N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side 1 av 6 Rev Spenninger i bjelker rgens kap 18.1. ibbeler Sec. 1.1-1. En bjelke er et avlangt stkke materiale som utsettes for bøebelastning. Ren bøning bjelke b N 0 0 0 0 d=bd Når bjelken belastes som vist, må det være trkk på toppen og strekk på bunnen. Disse spenningene er normalspenninger,. Normalspenninger som skldes bøning kalles bøespenninger. Positivt bøemoment gir trkk på bjelkens overkant og strekk i dens underkant Et sted mellom topp og bunn må bøespenningen være null. På dette stedet i tverrsnittet finner vi nøtralaksen. Vi antar at bøespenningen er en lineær funksjon av høden, dvs. av høden, dvs. - koordinaten, k. vis det kun er bøning, er normalkraften N 0. Da må d 0,. med d b d, der b generelt kan variere, får vi d 0 kd k d 0 der lik arealmomentet (det statiske momentet) som brukes for å finne arealsenter. Når dette er null, betr det at nullpunkt for, dvs. nøtralaksen, ligger i flatesenteret. jelketverrsnittets nøtralakse ligger i flatesenteret ved ren bøebelastning. Vi plasserer som kjent bjelkens -akse i lengderetningen og -aksen nedover. Dermed blir bjelkens -akse i tverrsnittet. øemomentet fremkommer ved kraft gange arm: Vi integrerer: integralet. ntegralet k d d d k d k d.. redden b er generelt ikke konstant og kan ikke settes utenfor d kalles flatens annet arealmoment (flatens "treghetsmoment").
d N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side av 6 Rev Da blir k k, og av k får vi bøespenningsformelen: øespenning, der er en tverrsnittskonstant for bjelkens tverrsnitt. nnet arealmoment kan vi lett regne ut med integralet når flaten er et rektangel. d etrakt ¼ av arealet idrag til annet arealmoment: der d d d d Dermed d 4 d 1 1 4 1 nnet arealmoment for en rektangelflate:, 1 der er bredden og er høden (som står på tvers av nøtralaksen). Vi skal i mekanikk finne en måte for å regne flatesenter og annet arealmoment for sammensatte flater. midlertid kan de fleste DK-programmer foreta en numerisk integrasjon av en vilkårlig flate, så det er også en mulighet. praksis er annet arealmoment ferdig regnet for standard-bjelke profiler og oppgitt i tabeller. Eksempel eregn de ekstremale bøespenningene i følgende bjelke for 4 forskjellige tverrsnitt: Det maksimale bøemomentet er midt på bjelken: F P 0 : 0 4 knm 4 kn Eller fra formel: FL 4 kn 4 m 4 knm 4 4
N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side av 6 Rev jelke Nr 1: 6060 6 4 6 4 Et massivt tverrsnitt på 60 60 mm : 1,08 10 mm 1,08 10 m 1 Nøtralaksen befinner seg i arealsenteret, dvs. "midt" på flaten. Verdien av kan variere mellom 0 mm og 0 mm. 410 6 øespenning på oversiden: o ( 010 ) 11110 Pa 111 Pa 6 1,08 10 410 6 øespenning på undersiden: u 010 11110 Pa 111 Pa 6 1,08 10 Legg merke til at materialet ikke innvirker på spenningene. jelke Nr : Et massivt tverrsnitt på 60 10 mm orientert i "sterk retning", dvs. med profilen på høkant: 6010 6 4 6 4 8,64 10 mm 8,64 10 m 1 Nøtralaksen "midt" på flaten. Verdien av kan variere mellom 60 mm og 60 mm. 410 6 øespenning på oversiden: o ( 6010 ) 7,810 Pa 7,8 Pa 6 8,64 10 410 6 øespenning på undersiden: u 6010 7,810 Pa 7,8 Pa 6 8,64 10 Legg merke til virkningen av å doble høden. nnet arealmomentet øker 8, dvs. 8 ganger. bøespenningsformelen dobles spenningene ved 1 1 dobling av -verdien. Spenningene snker derfor 8 / 4 ganger. Vi kan si at bjelken blir 4 ganger sterkere. Legg også merke til at hvis den rektangulære bjelken legges ned, så bredden dobles og høden ikke endres, så blir bjelken kun ganger sterkere! jelke Nr : Et standard PE 80 tverrsnitt. Vi må nå slå opp annet arealmoment. Fra en eldre tabell har vi 4 4 7 4 80,1 cm 80,1 10 8,01 10 m (eller 6 4 0,801 10 m ). Nøtralaksen er fortsatt "midt" i da dette er et dobbelt-smmetrisk tverrsnitt. jelkens høde er 80 mm, og verdien av kan variere mellom 40 mm og 40 mm. 410 øespenningene er: ( 4010 ) 00 Pa (for hhv under- og 6 0,80110 overside).
