MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om hva kurset hadler om - faglig itroduksjo Kursopplegget - praktisk Start på faglig del; repetisjo av bakgrustoff oppgaveregig start på kp. 8 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 2 / 57
Praktisk iformasjo... Iformasjo på it s:learig:... Regeøviger / oppgaveregig Småoppgaver iimellom... Regig/gjeomgag av oppgaver fra oppgavesett Repetisjo Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 3 / 57 Repetisjo. Stokastisk variabel. Diskret sasylighetsfordelig. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 4 / 57
Repetisjo. Kotiuerlig fordelig. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 5 / 57 Repetisjo. Forvetig og varias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 6 / 57
Repetisjo. Kovarias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 7 / 57 Repetisjo. Regeregler for forvetig og varias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 8 / 57
Repetisjo. Normalfordelige. X Nμ, σ 2 ): the radom variable X is ormally distributed with mea μ ad variace σ 2. Stadardormal distributio: N0, 1), i.e.μ =0σ 2 =1. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 9 / 57 Repetisjo Regeoppgave! forvetig og varias) X har forvetig 100 og varias 10. Fi E0.5X 40), Var0.5X 40) og Var 0.5X). Regeoppgave! Normalfordelig, sasyligheter, stadardiserig) Y er ormalfordelt med forvetig 50 og stadardavvik 10. Fi P Y < 40), P Y >50) og P Y >60). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 10 / 57
Repetisjo Biomial distributio: X = is the umber of successes i Beroulli trials idepedet trials withz zero failure) / oe success) outcomes. The X B, p), p: probability of success i each trial). Expectatio: EX) =p ad variace VarX) =p1 p). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 11 / 57 Repetisjo Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 12 / 57
Repetisjo Regeoppgave! Biomisk situasjo) Ata at 25% av UiS-studetee er TN-studeter. 100 av UiS-studetee skal plukkes tilfeldig ut for å være med i e udersøkelse. Hvor mage TN-studeter ka ma forvete i utvalget? Hva er stadardavviket til atall TN-studeter i utvalget? Hva er tilærmet sasylighete for at færre e 15 er med i utvalget? Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 13 / 57 Repetisjo. Grulag for statistisk aalyse. Kp. 8.2 Some Importat Statistics Statistiske størrelser observatorer) statistics ) gjeomsitt og media empirisk varias og stadardavvik Data: x 1,x 2,...,x Betraktes som utfall av tilfeldige variable: X 1,X 2,...,X Tilfeldig utvalg: X 1,X 2,...,X ka atas å være uavhegige og idetisk fordelt u.i.f.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 14 / 57
Repetisjo, Kp. 8.2 Data: x 1,x 2,...,x Gjeomsitt: x = 1 ) x 1 + x 2 + + x = 1 Empirisk stadardavvik: } 1 s = {x 1 x) 1 2 +x 2 x) 2 + +x x) 2 Faste tallverdier! s = 1 1 x i x) 2 i=1 i=1 x i Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 15 / 57 Repetisjo, Kp. 8.2 De statistiske størrelsee observatoree er de tilhørede tilfeldige variable: Gjeomsitt: X = 1 ) X 1 + X 2 + + X = 1 X i Empirisk stadardavvik: } 1 S = {X 1 X) 1 2 +X 2 X) 2 + +X X) 2 Tilfedige variable! S = 1 1 X i X) 2 i=1 i=1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 16 / 57
Repetisjo, Kp. 8.2 Eks.: Tilfeldig utvalg av 134 orske gutter i 20-åree; høyde og vekt registrert: Boys. = 134 height weight Average 1.82 75.8 media 1.81 75 Emp. variace 0.0049 73.09 Emp. st. dev. 0.0697 8.55 Populatio: Collectio of all Norwegia boys about 20 years old. Sample: a radom selectio of size 134. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 17 / 57 Repetisjo, Kp. 8.2 Betrakt de 134 guttedataee; x 1,...,x 134 Tilh. tilf.var.:x 1,...,X 134, u.i.f. μ = EX i ): gj.s. høyde i hele populasjoe X tilf.var.): estimator av μ x =1.82 tall): estimat av μ Tilsvarede for de adre størrelsee Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 18 / 57
