ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken og er kun ment som et utfyllende notat til Kapittel 12 (og slutten på Ÿ 10.4 og begynnelsen på Ÿ 13.1.) 1. Definisjon av grenser (Ÿ 1.5 og Ÿ 12.2) Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner f denert på (delmengder av) R n. Dette vil si at denisjonsmengden til funksjonen, D(f) = {x f(x) er denert}, er en delmengde av R n, m.a.o. D(f) R n, og verdimengden V (f) = {f(x) x D(f) er en delmengde av R, m.a.o. V (f) R. For en slik funksjon f med denisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R n R. Vi vil nå generalisere grensebegrepet vi kjenner fra tilfellet n = 1. Vi starter med å repetere denisjonen i dette tilfellet. La c D(f) R. Husk at når vi snakker om grensen når x c, krever vi at funksjonen er denert på begge sider av c, men ikke nødvendigvis i c (slik at vi virkelig kan nærme oss c innenfor denisjonsmengden D(f) til funksjonen f); vi utvider dessuten grensebegrepet også til tilfeller der f er denert kun på den ene siden av c (f.eks. D(f) = (a, c) eller (c, b)) og snakker da gjerne om ensidige grenser. Felles er altså at f ihvertfall er denert på den ene siden av c. Det tilfellet vi ønsker å unngå, og der det ikke gir mening å snakke om grenser, er tilfellet der c er et isolert punkt i denisjonsmengden D(f). Et eksempel på dette er funksjonen i én variabel (1.1) f(x) = x, D(f) = {0} [1, 2]. Vi er vel alle enige om at grensen til f når x nærmer seg null ikke gir mening. I dette tilfellet sier vi at 0 er et isolert punkt i denisjonsmengden. Den formelle denisjonen kommer i Denisjon 1.1 rett under. Det er praktisk å formalisere disse begrepene og gi små intervall rundt c egne navn. De enkleste slike er intervaller av like stor lengde på begge sider av c: Denisjon 1.1. La c R. En omegn 1 om c er et intervall på formen (c δ, c + δ) for en δ > 0. Merk at vi også kan skrive dette som (1.2) (c δ, c + δ) = {x R x c < δ} = {x R avtanden mellom x og c er < δ}. Versjon datert 27.02.12. 1 På engelsk er dette neighborhood, se slutten av Ÿ 10.2 i læreboken. 1

2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN La D R være en delmengde (eksempelvis denisjonsmengden til en funksjon). Vi sier at c er et isolert punkt i D dersom det nnes en omegn (c δ, c+δ) slik at (c δ, c+δ) D = {c}, dvs. slik at omegnen inneholder kun c innenfor D. Hvis c ikke er et isolert punkt i D, sier vi at c D er et ikke-isolert punkt. Slike punkter har egenskapen at enhver omegn om c inneholder punkter i D utenom c. I Eksempel (1.1) er 0 et isolert punkt i D(f), siden det nnes omegner rundt 0, feks. ( 1 2, 1 2 ), som kun inneholder 0 i denisjonsmengden. Vi kan nå gi denisjonen av begrepet grense for ikke-isolerte punkter, som også inkluderer begrepene høyresidig og venstresidig grense. Denisjon 1.2. La f : D(f) R R og c D(f) være et ikke-isolert punkt. Vi sier at grensen til f er L når punktet x nærmer seg punktet c (uttrykt som f(x) = x c L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som avhenger av ɛ) slik at { } (1.3) x D(f) og 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. (Denne denisjonen inkluderer også begrepene høyresidig og venstresidig grense, fordi vi har med betingelsen om at x D(f). Hvis f.eks. D(f) = [a, c] vil betingelsen x D(f) og 0 < x c < δ bety c δ < x < c.) Merk at betingelsen 0 < x c < δ kan skrives som x (c δ, c+δ)\c, der tegnet \ betyr bortsett fra. Vi merker hvorfor denisjonen ikke gir mening hvis c er et isolert punkt. For slike punkter vil det nnes en δ som er slik at (c δ, c + δ) D(f) = {c}, slik at det ikke nnes x som tilfredsstiller betingelsen x D(f) og 0 < x c < δ. Betingelsen(1.3) vil derfor trivielt være oppfylt for isolerte punkter, for en hvilken som helst L. Denisjonen stemmer med det vi forbinder med grenser rent intuitivt: Vi kan sørge for at (1.4) f(x) er så nær vi vil L så lenge (1.5) x er nær nok c (men x c). Matematisk uttrykkes (1.4) og (1.5) ved hjelp av avstander som (1.6) f(x) L < ɛ (for en vilkårlig gitt ɛ) så lenge (1.7) 0 < x c < δ (for en δ vi nner, gitt ɛ). Se Figur 1. Vi tar utgangspunkt nettopp i avstandsbegrepet når vi nå generaliserer grensebegrepet til en funksjon f med D(f) R n for n 2. Punktene x og c i Denisjon 1.2 er nå punkter (x 1,..., x n ) og (c 1,..., c n ) i rommet R n. Vi uttrykker gjerne n-tuplet av deres koordinater med fet skrift (som for vektorer, siden vi kan se på punkter i R n nettopp som vektorer): (1.8) x = (x 1,..., x n ) og c = (c 1,..., c n ). Det eneste som gjenstår å modisere (dvs. generalisere) i Denisjonene 1.1 og 1.2 er nå avstanden mellom x og c. For x, c R er dette enkelt og greit x c, mens for x = (x 1,..., x n ) og c = (c 1,..., c n ) er avstanden gitt ved (1.9) d(x, c) := (x 1 c 1 ) 2 + + (x n c n ) 2 (se Ÿ 10.1 i læreboken). Vi generaliserer først begrepene omegn og isolert punkt:

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 3 Figur 1. f(x) ligger mellom L ɛ og L + ɛ når punktet x er i avstand < δ fra c. Denisjon 1.3. La c R n. En omegn om c er en mengde på formen B δ (c) := {x R n d(x, c) < δ}, for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c. La D R n være en delmengde (eksempelvis denisjonsmengden til en funksjon). Vi sier at c er et isolert punkt i D dersom det nnes en omegn B δ (c) slik at B δ (c) D = {c}, dvs. slik at omegnen inneholder kun c innenfor D. Hvis ikke, sier vi at c er et ikke-isolert punkt. Slike punkter har egenskapen at enhver omegn om c inneholder punkter i D utenom c. Eksempel 1.4. For n = 1, med x = x og c = c er B δ (c) = (c δ, c + δ). For n = 2 er B δ (c) det indre av en sirkel med radius δ om c, som vist i xy-planet i Figur 2 under. For n = 3 er B δ (c) det indre av en ball med radius δ om c, osv. Av denne grunnen kalles mengdene B δ (c) også åpne baller. Denisjonen av grense blir da, med notasjonen (1.8): Denisjon 1.5. La f : D(f) R n R og c D(f) være et ikke-isolert punkt. Vi sier at grensen til f er L når punktet (x 1,..., x n ) nærmer seg punktet (c 1,..., c n ) (uttrykt som f(x) = L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som x c avhenger av ɛ) slik at { } (1.10) x D(f) og 0 < d(x, c) < δ = f(x) L < ɛ (hvor d(x, c) er som i (1.9)). I tilfellet n = 2, får vi denisjonen i læreboken, nærmere bestemt Denisjon 2 i Ÿ 12.2. (når vi skriver x = (x, y) og c = (a, b)): Denisjon 1.6. La f : D(f) R 2 R og (a, b) D(f) være et ikke-isolert punkt 2. Vi sier at grensen til f er L når punktet (x, y) nærmer seg punktet (a, b) (uttrykt som f(x, y) = L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som (x,y) (a,b) 2 At (a, b) er ikke-isolert er betingelse (i) i denisjonen i læreboken.