N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side 4 av 6 Rev jelke Nr 4: Et standard T80 tverrsnitt, se figur Vi finner i tabellen 4 7,7 cm 7,7 10 7,7 10 m 4 7 4 Det fremgår videre av tabellen at nøtralaksen befinner seg d, cm fra overkant. Ned til underkant er det da 80, 57,8 mm. Verdien av kan variere mellom, mm og 57,8 mm. øespenningene er: 410 Overkant (, 10 ) 10 Pa 7 7,7 10 410 Underkant 57,810 14 Pa 7 7,7 10 Kombinerte spenninger. Dersom det er både normalkraft og bøemoment på en bjelke, vil spenningene overlagre hverandre (superponeres) fordi de begge er normalspenninger og de har samme retning. N De kombinerte spenningene regnes ut med, der er tverrsnittsarealet Ved kombinerte spenninger, vil nøtralaksen ikke lenger være i tverrsnittets flatesenter. + = N N
N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side 5 av 6 Rev er om bjelkens orientering Ut fra det som er sagt om bjelkens orientering, kan vi også betegne bøemomentet som er virksomt ved vertikal last for. Det tilhørende annet arealmoment er. oment-aksen for disse momentstørrelsene er -aksen. Dersom en bjelke belastes sidelengs, i horisontalplanet, er det som er det virksomme annet arealmomentet. som er bøemoment og Dersom en bjelke belastes både vertikalt og horisontalt, blir bøespenningene. Spenningene som følge av varierer med -koordinaten og spenningene som følge av varierer med -koordinaten. Legg merke til at tverrsnittstegninger oftest har sine egne koordinatsstem. Vi må derfor lese tabellene grundig og sjekke at vi bruker tverrsnittsstørrelser som er korrekt orientert. Spenningsformler øespenningsformelen er et tpisk eksempel på en regnemåte der spenninger ikke beregnes direkte ut fra én formel, der alle mål og laster settes direkte inn (så som for tnnvegget trkktank). Vi må gå veien om regnestørrelsen, annet arealmoment. Skjærspenninger i bjelker kan heller ikke beregnes "rett frem" fra én formel. Virkningen av skjærkraft. Skjærspenninger i bjelker Figuren viser en bjelke som bøes. Dersom bjelken hadde bestått av to planker lagt opp på hverandre og spikret i den ene enden, ville plankene ha glidd slik den nederste figuren viser. en sammenhengende bjelke, se den midtre figuren, har vi ikke slik glidning fordi materialet henger sammen i hele lengden. Det må derfor være indre krefter langs bjelken som overføres av materialet. F V Disse kreftene gir skjærspenninger, se overgangen fra den øverste figuren til den midtre figuren, som også viser skjærspenninger og deformasjon i et bokselement som befinner seg i godset inne i bjelken. Skjærspenningen beregnes ut fra skjærkraften V, Fremgangsmåten er imidlertid så omstendelig, at vi må utsette disse beregningene til ekanikk.
N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side 6 av 6 Rev Forutsetninger for bruk av spenningsformler for bjelker, bjelketeori Forutsetningene for at bøespenningsformelen skal kunne gi riktige og nttige resultater er at: 1) Normalspenninger på tvers av bjelkens lengdeakse er små i forhold til normalspenninger langs bjelken ) aterialet er lineært elastisk ) Plane tverrsnitt forblir plane under bøning eregninger basert på disse forutsetningene betegnes Euler-ernoulli bjelketeori. lange bjelker vil bøespenningene være dominerende fordi lengde-koordinaten inngår som "arm" i bøemomentet. korte bjelker kommer det et betdelig innslag av skjærspenninger. Videre vil spenningsforholdene under punktlaster og over opplagre være dominerte av vertikale spenninger. For bjelker betr forutsetningene 1 i praksis at bøespenningsformelen kun gir grunnlag for å vurdere tillatt last når bjelken er relativt lang i forhold til høden (slank) og videre, at vi med bjelketeori ikke behandler forholdene nær punktlaster og opplagre. Når man skal kontrollere bjelkekonstruksjoner generelt, må man bruke mer kompliserte kontroller nær punktlaster og opplagre, samt for veldig korte bjelker. Dette ligger utenfor pensum i mekanikk 1.