Renteregning Innledning Renteregnings-teknikker Sluttverdi og nåverdi av ett enkelt beløp Sluttverdi og nåverdi av flere like og ulike beløp Nåverdi av endelig og uendelig rekke Renter og avdrag på annuitetslån
Innledning Praktiske investeringsanalyser krever to typer ferdigheter : Økonomiske resonnement Praktisk renteregning Rentetabell Regneark Kalkulator
Finansiell kalkulator er nødvendig Hewlett Packard 19B-II Hewlett Packard 17B-II Hewlett Packard 12C Hewlett Packard 10B Texas Instruments TI-83 eller TI- 85 Texas Instruments BAII Plus
Sluttverdi og rentesrente Kr 100 settes i banken til 5 % rente Disponibelt etter ett år 100 1,05 = 105 Disponibelt etter to år: 100 1,05 1,05 = 100 1,05 2 = 110,25 Sluttverdi (FV) av innskudd kr 100 som opptjener rente på i %: FV = 100 (1 + i) n
Rente og rentesrente År Innskudd 1.1 hvert år Rente Sluttverdi 1 100,00 5,00 105,00 2 105,00 5,25 110,25 3 110,25 5,51 115,76 4 115,76 5,79 121,55 5 121,55 6,08 127,63
Rente og rentesrente Opprinnelig plassering Rente tidligere år Rente inneværende år 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5
Sluttverdi av 1 krone 0 %, 5 %, 10 % og 15 % rente Sluttverdi 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 År
Sluttverdi av ett enkelt beløp rentetabell 1 År/Rente 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % 1 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 2 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 3 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 4 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 5 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 10 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 20 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 30 4,3219 5,7435 7,6123 10,0627 13,2677 17,4494 FV = 100 1,05 = 105 FV = 100 R 1,5 = 100 1,05 = 105
Avkastning på ulike plasseringer
Avkastning i aksjemarkedet En plassering på kr 10 000 fra 1982 til mars 1998 (15 år) ville vokst til kr 164 740 på aksjemarkedet. Hva er den årlige avkastningen? 100 000 (1 + i) 15 = 164 740 (1 + i) 15 = 164 740/10 000 = 16,474 1 + i = 16,474 1/15 = 1,2054, det vil si den årlige avkastningen har vært 20,54 %
Avkastning på et bankinnskudd En innskudd på kr 10 000 plasseres i bank til 7%. Hvor lang er det beløpet er fordoblet? 10 000 (1 + 0,07) n = 20 000 (1 + 0,07) n = 20 000/10 000 = 2 n* log1,07 =log 2 = n* 0,0294 = 0,3010= n=0,3010/ 0,0294 = 10,2381 det vil si at det tar 10 år og ca 3 mnd før innskuddet har fordoblet seg
Nåverdi av ett enkelt beløp Nåverdi omvendt renteregning, hva er et fremtidig beløp verdt i dag? Hva er kr 105 om ett år verdt i dag, hvis renten er 5 %? PV = 105/1,05 = 100 PV = FV/(1 + i) Generelt uttrykk for nåverdi, med rente lik i% PV = FV 1/(1 + i) n
Bonus ved avsluttet studie Ved avsluttet studie om 4 år vil du få utbetalt halvparten av studielånet stipulert til 200 000 kr. Hvor er beløpet verdt i dag? PV= FV/ (1 + i) n = 164 540 PV= 200 000/ (1 + 0,05) 4 = 164 540
Nåverdi av ett enkelt beløp rentetabell 2 År/Rente 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % 1 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 2 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 3 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,7513 4 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,6830 5 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209 10 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 20 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 30 0,2314 0,1741 0,1314 0,0994 0,0754 0,0573 PV = 105/ 1,05 = 100 PV = 105 R -1 1,5 = 105 0,9524 = 100
Nåverdi av 1 krone 0 %, 5 %, 10 % og 15 % rente 1,2 1 Nåverdi 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 År
Effektiv rente Kr 100 settes i banken til 5 % rente Disponibelt etter ett år 100 1,05 = 105 Forutsett at rente godskrives to ganger i året Disponibelt etter ett år: (100) (1+1,025) (1 1,025) = 100 (1,025) 2 = 105,06 Dette er den effektive renten -EFF-dvs renten ved slutten av året, men 5% (2,5% 2) er den nominelle renten -NOM Sammenhengen mellom disse: EFF= (1+NOM)/m) m 1 FV = ((1 + 0,05)/2) 2-1
Sluttverdi og nåverdi av flere ulike beløp Hva er sluttverdi og nåverdi av følgende kontantstrøm, hvis renten er 5 %? År 0 1 2 3 Kontantstrøm 25 000 35 000 45 000 55 000
Sluttverdi og nåverdi av flere ulike beløp Hva er sluttverdi og nåverdi av følgende kontantstrøm, hvis renten er 5 %? År 0 1 2 3 Kontantstrøm 25 000 35 000 45 000 55 000 FV = 25 000 1,05 3 + 35 000 1,05 2 + 45 000 1,05 + 55 000 = 169 778 PV = 25 000 + 35 000/1,05 + 45 000/1,05 2 + 55 000 /1,05 3 = 146 661
Nåverdi av flere like beløp Anta at du mottar kr 50 000 i slutten av hvert år i 5 år. Hva er kontantstrømmen verdt i dag (PV) hvis renten er 5 %? Kontantstrømmen er en etterskuddsannuitet