4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN avhenger av ɛ) slik at { (1.11) (x, y) D(f) og 0 < } (x a) 2 + (y b) 2 < δ = f(x) L < ɛ. Figur 2 er generaliseringen av Figur 1 til n = 2 og viser geometrisk hva som skjer. Figur 2. f(x, y) ligger mellom L ɛ og L + ɛ når punktet P (x, y) er i avstand < δ fra P 0 (a, b). Vi merker til slutt at dersom vi fjerner punktet c i B δ (c), da får vi mengden i (1.10) i Denisjon 1.5, som vi betegner som 3 (1.12) B δ (c) := B δ (c) \ {c} = {x R n d(x, c) < δ og x c} = {x R n 0 < d(x, c) < δ}. Disse mengdene har også fått egne navn Denisjon 1.7. La c R n. En punktert omegn 4 om c er en mengde på formen som i (1.12) for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c utenom punktet c selv. Uttrykket (1.10) i Denisjon 1.5 kan altså skrives som: (1.13) x B δ (c) D(f) = f(x) B ɛ (L). 2. Definisjon av kontinuitet (Ÿ 12.2) Som i én-variabeltilfellet, denerer vi en funksjon f : D(f) R n R til å være kontinuerlig i et ikke-isolert punkt c D(f) dersom grensen er lik funksjonsverdien, dvs. f(x) = f(c). x c Denne denisjonen er mer enn god nok til våre formål. La oss imidlertid for moro skyld bemerke at dersom vi setter dette sammen med den formelle denisjonen 1.5, da får vi den formelle denisjonen på kontinuitet: Denisjon 2.1. La f : D(f) R n R og c D(f). Vi sier at f er kontinuerlig i c hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som avhenger av ɛ) slik at { } (2.1) x D(f) og d(x, c) < δ = f(x) f(c) < ɛ. 3 Husk at tegnet \ betyr bortsett fra. 4 På engelsk er dette punctured neighborhood, men står ikke nevnt i læreboken.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 5 Merk at dersom d(x, c) = 0, vil x = c, slik at f(x) f(c) = 0 < ɛ er trivielt oppfylt. Det gjør at vi ikke trenger å ha med ulikheten 0 < d(x, c) i (2.1) i Denisjon 2.1. Merk også at denisjonen fungerer like godt for isolerte punkter i denisjonsmengden, og gir at f automatisk er kontinuerlig i isolerte punkter. Dette fordi det vil nnes en δ slik at eneste punkt som oppfyller x D(f) og d(x, c) < δ er c, slik at f(x) f(c) = 0 < ɛ automatisk er oppfylt. Det kan virke snålt at funksjonen i (1.1) er kontinuerlig i null, men slik er det altså per denisjon. Slike snåle egenskaper vil imidlertid ikke ha noen betydning for oss. Kontinuitet og grenser i isolerte punkter er ikke interessante, og vi kommer ikke til å se noe mer på isolerte punkter. Vi ser ellers at uttrykket (2.1) i Denisjon 2.1 kan skrives som: (2.2) x B δ (c) D(f) = f(x) B ɛ (f(c)) (sammenlign med (1.13)). Begrepet uniform kontinuitet har også sin helt naturlige generalisering til ere variable, men vi kommer ikke til å gå inn på det i dette kurset. Generelt kan alle begrepene som involverer grenser og kontinuitet deneres på funksjoner mellom mengder som har et avstandsbegrep, dvs. der vi kan måle avstand mellom punkter. Slike mengder kalles metriske rom, og studeres i ethvert innføringskurs i reell analyse 5. 3. Egenskaper ved grenser og kontinuerlige funksjoner (Ÿ 12.2) Siden Denisjon 1.5 er en rett frem generalisering av denisjonen for n = 1, og involverer egentlig kun den endringen at vi snakker om avstander mellom punkter i R n istedenfor i R, vil bevisene for entydighet av grenser, grensesetningene, skviseteoremet og grenser av sammensatte funksjoner fra (oppgavene) i Ÿ 1.5 i læreboken fungere (med de opplagte endringene). Vi oppsummerer egenskapene her: Teorem 3.1. (Entydighet av grenser) La f : D(f) R n R og c D(f) et ikke-isolert punkt. Grenser er entydige, dvs. at dersom f(x) = L og f(x) = M, da er L = M. x c x c Teorem 3.2. (Grensesetningene) La f : D(f) R n R, g : D(g) R n R og anta at c D(f) D(g) er et ikke-isolert punkt. Anta at begge grensene f(x) og g(x) eksisterer og k R. Da gjelder: x c x c ( ) (i) f(x) ± g(x) = f(x) ± g(x); x c x c x c ( )( ) (ii) f(x)g(x) = f(x) g(x) ; x c x c x c f(x) f(x) (iii) x c g(x) = x c g(x) ; x c (iv) kf(x) = k f(x); x c ) x c m/n ( = ( (iv) f(x) x c x c f(x) ) m/n (hvor uttrykkene er denert). Teorem 3.3. (Skviseteoremet) Anta at grensene f(x), g(x) og h(x) eksisterer x c x c x c og at f(x) g(x) h(x) for alle x i en punktert omegn 6 om et punkt c. 5 Her i Bergen dreier det seg om høstkurset MAT211-Reell analyse. 6 Se Def. 1.7.