Over view. cp. 8 8.1 Radom Samplig 8.2 Some importat Statistics 8.3 Samplig distributios 8.4 Samplig distributio of meas ad the Cetral limit theorem 8.5 Samplig distributio of 8.6 t-distributio 8.7 F -distributio 8.8 Quatile ad probability plots 8.9 Potetial miscoceptios ad hazards; relatioship to material i other chapters Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 19 / 57 Over view. cp. 8 9.1 Itroductio 9.2 Statistical iferece 9.3 Classical methods of estimatio 9.4 Sigle sample: estimatig the mea 9.5 Stadard error of a poit estimate 9.6 Predictio itervals 9.8 Two samples: estimatig the differece betwee two meas 9.9 Paired observatios 9.10 Sigle sample: estimatig a proportio 9.11 Two samples: estimatig the differece betwee two proportios 9.12 Sigle sample: estimatig a the variace 9.13 Two samples: estimatig the ratio of two variaces Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 20 / 57
Repetisjo Kp. 8.3, 8.4 Samplig Distributios Det er viktig å kjee fordeligee til observatoree/estimatoree! Utgagspukt: måliger med tilhørede u.i.f. tilf.var.: X 1,...,X. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 21 / 57 Repetisjo, 8.3 og 8.4 Dersom X i Nμ, σ 2 ),så: X Nμ, σ2 ) og X μ σ 2 / N0, 1) Dette utyttes i statistiske aalyser. Noe gager er det ikke rimelig å bruke ormalatakelse hvada? Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 22 / 57
Repetisjo, 8.3 og 8.4 Teorem 8.2: Setralgreseteoremet: Dersom X 1,...,X er u.i.f., så vil år er stor, tilærmet: X Nμ, σ2 ) og X μ σ 2 / N0, 1) stor?? Tommelfigerregel: 30 er tilstrekkelig for god tilærmig. E del gager er det bra tilærmig også for midre. Kp. 8.5, 8.6 og 8.7 gjeomgås etterhvert som vi gjeomgår kp. 9. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 23 / 57 Repetisjo Kp.9.1,9.2,9.3,9.4,9.5,og9.10: Pukt)estimerig og kofidesitervall for μ og p. Først: Pukt)estimerig av μ Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 24 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks.: Vekter i kg) av 25 tilfeldig utvalgte laks: 1.59 2.29 3.17 2.80 2.99 2.74 2.69 2.58 1.79 2.72 2.42 2.18 2.09 3.05 3.43 2.13 2.57 3.22 2.63 1.94 3.61 3.333 2.95 2.30 3.02 Dataee betraktes som utfall av =25u.i.f. tilfeldige variable X 1,...,X 25. μ = EX i ), forvetige til X i ee, represeterer gjeomsittsvekt til alle laksee i aktuell populasjo merd?). Estimator for μ: μ = X Estimat av μ: utfallav μ = X som er x =2.65 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 25 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Det er statistisk usikkerhet i estimatet 2.65 Mål på statistisk usikkerhet: stadardavvik til estimator. σ 2 SD μ) =SDX) =, der σ2 er variase til X i ee, σ 2 = VarX i ) og =25. Treger estimat av σ 2 2 = 1 : s 1 i=1 x i x) 2 =0.276 0.276 Estimat av SD μ): =0.11 25 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 26 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Poit estimatio: Cf. ch. 9.3: We wat a ubiased estimator with as small variace as possible. Blat to forvetigsrette estimatorer velger vi de som har mist varias. Oppgaver: Sett 1 og Sett 2, oppgave r. 1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 27 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Kofidesitervall for μ Estimat, puktestimat; itervallestimat, kofidesitervall Kofidesitervall for μ: vi øsker et itervall som er slik at: P L μ U) =1 α, der 1 α er stor, og L og U er edre- og øvregrese i itervallet. Det er tre ulike situasjoer å se på: 1. Med ormalatakelse og kjet σ 2 2. Med ormalatakelse og ute kjet σ 2 3. Ute ormalatakelse og ute kjet σ 2,memedstor. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 28 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med ormalatakelse og kjet σ 2 Fraktiler i N 0, 1)-fordelige: Def. z α Dersom Z er N 0, 1)-fordelt, defieres tallet z α ved at P Z >z α )=α. 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Skisse av N 0, 1)-fordelig; arealetalet P Z >z α )=αer farget. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 29 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordeltorde og σ 2 er kjet. Side Z = X μ σ 2 N0, 1), har vi: P z α/2 X μ σ 2 z α/2 ) = 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 30 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 X z α/2 σ 2 X μ σ 2 z α/2 μ X + z α/2 σ 2 Derfor har vi: ) σ 2 σ P X z α/2 μ X + z 2 α/2 = 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 31 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er ) σ X z 2 α/2, X + z σ 2 α/2, et 1001 α)% kofidesitervall for μ. Obs.: ka umerisk bereges fordi σ 2 er kjet. