 0 v w = 0 Naturlige randbetingelser er randbetingelser som er knyttet til krefter og momenter. Et annet navn på disse er dynamiske randbetingelser. Fritt opplegg: M = 0 w v = 0 Fri ende: M = 0 w v = 0 V = 0 w v = 0 TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-4 Rayleigh-Ritz' metode
Rayleigh-Ritz metode Rayleigh-Ritz metode tar utgangspunkt i prinsippet om stasjonær potensiell energi for å bestemme de n ukjente frihetsgradene a i i et valgt forskyvningsfelt. Prosedyre: 1. Velg et forskyvningsfelt n w x aifi x. 2. Regn ut systemets potensielle energi med bruk av det valgte forskyvningsfeltet. Indre energi U beregnes ved å ta utgangspunkt i uttrykkene for U som funksjon av deformasjon, se side 3-18 (og eventuelt 3-17 og 3-19) Lastpotensialet bestemmes ved å regne ut arbeidet som kreftene på systemet gjør over forskyvningen w(x). Den potensielle energien er nå funksjon av de generaliserte frihetsgradene: = a i. 3. Forskyvningen som tilsvarer likevekt bestemmes fra prinsippet om stasjonær potensiell energi: i 1 a i 0 for i = 1,, n 4. Prinsippet om stasjonær potensiell energi gir et system med n algebraiske ligninger (som har n ukjente a 1,,a n ). Når dette systemet er løst mhp a i er det tilnærmede forskyvningsfeltet entydig bestemt. 5. Sekundære størrelser kan bestemmes ved derivasjon av det beregnede forskyvningsfeltet w(x). Eksempelvis: M x EI x w x TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-5 Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.1: Fritt opplagt bjelke q L En fritt opplagt bjelke er påkjent av en jevnt fordelt last q. Bjelken har lengde L og konstant bøyestivhet EI. Bruk Rayleigh-Ritz metode med ulike valg av formfunksjoner til å estimere bjelkens maksimale nedbøyning og momentdiagram: 2. grads-polynom, dvs parabel (1 frihetsgrad) Høyere-ordens polynom (2 frihetsgrader) Trigonometrisk funksjon (1 frihetsgrad) Sammenlign med eksakt løsning. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-6 Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.2: Bjelke med overheng A B 3L/4 L/4 F C Benytt Rayleigh-Ritz metode med én generalisert frihetsgrad til å analysere bjelken i figuren. Bjelken har konstant bøyestivhet EI. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-7 Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.3: Bjelke understøttet av to fjærer (Cook&Young, oppgave 4.11-5) Benytt Rayleigh-Ritz metode med to generaliserte frihetsgrader til å bestemme en tilnærmet verdi for nedbøyningen under lasten F. Bjelken har konstant bøyestivhet EI. Sett k = EI/L 3. Hvor stor blir den maksimale nedbøyningen? Er momentdiagrammet fra Rayleigh-Ritz-løsningen realistisk? I konstruksjonsanalyser er det ganske vanlig å introdusere fjærer i beregningsmodellene. Hva kan slike fjærer representere? Fasit: w max = 0,388 F/k TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-8 Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.4: Stav med avtrappet tverrsnitt (Cook&Young, oppgave 4.11-8) Staven i figuren har et tverrsnittsareal som avtar lineært fra A 0 i innspenningen (x = 0) til A 0 /2 ved den høyre enden (x = L). I høyre ende virker det en kraft N som forskyver denne stavenden u L mot høyre. Benytt Rayleigh-Ritz metode med to generaliserte frihetsgrader og polynomer som formfunksjoner til å bestemme størrelsen på kraften N (som funksjon av bl.a u L ). Sammenlign med eksakt løsning. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-9 Rayleigh-Ritz' metode
Karakteristisk for Rayleigh-Ritz metode Rayleigh-Ritz metode gir en tilnærmet løsning. Hvis de valgte funksjonene i forskyvningsfeltet w x aifi x samsvarer med den eksakte løsningsfunksjonen, vil Rayleigh-Ritz gi korrekt løsning. En Rayleigh-Ritz løsning er enten eksakt eller for stiv. Dette skyldes at systemet tvinges til å deformere seg i henhold til det valgte forskyvningsfeltet w x aifi x. Dermed blir forskyvningene i middel noe mindre enn de ville ha vært hvis systemet fikk deformere seg fritt etter eget forgodtbefinnende, dvs korrekt løsning. Funksjonene fi x må tilfredsstille de essensielle randbetingelsene til problemet. Hvis de i tillegg tilfredsstiller naturlige randbetingelser, forbedres ofte løsningen. Nøyaktigheten er vanligvis best for forskyvningene w. I numerisk matematikk vil derivasjon forstørre eventuelle feil. Dermed må det forventes at feilen er større for helning, bøyemoment M, spenninger osv., som alle beregnes ved suksessiv derivasjon av w(x). Verst i så måte blir skjærkraft V (tre gangers derivasjon). Ulemper ved Rayleigh-Ritz: o Intet feilestimat. Man kan ikke vite noe om avvik fra den eksakte løsningen. o Forskyvningsfeltet w x aifi x må defineres for hele konstruksjonen. Blir fort intrikat. Dette leder til elementmetoden: Systemet deles inn i mindre deler (elementer), og det velges et Rayleigh-Ritz forskyvningsfelt stykkevis for hvert element. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-10 Rayleigh-Ritz' metode
Hermittiske polynomer Dette er en spesiell type polynomer som fremkommer ved at de skal ha bestemte verdier av både den 0 te og 1 ste ordens deriverte i predefinerte punkter. Når det hermittiske polynomet beskriver forskyvning, vil 0 te og 1 ste ordens deriverte uttrykke hhv forskyvning og helningsvinkel. For bjelker benyttes ofte fire hermittiske polynomer som defineres ved at forskyvning eller vinkel i den ene av endene skal være lik 1, mens de øvrige forskyvningene/vinklene er lik 0. Figuren nedenfor viser polynomene slik de benyttes i TKT4180 KMEK Beregningsmetoder. Les dessuten Cook avsn. 4.13. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-11 Rayleigh-Ritz' metode
Hermittiske polynomer og elementmetoden De hermittiske polynomene er utgangspunktet for elementmetoden for bjelker: Hvert element har fire frihetsgrader som representerer bøyning: Tverrforskyvning og rotasjon i hvert knutepunkt De hermittiske polynomene representerer formfunksjonene til disse fire frihetsgradene Rayleigh-Ritz gir egenskapene, dvs sammenheng mellom belastning og deformasjon, til hvert element Kompatibilitet: Naboelementer som møtes i et knutepunkt må ha samme størrelse/verdi på frihetsgradene i det aktuelle knutepunktet Dette gir muligheten til å bygge opp en elementmodell for hele systemet: Et ligningssystem hvor det totale antall frihetsgrader er de ukjente Element med frihetsgrader System Mer om dette i TKT4180 KMEK-Beregningsmetoder. Og enda viktigere: Dette kan generaliseres til 2D og 3D. TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 7-12 Rayleigh-Ritz' metode