6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Da vil f(x) g(x) h(x). x c x c x c Teorem 3.4. (Grenser av sammensetninger) La f : D(f) R n R slik at x c f(x) = L og F : D(F ) R R slik at L D(F ) og F er kontinuerlig i L. Da vil F (f(x)) = F ( f(x)) = F (L). x c x c Spesielt gir Teoremene 3.2 og 3.4 sammen med denisjon av kontinuitet at summer, dieranser, produkter, kvotienter og sammensetninger av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige (på sin denisjonsmengde), på nøyaktig samme måte som i én-variabeltilfellet: Teorem 3.5. (Kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner) La f : D(f) R n R og g : D(g) R n R være kontinuerlige funksjoner. Da vil funksjonene f + g, f g, fg, f/g og f m/n, for m, n Z, være kontinuerlige funksjoner på sin denisjonsmengde. Teorem 3.6. (Sammensetninger av kontinuerlige funksjoner) La f : D(f) R n R og F : D(F ) R R være kontinuerlige funksjoner. Da vil den sammensatte funksjonen 7 F f (denert ved at F f(x) = F (f(x))) være kontinuerlig på sin denisjonsmengde. La oss (som i én-variabeltilfellet) begynne med å nne grenser (og dermed vise kontinuitet) for de enkleste funksjonene. I én-variabeltilfellet gjelder dette funksjonene f(x) = x og f(x) = k (konstant). I ere variable gjelder det koordinatfunksjonene f(x) = f(x 1,..., x n ) = x i for hver i = 1,..., x n og konstante funksjoner f(x) = f(x 1,..., x n ) = k. Dette nevnes ikke i læreboken. For ikke å henge oss opp i for mye notasjon, vil vi fra nå av konsentrere oss om tilfellet n = 2 og bruke koordinatene x og y, som vanlig. Teorem 3.7. Funksjonene f(x, y) = x, g(x, y) = y og h(x, y) = k (konstant) er alle kontinuerlige, dvs. at for alle (a, b) R 2. x = a, (x,y) (a,b) y = b, (x,y) (a,b) k = k, (x,y) (a,b) Bevis. Vi ser først på funksjonen f(x, y) = x. Gitt ɛ > 0, da lar vi δ = ɛ. Dersom vi har at 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ, da vil f(x, y) f(a, b) = x a = (x a) 2 (x a) 2 + (y b) 2 < δ = ɛ, som viser at f(x, y) = f(a, b) = a. (x,y) (a,b) Beviset for at g(x, y) = g(a, b) = b er (nesten) helt likt. (x,y) (a,b) Til slutt ser vi på h(x, y) = k. Gitt ɛ > 0, da kan vi velge en hvilken som helst δ > 0, siden f(x, k y) f(a, b) = k = 0 for alle (a, b) R 2. 7 Den sammensatte funksjonen F f er denert for alle x R n slik at f(x) D(F )

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 7 Et polynom i to variable x og y er en endelig sum av ledd på formen cx k y l, der c R og k, l N. En rasjonal funksjon i to variable x og y er en kvotient av polynomer i to variable x og y. Ved hjelp av teoremene over, kan vi konkludere at alle polynomer og rasjonale funksjoner i to variable er kontinuerlige på sin denisjonsmengde. Og ikke nok med det: siden alle potensfunksjoner (inkludert alle røtter) er kontinuerlige, vil også alle potenser av og uttrykk som innholder potenser av polynomer og rasjonale funksjoner være kontinuerlige. Det samme gjelder når vi lager funksjoner med x og y som involverer funksjoner av én variabel som vi vet er kontinuerlige, som de trigonometriske og deres inverser, logaritme- og eksponensialfunksjonen. Alle slike funksjoner vi være kontinuerlige i sin denisjonsmengde slik at alle grenser nnes ved direkte innsetting. Eksempler på dette er gitt i Eksempel 1-2 i Ÿ 12.2 i læreboken. Alle funksjonene der er kontinuerlige på sine denisjonsområder. La oss se på noen litt annerledes (og dypere!) eksempler der vi bruker resultatene over. (Forsøk gjerne på oppgavene selv først. Dette er oppgaver som ikke har blitt gjennomgått på forelesning.) Eksempel/Oppgave 3.8. Er funksjonen f : R 2 R gitt ved { ( ) x cos 1 + y f(x, y) = x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) kontinuerlig? Løsning. Denisjonsområdet til funksjonen x cos ( 1 x 2 +y 2 ), og dermed også til funksjonen ( ) x cos 1 + x 2 +y 2 y, er hele R 2 bortsett fra origo. I denisjonsområdet er funksjonen kontinuerlig, ved Teoremene 3.5 og 3.6, siden x, 1 x 2 +y 2, cos t og y er kontinuerlige funksjoner. I origo er f denert til å være null. ( Vi undersøker først grensen x cos 1 ) x 2 + y 2. Vi har, for alle (x, y) 0, ( 1 ) cos 1, x 2 + y 2 slik at ( x 1 ) x, cos x 2 + y 2 hvilket gir ( 1 ) x x cos x 2 + y 2 x, slik at Skviseteoremet 3.3 gir at ( x cos 1 ) x 2 + y 2 = 0. Dermed er (ved Teorem 3.2(i)): ( f(x, y) = x cos 1 ) x 2 + y 2 + y = 0 + 0 = 0 = f(0, 0). Følgelig er f også kontinuerlig i origo, og dermed er f kontinuerlig overalt. Eksempel/Oppgave 3.9. Finn grensen om den eksisterer. (x,y) (2,0) 1 cos y xy 2,