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 32 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65. Med ormalatakelse for laksedataee og atakelse om at σ 2 =0.5 2 er kjet, får vi at et 95% kofidesitervall for μ er: ) ) 0.5 2 0.5 2 2.65 1.96, 2.65 + 1.96 = 2.45, 2.85 25 25 95% α =0.05 α/2 =0.025, ogz α/2 = z 0.025 =1.96.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 33 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med ormalatakelse og ukjet σ 2 Må bruke t-fordelig kp. 8.6): X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ). La σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2,og T = X μ Def. Studet s t-fordelig: Dersom X 1,...,X,er u.i.f. tilf. var. der X i er ormalfordelt med forvetig μ og varias σ 2, i =1,...,,såerT Studet s) t-fordelt med 1 frihetsgrader: T t 1) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 34 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Egeskaper til t-fordelige: 0.5 0.4 0.3 x) f1x) f2x) f15x) 0.2 0.1 0-4 -2 0 2 4 t-fordelige er avhegig av atall frihetsgrader ). De blir mer og mer lik N 0, 1)-fordelige år atall frihetsgrader øker. symmetrisk omkrig 0 tygre haler e N 0, 1)-fordelige Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 35 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Fraktiler i t-fordelige: Def. t α,d Dersom T er Studet s) t-fordelt med d frihetsgrader, defieres tallet t α,d ved at P T >t α,d )=α. 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Skisse av td)-fordelig; arealet P T > t α,d )=α er farget. Tilsvarer z α i N 0, 1)-fordelige.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 36 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. Side T = X μ t 1), har vi: P t α/2, 1 X μ t α/2, 1 ) = 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 37 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: t α/2, 1 X t α/2, 1 X μ t α/2, 1 μ X + t α/2, 1 Derfor har vi: ) S P X t α/2, 1 μ X + t 2 α/2, 1 = 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 38 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er X t α/2, 1, X + t α/2, 1 et 1001 α)% kofidesitervall for μ. ), Obs.: Normalatakelse også i dee situasjoe. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 39 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65, ogs 2 =0.525 2. Med ormalatakelse for laksedataee og ukjet σ 2,fårviat et 95% kofidesitervall t-itervall) for μ er: 2.65 2.064 0.525 2, 25 2.65 + 2.064 ) = 2.43, 2.87 0.525 2 ) 25 95% α =0.05 α/2 =0.025, ogt α/2, 1 = t 0.025,24 =2.064; =25.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 40 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med stor Treger ikke ormalatakelse eller kjet σ 2 : Setralgreseteoremet: Tilærmet gjelder: X μ σ 2 / N0, 1) X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derEX )=μ og VarX i )=σ 2 i.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 41 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Tilærmige gjelder også dersom σ 2 erstattes av estimatore, σ 2 2 = 1 = S 1 i=1 X i X) 2. Tilærmet gjelder: X μ / N0, 1). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 42 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,,og σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2. Side vi tilærmet har at X μ N0, 1), har vi: P z α/2 X μ ) z α/2 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 43 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 X z α/2 X μ z α/2 μ X + z α/2 Derfor har vi: ) S P X z α/2 μ X + z 2 α/2 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 44 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er ) S X z 2 α/2, X + z α/2, et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for μ. Obs.1: Treger ikke ormalatakelse i dee situasjoe. Obs.2: Treger ikke kjet σ 2 i dee situasjoe. Obs.3: Må ha stor. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 45 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65, ogs 2 =0.525 2. Med =25har vi litt for få data til å bruke ormaltilærmig ifølge tommelfigerregele. Me dersom vi sier at det er ok likevel, fårvi: at et tilærmet 95% kofidesitervall for μ er: 2.65 1.96 0.5255, 25 2.65 + 1.96 ) = 2.44, 2.86 0.525 2 ) 25 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 46 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Pukt)estimerig og kofidesitervall for p. Eks.: Meigsmålig: AP får 34.5% oppslutig; = 1120 tilfeldig valgte persoer spurt. 