Nåverdi av flere like beløp Anta at du mottar kr 50 000 i slutten av hvert år i 5 år. Hva er kontantstrømmen verdt i dag (PV) hvis renten er 5 %? Kontantstrømmen er en etterskuddsannuitet PV = 50 000/1,05 + 50 000/1,05 2 + 50 000/1,05 3 + 50 000/1,05 4 + 50 000/1,05 5 = 216 474 Vi kan bruke rentetabell med annuitetsfaktor - dvs rentetabell 3
Nåverdi av etterskuddsannuitet rentetabell 3 År/Rente 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % 1 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 2 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 3 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 4 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 5 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 10 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 20 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 30 15,3725 13,7648 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269 PV = 50 000 A 5,5 = 50 000 4,3295 = 216 475
Nåverdi av etterskuddsannuitet 0 %, 5 %, 10 % og 15 % rente Nåverdi 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 År
Sluttverdi av flere, like beløp Anta at du mottar kr 50 000 i slutten av hvert år i 5 år. Hva er sluttverdien av kontantstrømmen(fv), hvis renten er 5 %? Kontantstrømmen er en etterskuddsannuitet
Sluttverdi av flere, like beløp Anta at du mottar kr 50 000 i slutten av hvert år i 5 år. Hva er sluttverdien av kontantstrømmen(fv), hvis renten er 5 %? Kontantstrømmen er en etterskuddsannuitet FV = 50 000 + 50 000 1,05+ 50 000 1,05 2 + 50 000 1,05 3 + 50 000 1,05 4 = 276 282 Vi kan bruke rentetabell med annuitetsfaktor - dvs rentetabell 5
Sluttverdi av etterskuddsannuitet rentetabell 5 År/Rente 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % 1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 2 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 3 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 4 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 5 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 10 12,5779 13,1808 13,8164 14,4866 15,1929 15,9374 20 33,0660 36,7856 40,9955 45,7620 51,1601 57,2750 30 66,4388 79,0582 94,4608 113,2832 136,3075 164,4940 FV = 50 000 S 5,5 = 50 000 5,5256 = 276 280
Annuitetslån Et annuitetslån er et lån hvor summen av renter og avdrag er konstant over løpetiden Alternativet er ofte et serielån, hvor avdraget er konstant over løpetiden Hvis vi tar opp et annuitetslån på kr 100 000 til 10 % rente med 5 års løpetid, hva blir den årlige ytelsen?
Annuitet Når vi beregnet oss frem til etterskuddsannuitet av en nåverdi kjente vi en rekke like beløp, men ikke nåverdien Dersom vi snur dette på hodet og anta nåverdien er kjent, kan vi regne oss frem til den periodiske betalingen
Annuitetslån årlig ytelse Bruk rentetabell 4 for å finne den inverse annuitetsfaktoren A -1 n,i A -1 5,10 = 0,2638, det vil si at den årlige ytelsen blir 100 000 0,2638 = 26 380 Avdragsdelen øker med en faktor lik rentesatsen (her 10 %), mens rentedelen blir tilsvarende redusert
Annuitetslån Kr 100 000, 10 % rente, 5 års løpetid År Rente Avdrag Årlig ytelse Restlån UB 1 10 000,00 26 379,75 2 3 4 5 Lån -100 000 Rente 10 % Ytelse 26 379,75
Annuitetslån Kr 100 000, 10 % rente, 5 års løpetid År Rente Avdrag Årlig ytelse Restlån UB 1 10 000,00 16 379,75 26 379,75 83 620,25 2 8 362,03 18 017,72 26 379,75 65 602,53 3 6 560,25 19 819,50 26 379,75 45 783,03 4 4 578,30 21 801,44 26 379,75 23 981,59 5 2 398,16 23 981,59 26 379,75 0,00 Lån -100 000 Rente 10 % Ytelse 26 379,75
Annuitetslån - rentedel reduseres Rente Avdrag 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 1 2 3 4 5
Nåverdi av uendelig annuitet og vekstrekke Hvis du mottar kr 20 000 pr. år all fremtid, hva er dette beløpet verdt i dag hvis renten er 5 % Årlig beløp: CF, rente: i PV = CF/i, her 20 000/0,05 = 400 000 Hva hvis det utbetalte beløp vokser med 2 % pr. år (g = 0,02) PV = CF/(i g) PV = 20 000/(0,05 0,02) = 666 667
Nåverdi av endelig vekstrekke Anta at du skal betale kr 36 000 om ett år, og at dette beløpet vil vokse med 2 % pr. år deretter i 5 år, hva blir nåverdien hvis renten er 5 % År 1 2 3 4 5 Sum Betaling 36 000 Nåverdi - - - - -
Nåverdi av endelig vekstrekke Anta at du skal betale kr 36 000 om ett år, og at dette beløpet vil vokse med 2 % pr. år deretter i 5 år, hva blir nåverdien hvis renten er 5 % År 1 2 3 4 5 Sum Betaling 36 000 36 720 37 454 38 203 38 968 187 345 Nåverdi 34 286 33 306 32 355 31 430 30 532 161 909 n n 5 (1+ i) (1+ g) (1+ 0,05) PV = CF = 36 000 n 5 (1+ i) (i g) (1+ 0,05) = 36 000 4,49746 = 161909 5 (1+ 0,02) (0,05 0,02)
Bruk av rentetabeller Rentetabeller Sluttverdi Nåverdi Årlig ytelse Et beløp Rentetabell 1 Rentetabell 2 Flere beløp - ulike Rentetabell 1 Rentetabell 2 Flere beløp - like Rentetabell 5 Rentetabell 3 Rentetabell 4
Litteraturliste Bredesen, I.: Investering og finansiering. Oslo: Gyldendal akademisk, 2001, Kap 4. Kjell Gunnar Hoff: Grunnleggende bedriftsøkonomisk analyse, 2002, Universitetsforlaget Øyvind Bøhren & Per Ivar Gjærum: Prosjektanalyse, 1999, Skarvet Forlag
Oppgaver neste uke Oppgave 10, 11 og 13 i boken (IB)