8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Løsning. Vi observerer at funksjonen 1 cos y xy 2 er et produkt av funksjonene 1 x er funksjoner av én variabel som vi kjenner grensen til. Vi har nemlig og 1 (x,y) (2,0) x = 1 x 2 x = 1 2 1 cos y (x,y) (2,0) y 2 = y 0 1 cos y y 2 = 1 2, 1 cos y og y 2, som ved l'hôpital 8. Ved produktregelen for grenser i Teorem 3.2 nner vi 1 cos y ( 1 )( 1 cos y ) (x,y) (2,0) xy 2 = (x,y) (2,0) x (x,y) (2,0) y 2 = 1 2 1 2 = 1 4. Eksempel/Oppgave 3.10. Betrakt funksjonen g(x, y) = sin(xy2 ) xy. (a) Hva er denisjonsmengden til g? (b) Har funksjonen en kontinuerlig utvidelse til hele R 2? Løsning. (a) Denisjonsmengden er alle (x, y) slik at xy 0, dvs. slik at både x 0 og y 0: D(f) = {(x, y) R 2 x 0 og y 0.} (Dette er hele R 2 bortsett fra koordinataksene.) (b) Spørsmålet er: Finnes det en funksjon G denert på hele R 2 som er slik at G = g på D(g). Dette er tilfellet hvis og bare hvis funskjonen g har veldenerte grenseverdier inn mot ethvert punkt utenfor D(g). Ved å studere funksjonsuttrykket, ser vi at vi kan skrive g(x, y) = y sin(xy2 ) (xy 2 ) og aner derfor at problemet kan løses ved hjelp av grensen til en velkjent funksjon i én sin t variabel, nemlig = 1. Dette betyr nemlig at funksjonen t 0 t { sin t F (t) = t når t 0, 1 når t = 0 er kontinuerlig på hele R. Siden funksjonen f(x, y) = xy 2 er kontinuerlig (ved Teoremene 3.2(ii) og 3.7), er den sammensatte funksjonen { sin(xy 2 ) F (f(x, y)) = F (xy 2 ) = xy 2 når xy 2 0, 1 når xy 2 = 0 kontinuerlig ved Teorem 3.6. Merk at xy 2 = 0 x = 0 eller y = 0. Funksjonen G(x, y) = yf (x, y) er kontinuerlig ved Teorem 3.2(ii), og kan uttrykkes som { sin(xy 2 ) G(x, y) = xy når x 0 og y 0, y når x = 0 eller y = 0. Dette er derfor en kontinuerlig utvidelse av g til hele R 2. 8 Merk at vi her bruker l'hôpital på en funksjon av én variabel. Det nnes ikke en tilsvarende regel for funksjoner av ere variable.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 9 Som i én-variabeltilfellet vil altså utfordringen i å nne grenser ligge i å nne grenser inn mot punkter der funksjonen ikke er denert, eller der funksjonsuttrykket er delt. Noen eksempler på dette er gitt i læreboken og vi skal se på noen ere i neste seksjon, samtidig som vi oppsummerer knepene vi bruker. 4. Å beregne grenser og avgjøre kontinuitet (Ÿ 12.2) Vi nevner først noen standardknep vi kan bruke for å vise at en grense ikke eksisterer eller for å nne en grense hvis vi ikke klarer å bruke grensesetningene direkte. Vi kommer til å konsentrere oss om grenser inn mot origo, siden alle andre grenser kan behandles likedan ved et koordinatskifte. Vi starter med å merke at Denisjon 1.6 sier at dersom f(x, y) = L, da må f (x,y) (a,b) nærme seg L uansett hvordan (x, y) nærmer seg punktet (a, b) innenfor denisjonsmengden D(f). F.eks. må grensen være den samme når vi nærmer oss (a, b) langs de rette linjene x = a, y = b og mer generelt langs alle andre kurver i planet. Substituerer vi inn i uttrykket for f(x, y) får vi en funksjon av én variabel, som er lettere å håndtere. Dette gir oss en måte å vise at en grense ikke eksisterer: Knep 4.1. (To-kurve-testen for ikke-eksistens av grense.) Dersom f nærmer seg to forskjellige verdier når (x, y) nærmer seg (a, b) langs to forskjellige kurver innenfor denisjonsmenden til f, da kan ikke grensen f(x, y) eksistere. (x,y) (a,b) Fornuftige kurver å bruke når (a, b) = (0, 0) kan være x-aksen (hvor f(x, y) = f(x, 0)) og y-aksen (hvor f(x, y) = f(0, y)), eller generelt rette linjer parabler y = kx, x = ly, y = kx 2, x = ly 2, osv. Utgangspunktet er at vi velger kurver (=uttrykk i x og y) som gir oss et enklere uttrykk for f(x, y). Dette knepet brukes i Eksemplene 3-4 i Ÿ 12.2 i læreboken. Å sjekke grensen langs kurver kan uansett være nyttig selv om vi ikke får forskjellige verdier: dersom vi sjekker mange kurver og får hele tiden samme grense L, kan vi begynne å ane at dette kan være grensen. Deretter kan vi forsøke å vise at grensen er L ved andre metoder, eksempelvis Knep 4.3 under. Det neste knepet vi kan bruke, når vi undersøker grenser inn mot origo, både til å vise eksistens og ikke-eksistens, er å omforme til polare koordinater ved x = r cos θ og y = r sin θ, med r > 0. At (x, y) (0, 0) er ekvivalent med at r 0 +, og grensen vi får kan være enklere å sjekke. Knep 4.2. (Omforming til polare koordinater.) Sett x = r cos θ og y = r sin θ og undersøk grensen f(r cos θ, r sin θ). Dersom denne nnes (uavhengig av θ), vil den være lik r 0 + f(x, y), og dersom denne avhenger av θ, vil f(x, y) ikke eksistere (siden f da nærmer seg forskjellige verdier når vi nærmer oss origo i forskjellige retninger gitt ved vinkelen θ). Dette knepet kan være spesielt lurt dersom uttrykket x 2 + y 2 forekommer, siden dette blir til r 2 ved omforming.