386 av 1120 slutter opp om AP.) Hva ka vi si om AP s virkelige oppslutig? Vi betrakter resultatett 386 som utfall av e tilfeldig variabel, Y, og vi ka ata at Y er tilærmet) biomisk fordelt, p); Y B, p). Estimere adel proportio): Biomisk modell = 1120 p: virkelig oppslutig til AP på aktuelt tidspukt. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 47 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Estimator for p: p = Y Estimat av p: utfallav p = Y som er y = 386 1120 =0.345. Mål på statistisk usikkerhet: stadardavvik til estimator. SD p) =SD Y p1 p) )= Setter i estmatet av p, foråfåetestimatavsd p): es 0.3451 0.345) 1120 =0.014 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 48 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Tilærmet kofidesitervall for p stor, og p > 5 og 1 p) > 5: Setralgreseteoremet: Tilærmet gjelder: Y p = p1 p) p p p1 p) N0, 1), Tilærmige gjelder også om p i evere erstattes med p: Y p p1 p) = p p p1 p) N0, 1), Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 49 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: Telle)resultatet y; betraktes som utfall av e tilfeldig Y som er biomisk fordelt ev.tilærmet). stor, og p > 5 og 1 p) > 5 Side vi tilærmet har at p p N0, 1), p1 p) har vi: P z α/2 p p p1 p) ) z α/2 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 50 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 p p p1 p) z α/2 p1 p) p1 p) p z α/2 p p + z α/2 Derfor har vi: p1 p) P p z α/2 p1 p) p p + z α/2 ) 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 51 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 ) p1 p) p1 p) Derfor er p z α/2, p + z α/2, et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for p. Eks., meigsmålig: Utfall av p: 0.345 Et tilærmet 95% kofidesitervall for p er: 0.345 z 0.025 0.3451 0.345) 1120 = ) 0.3451 0.345), 0.345 + z 0.025 1120 ) 0.318, 0.372 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 52 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Oppgaver: 1. lage t-itervall Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Lag et 95% kofidesitervall for forvetet hardhet til dette stålet. 2. lage kof.it. for biomisk p. Ata at vi ikke kjeer hva adel TN-studeter ved UiS er. AV 300 tilfeldig utvalgte er 60 fra TN. Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig adel TN-studeter! Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 53 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias empirisk varias): 689.4 Modell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X ) 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S X t 2 0.025,5 6, X + t 0.025,5 6 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 54 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S X t 2 0.025,5 6, X + t 0.025,5 6 Isatt data Gj.s. = 322.8, emp. varias = 689.4, t 0.025,5 =2.571), blir utreget itervall: ) ) 689.4 689.4 322.8 2.571 6, 322.8+2.571 6 = 295.2, 350.4 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 55 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 2. lage kof.it. for biomisk p. Ata at vi ikke kjeer hva adel TN-studeter ved UiS er. AV 300 tilfeldig utvalgte er 60 fra TN. Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig adel TN-studeter! La Y være atall TN-studeter i et tilfeldig utvalg på =300 UiS-studeter. Vi betrakter y =60som et utfall av Y.) Det er rimelig å bruke at Y er biomisk fordelt, Y B300,p), der p er adel ukjet parameter) TN-studeter ved UiS. Tilærmet 90% kofidesitervall for p:... Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 56 / 57
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 ) p1 p) p1 p) p z α/2, p + z α/2, er et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for p. 90%, betyr α =0.1; z α/2 = z 0.05 =1.645 Utfall av p = Y 300 er: 60 300 =0.2 Et tilærmet 90% kofidesitervall for p er: ) 0.21 0.2) 0.21 0.2) 0.2 1.645, 0.2+1.645 300 300 ) = 0.162, 0.238 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 57 / 57