10 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette knepet står ikke nevnt i læreboken. Det er litt synd, fordi det kan være enkelt å bruke. Vær imidlertid obs på at dette knepet ikke alltid gir oss et svar (se Eksempel/Oppgave 4.8 under). Til slutt nevner vi et annet knep som kan brukes til å vise at en grense eksisterer, brukt i læreboken i Eksempel 5 i Ÿ 12.2. Dersom vi har grunn til å tro at f(x, y) = L (f.eks. (x,y) (a,b) ved at vi har sjekket grensen langs spesielle kurver inn mot (a, b)), kan vi forsøke å vise at uttrykket f(x, y) L er mindre enn et uttrykk som går mot null: Hvis f(x, y) L g(x, y) ( ) og g(x, y) = 0, da vil også f(x, y) L = 0 ved Skviseteoremet 3.3. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (Eventuelt kan vi bruke Denisjon 1.6 direkte: gitt ɛ > 0, da vil den δ > 0 som fungerer for g(x, y) fungerer også for f(x, y).) Dette knepet er det vi i praksis brukte i Eksempel/Oppgave 3.8. Knep 4.3. (Skvis under en funksjon som går mot null.) Dersom f(x, y) L g(x, y) (i en punktert omegn 9 om (a, b)) og g(x, y) = 0, da vil f(x, y) = L. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) La oss se på noen eksempler i tillegg til Eksemplene 3-5 i Ÿ 12.2 i læreboken. Eksempel/Oppgave 4.4. Vurdér om grensen x x 2 + y 2 eksisterer. (Se guren under.) Løsning. Vi setter x f(x, y) = x 2 + y. 2 Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil, for r > 0, når vi bruker at cos 2 θ + sin 2 θ = 1: r cos θ cos θ (4.1) f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = = r = cos θ, r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ r som avhenger av θ (og antar alle verdier mellom 1 og 1 uansett hvor liten r er). Derfor vil grensen ikke eksistere. (Hvis f.eks. θ = 0, dvs. langs den positive x-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 1; hvis θ = 0, dvs. langs den negative x-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 1; og hvis θ = π 2, 3π 2, dvs. langs y-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 0. Dette ser vi tydelig i guren under.) Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi sjekker grensen langs kurver gjennom origo. Vi starter gjerne med de enkleste kurvene vi kommer på, nemlig linjer gjennom origo, som har formen y = kx. I dette tilfelle ser vi at dette er en god idé også fordi uttrykket i nevner blir spesielt enkelt når vi setter inn y = kx: x f(x, kx) = x 2 + (kx) = x 2 x 1 + k = ± 1 2 1 + k 2, avhengig av fortegnet til x, og dette uttrykket avhenger klart av k, dvs. av stigningen til linjen gjennom origo. Grensen f(x, y) kan derfor ikke eksistere. 9 Se Def. 1.7.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 11 Vi kunne også sjekket kun langs de to koordinataksene x = 0 og y = 0. Langs y-aksen (utenom origo) har vi f(0, y) = 0 y 2 = 0, mens vi langs x-aksen (utenom origo) har { f(x, 0) = x = 1 hvis x > 0 x 2 1 hvis x < 0, slik at vi har funnet tre forskjellige grenser om vi nærmer oss origo langs y-aksen (grense 0), langs den positive x-aksen (grense 1) og langs den negative x-aksen (grense 1). Dette ser vi tydelig i guren under. Som vi ser, kan altså problemet løses på ere måter. Figur 3. Grafen til f(x, y) = x. x 2 +y 2 Eksempel/Oppgave 4.5. Hva er denisjonsmengden til f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2? Vurdér om f har en kontinuerlig utvidelse til hele R 2. (Se guren under.) Løsning. Vi ser med en gang at f er denert overalt bortsett fra i origo, dvs. at svaret på første del er D(f) = R 2 \ {(0, 0)}. På sin denisjonsmengde er f en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner, slik at den er kontinuerlig. For å vurdere om f har en kontinuerlig utvidelse til origo, må vi nne ut om f(x, y) eksisterer. (Oppgaven kunne også ha vært formulert slik, men noen ganger liker vi å formulere oppgaver slik at vi sjekker ere sider av forståelsen.) Igjen kan dette løses på ere måter. Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil, for r > 0, f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = 2(r cos θ)(r sin θ)(r2 cos 2 θ r 2 sin 2 θ) r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 2r4 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) r 2 = 2r 2 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ).

12 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN (Igjen har vi brukt cos 2 θ + sin 2 θ = 1). Dette siste uttrykket 0 når r 0 uansett θ, slik at f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = r 0 + r 0 2r2 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) = 0. + Følgelig vil funksjonen F (x, y) = { f(x, y) når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) være en kontinuerlig utvidelse av f til hele R 2. Ved å sjekke grensen langs kurver først og så bruke skviseteknikken: Vi skal nne ut av om grensen f(x, y) eksisterer. Langs rette linjer gjennom origo, på formen y = kx, har vi at f(x, kx) = 2x(kx)(x2 (kx) 2 ) x 2 + (kx) 2 = 2kx 2 x2 (1 k 2 ) 1 k2 x 2 (1 + k 2 = 2kx2 ) 1 + k 2 som 0 når x 0 uansett k. Vi kan nå fortsette ved å forsøke å sjekke langs y = kx m for m 2, men får alltid samme svar. Vi begynner derfor å ane at grensen kanskje er null og skriver uttrykket som en dieranse og bruker Knep 4.3: f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) = 2x 3 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x 3 y 2xy 3 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x3 y 2xy3 x 2 + y 2 2xy 3 + x 2 y 2 = 2xy + 2xy = 4xy 0 når (x, y) (0, 0). Som forklart i Knep 4.3 (f.eks. ved Skviseteoremet 3.3), vil dette medføre at 0, som vist over. f(x, y) = Figur 4. Grafen til f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) x 2 +y 2.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 13 Bemerkning 4.6. Funksjonen F (x, y) = { 2xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) skal vi se litt mer på i Oppgave 16 i Ÿ 12.4 i læreboken. Den har nemlig den spesielle egenskapen at de to høyere ordens partielt deriverte F 12 og F 21 tilfredsstiller F 12 (0, 0) F 21 (0, 0). Dette skjer ikke for tilstrekkelig pene funksjoner: Husk Teorem 1 i Ÿ 12.4, som sier i to-variabeltilfellet at f 12 (a, b) = f 21 (a, b) dersom f 1 og f 2 er kontinuerlige i en omegn om (a, b) og f 12 og f 21 er kontinuerlige i (a, b). Eksempel/Oppgave 4.7. Vurdér om eksisterer. (x y) 2 x 2 + xy + y 2 Løsning. Vi setter (x y)2 f(x, y) = x 2 + xy + y 2. Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = 1 2 cos θ sin θ 1 + cos θ sin θ, som helt klart vil variere når θ varierer (selv om r 0, siden r ikke dukker opp i uttrykket), slik at grensen f(x, y) ikke eksisterer. Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi ser etter kurver (eller om vi vil, etter substitusjoner av x og y) som gir opplagte grenser. F.eks. ser vi med en gang at dersom y = x, så vil f(x, x) = 0 = 0 (utenfor origo) 3x2 slik at f nærmer seg 0 når vi nærmer oss origo langs kurven y = x. Imidlertid vil vi når y = 0 ha f(x, 0) = x2 x 2 = 1, slik at f nærmer seg 1 når vi nærmer oss origo langs kurven y = 0, dvs. x-aksen. Følgelig vil f(x, y) ikke eksistere. I alle eksemplene over fungerte de polare koordinatene godt. Dette er dessverre ikke alltid tilfellet, som neste eksempel viser. Eksempel/Oppgave 4.8. Vurdér om eksisterer. (Se guren under.) xy 2 x 2 + y 4 Løsning. Vi setter f(x, y) = xy2 x 2 + y 4.

14 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = (r cos θ)(r sin θ)2 (r cos θ) 2 + (r sin θ) 4 = r 3 cos θ sin 2 θ r 2 (cos 2 θ + r 2 sin 4 θ) r cos θ sin 2 θ = cos 2 θ + r 2 sin 4 θ. Dette uttrykket vil 0 når r 0, såfremt ikke cos θ 0, samtidig, dvs. at θ ± π 2. Hvis dette er tilfellet, kan vi ikke si hva som skjer. (Husk at vi må sjekke at grensen er den samme uansett θ). Denne fremgangsmåten fungerer dessverre ikke, dvs. vi klarer hverken å vise at grensen nnes og er uavhengig av θ, ei heller at grensen faktisk avhenger av θ. Ved å sjekke grensen langs kurver: Prøver vi med linjer x = ly får vi f(ly, y) = ly 3 l 2 y 2 + y 4 = ly l 2 + y 2, som vil 0 når y 0. Det samme skjer langs linjen y = 0. Vi kan kanskje bli fristet til å tro at grensen skal være null og sløse bort masse tid på å vise dette. Imidlertid bør vi heller se mer på funksjonsuttrykket for å se om det nnes kurver langs hvilke funksjonsuttrykket til f forenkles. Et viktig spor kommer av at uttrykket inneholder y med doble potenser i forhold til x. Vi forsøker derfor med å sette x = ly 2, dvs. å sjekke grensen langs parabler istedenfor rette linjer: (4.2) f(ly 2, y) = ly 4 l 2 y 4 + y 4 = l l 2 + 1, og vi ser at grensen når (x, y) 0 langs x = ly 2 avhenger av l. (Ta en titt på guren under. Langs f.eks. x = y 2, dvs. for l = 1, gir (4.2) at f(x, y) = 1 2 utenom origo, og nærmer seg derfor z = 1 2 på z-aksen, som vi tydelig ser. Langs f.eks. x = 0 (som er y-aksen), dvs. for l = 0, gir (4.2) at f(x, y) = 0 utenom origo, og nærmer seg derfor z = 0 på z-aksen, som vi også ser.) Følgelig eksisterer ikke grensen f(x, y). Så moralen er: Let etter kurver som gjør at funksjonsuttrykket, etter forkortninger/forenklinger, blir enkelt, f.eks. en konstant, som i dette tilfellet. Figur 5. Grafen til f(x, y) = xy2 x 2 +y 4.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 15 5. Noen eksempler med partielt deriverte (Ÿ 12.3), retningsderiverte (Ÿ 12.7) og derivérbarhet (Ÿ 12.6) Vi henviser til læreboken for denisjon av partielt deriverte (Ÿ 12.3), retningsedriverte (Ÿ 12.7) og derivérbarhet (Ÿ 12.6). Som med grenser og kontinuitet ligger det en ekstra utfordring i å beregne og vurdere disse begrepene i spesielle punkter der funksjonen skifter uttrykk. Læreboken gir noen oppgaver om dette, men mangler eksempler. Vi skal derfor se på et par eksempler, der vi bruker noen av funksjonene fra forrige seksjon og lar igjen det spesielle punktet være origo. Eksempel/Oppgave 5.1. La F (x, y) = { xy 2 x 2 +y 4 når (x, y) (0, 0), 0 når (x, y) = (0, 0). (i) Avgjør hvor F er kontinuerlig. (ii) Finn de partielt deriverte F 1 (x, y) og F 2 (x, y). (iii) Finn den retningsderiverte i origo i en vilkårlig retning gitt ved en enhetsvektor u = ui + vj. (iv) Er F derivérbar i origo? (v) Er F derivérbar utenfor origo? Løsning. (i) Funksjonen F er denitivt kontinuerlig utenfor origo, siden er en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner. I Eksempel/Oppgave 4.8 viste vi at xy2 x 2 +y 4 xy 2 x 2 + y 4 ikke eksisterer, så F kan ikke være kontinuerlig i origo. (iv) Vi svarer med en gang på spørsmålet om F er derivérbar i origo: Nei, F er ikke derivérbar i origo, siden F ikke er kontinuerlig i origo. Det er et veldig viktig resultat (i to variable som i én variabel) at derivérbarhet medfører kontinuitet (Oppgave 21 i Ÿ 12.6 i lærebokens utg. 7, evt. Oppg. 17 i utg.6, som er pensum). (ii) Utenfor origo er F gitt ved ett uttrykk, slik at vi kan bruke de vanlige derivasjonsreglene (dvs. derivasjon mhp. én av variablene om gangen, der vi betrakter den andre variabelen som en konstant): F 1 (x, y) = xy 2 x x 2 + y 4 = y2 x2 y 4 (x 2 + y 4 ) 2, F 2 (x, y) = xy 2 y x 2 + y 4 = 2xy x2 y 4 (x 2 + y 4 ) 2. Men i origo må vi bruke denisjonen på de partielt deriverte. Per denisjon har vi F 1 (0, 0) = F (h, 0) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0, h 0 h h 0 h h 0 F 2 (0, 0) = F (0, k) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0. k 0 k k 0 k k 0 Uttrykkene for de partielt deriverte blir derfor også delte uttrykk, og er: { y2 (x 2 y 4 ) F 1 (x, y) = (x 2 +y 4 ) 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0)

16 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN og F 2 (x, y) = { 2xy(x 2 y 4 ) (x 2 +y 4 ) 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). Merk spesielt at begge de partielt deriverte eksisterer i origo, selv om F ikke er kontinuerlig der. Dette kan komme som en overraskelse når man sammenligner med én-variabeltilfellet. Men vi må huske på at de partielt deriverte bare måler endringen til funksjonen langs to utvalgte retninger, x-aksen og y-aksen, og er derfor mye mer restriktive i sin denisjon enn begrepet kontinuitet, som tar hånd om alle retninger inn mot punktet. I dette konkrete tilfellet viste vi i Eksempel/Oppgave 4.8 over at F (x, y) = 0 langs både x-aksen og y-aksen, og som nettopp gir at de to retningsderiverte er null. Men dette gir altså ikke et korrekt bilde av funksjonen utenfor x-aksen og y-aksen. (v) Vi kan nå allerede svare på spørsmålet om F er derivérbar utenfor origo uten å måtte bruke denisjonen: det skyldes at begge de partielt deriverte F 1 og F 2 er kontinuerlige funksjoner utenfor origo (siden de er rasjonale funksjoner der). Dette medfører at F er derivérbar utenfor origo (ved Teorem 4 i Ÿ 12.6 i læreboken). At kontinuerlige partielt deriverte i en omegn om et punkt medfører derivérbarhet er igjen et veldig viktig resultat, og er det vi som oftest bruker i praksis for å konkludere at en funksjon er derivérbar i et punkt. (iii) For å nne den retningderiverte kunne det være fristende å bruke Teorem 7 i Ÿ 12.7 i læreboken 10. Dette teoremet kan vi imidlertid ikke bruke, siden F ikke er derivérbar i origo. Vi må bruke denisjonen på retningsderivert. La da u = ui + vj være en enhetsvektor. Da vil F (hu, hv) F (0, 0) D u F (0, 0) = = h 0 + h h 0 + (hu)(hv) 2 (hu) 2 +(hv) 4 h h 2 uv 2 = h 0 + h 2 (u 2 + h 2 v 4 ) = uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4. Her må vi være litt forsiktige. Dersom u 0, har vi uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4 = uv2 u 2 = v2 u. Dersom u = 0, må v = 1, siden u er en enhetsvektor, og vi har uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4 = 0 h 0 + h 2 = 0 = 0. h 0 + (Dette visste vi egentlig allerede, siden u = j og D j F (0, 0) = F 2 (0, 0).) Oppsummerer vi, får vi: { v 2 D u F (0, 0) = u hvis u 0, 0 hvis u = 0. 10 Dette teoremet gir formelen D uf (a, b) = u F (a, b) dersom F er derivérbar i (a, b). I vårt tilfelle ville dette gitt svaret D uf (0, 0) = u F (0, 0) = 0 for alle u, siden F (0, 0) = 0. Men dette er feil svar, som vi vil se.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 17 Eksempel/Oppgave 5.2. La F (x, y) = { 2xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). (Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 4.5.) Finn de partielt deriverte i origo og avgjør om F er derivérbar i origo. Løsning. Vi bruker igjen denisjonen på de partielt deriverte og får F 1 (0, 0) = F (h, 0) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0, h 0 h h 0 h h 0 F 2 (0, 0) = F (0, k) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0. k 0 k k 0 k k 0 Så sjekker vi grensen i denisjonen på derivérbarhet (Denisjon 5 i Ÿ 12.6): F (h, k) F (0, 0) hf 1 (0, 0) kf 2 (0, 0) (h,k) (0,0) h 2 + k 2 F (h, k) 0 0 0 = (h,k) (0,0) h 2 + k 2 2hk(h 2 k 2 ) 0 h = 2 +k 2 (h,k) (0,0) h 2 + k 2 2hk(h 2 k 2 ) = (h,k) (0,0) (h 2 + k 2 ) 3/2. Denne grensen ligner den vi regnet ut i Eksempel/Oppgave 4.5 og kan faktisk regnes ut på samme måte. Også her kan vi innføre polare koordinater h = r cos θ og k = r sin θ og få 2hk(h 2 k 2 ) (h 2 + k 2 ) 3/2 = 2r4 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) r 3 = 2r cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) som 0 når r 0 uansett θ. Vi har dermed vist at F er derivérbar i origo. Vi kunne også brukt Knep 4.3 for å beregne (h,k) (0,0) 2hk(h 2 k 2 ) (h 2 + k 2, som i Eksem- ) 3/2 pel/oppgave 4.5. Vi har nemlig 2hk(h2 k 2 ) 2h 3 k = (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 2hk 3 2h 3 k 2hk 3 + (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 2h3 k 2hk 3 + = 2k + 2h 0 når (h, k) (0, 0). h 3 k 3 Eksempel/Oppgave 5.3. Finn de partielt deriverte til funksjonen { ( ) x cos 1 + y f(x, y) = x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). i origo. Er f derivérbar i origo? (Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 3.8.)

18 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Løsning. Vi bruker igjen denisjonen på de partielt deriverte og får ( ) F (h, 0) F (0, 0) h cos 1 0 ( h F 1 (0, 0) = = 2 1 ) = cos h 0 h h 0 h h 0 h 2 som ikke eksisterer (vi husker dette igjen fra én-variabeltilfellet, fordi cos ( 1 ) x 2 vil svinge mellom 1 og 1 uansett hvor nær x er null). Imidlertid vil den partielt deriverte m.h.p. y eksistere: F (0, k) F (0, 0) (0 + k) 0 F 2 (0, 0) = = = 1. k 0 k 0 k k Svaret på siste spørsmål er enkelt: For at f skal være derivérbar i origo må per denisjon begge de partielt deriverte eksistere (se igjen denisjonen på derivérbarhet Denisjon 5 i Ÿ 12.6). Derfor er f ikke derivérbar i origo. 6. Litt mer mengdelære i R n (slutten av Ÿ 10.4 og begynnelsen på Ÿ 13.1) Vi denerte begrepet omegn om et punkt c R n i Denisjon 1.3 og brukte det til å denere hva vi mener med et isolert punkt, siden vi trengte det i denisjonen av grense. Men omegner spiller også en annen sentral rolle: de er nemlig utgangspunktet for å kunne denere hva vi mener med åpne og lukkede mengder i R n. Motivasjonen for dette (innenfor pensum av MAT112) er at vi vil generalisere resultater om ekstremalverdier som vi kjenner fra én-variabeltilfellet til ere variable (nærmere bestemt Teoremene 1 og 2 i Ÿ 13.1). Stoet vi går gjennom her står på slutten av Ÿ 10.1 og begynnelsen av Ÿ 13.1 i læreboken. Vi går gjennom det her mest for å slå fast hva de norske uttrykkene er. Vi starter med å gjenta Denisjon 1.3 (se også Eksempel 1.4) Denisjon 6.1. La c R n. En omegn om c er en mengde på formen B δ (c) := {x R n d(x, c) < δ}, for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c. For n = 1 er altså B δ (c) lik det åpne intervallet (c δ, c + δ). For n = 2 er B δ (c) det indre av en sirkel med radius δ om punktet c = (a, b), dvs. B δ (c) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < δ 2 }. Vi kaller dette gjerne en åpen sirkel eller åpen disk. For å skille mellom denne åpne sirkelen og den lukkede sirkelen {(x, y) R 2 x 2 + y 2 δ 2 } (der randen x 2 + y 2 = δ 2 er med i mengden), kan vi tegne den åpne sirkelen med en stiplet rand og den lukkede med en heltrykket rand, som vist i Figur 6 under. Figur 6. En åpen sirkel (til venstre) og en lukket sirkel (til høyre)

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 19 Begrepet omegn spiller en viktig rolle i denisjonen av lokale ekstremalverdier, selv om læreboken utelater å bruke omegner i denisjonen helt i begynnelsen av Ÿ 13.1. Her er samme denisjon uttrykt med omegner: Denisjon 6.2. La f : D(f) R n R og c D(f). Vi sier at f har en lokal maksimalverdi i c hvis det nnes en omegn B δ (c) om c slik at f(x) f(c) for alle x D(f) B δ (c). Vi sier at f har en lokal minimalverdi i c hvis det nnes en omegn B δ (c) om c slik at f(x) f(c) for alle x D(f) B δ (c). La nå R R n være en delmengde. Vi ønsker å denere hva det vil si at R er åpen eller lukket. (Som for intervaller, trenger en mengde imidlertid hverken å være åpen eller lukket.) Denisjon 6.3. La R R n. Et punkt x R er et indre punkt dersom det nnes en omegn B δ (x) om x slik at B δ (x) R. (I R 2 betyr dette at vi kan slå en sirkel innenfor R med sentrum i x = (a, b), se Figur 6.) Mengden av alle indre punkter i R kalles det indre av R og betegnes 11 med int(r). Mengden R kalles åpen dersom alle x R er indre punkter; ekvivalent dersom int(r) = R. Dette betyr at alle punkter i R har en omegn om seg som ligger innenfor R. (I R 2 betyr dette at alle punkter i R har en sirkel rundt seg som ligger innenfor R.) Figur 7. Et indre punkt Bemerkning 6.4. Det er lett å se at mengden R n er åpen. Per denisjon er også den tomme mengden åpen. (Siden mengden er tom, oppfyller den trivielt kravet om at alle dens punkter er indre punkter, fordi punktene ikke nnes!) Eksempel 6.5. Mengden (0, 1) er åpen siden det rundt enhver x (0, 1) nnes en liten nok omegn (x δ, x + δ) (0, 1). Imidlertid er (0, 1] ikke åpen, siden enhver omegn (1 δ, 1 + δ) om 1 vil inneholde punkter utenfor (0, 1]. 11 Etter engelsk interior.

20 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Mengden R = {(x, y) R 2 x > 0, y > 0} er åpen. Dette er 1. kvadrant uten aksene, og vi kan slå en sirkel rundt ethvert punkt som ligger helt innenfor mengden. Imidlertid er R = {(x, y) R 2 x 0, y > 0} ikke åpen, siden enhver sirkel rundt et punkt på y-aksen vil inneholde punkter med x < 0, dvs. punkter utenfor R. Vi denerer en mengde som lukket dersom mengden av alle punkter utenfor mengden er åpen: Denisjon 6.6. La R R n. Komplementet til R er mengden av alle punkter i R n som ikke er inneholdt i R, og betegnes som R c. Formelt har vi Merk også at R c = R n \ R = {x R n x R}. R n = R R c, som betyr helt enkelt at ethvert punkt i R n er enten i R eller utenfor R. Mengden R kalles lukket dersom komplementet R c er en åpen mengde. Eksempel 6.7. Mengden [0, 1] er lukket fordi komplementet er (, 0) (1, ), som er åpent. Av samme grunn er mengden [0, ) lukket, fordi komplementet er (, 0). Mengden [0, 1) er ikke lukket, fordi komplementet (, 0) [1, ) ikke er åpent: enhver omegn om punktet 1 vil inneholde punkter utenfor [1, ). Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} er lukket. Rundt ethvert punkt i komplementet R c = {(x, y) R 2 x < 0 eller y < 0} kan vi slå en sirkel som ligger helt innenfor mengden. Mengdene R n og er lukket, siden komplementene (hhv. og R n ) er åpne ved Bemerkning 6.4. Så disse to mengdene er både åpne og lukkede. Fra tilfellet n = 1 er vi imidlertid kanskje mest vant til å tenke på en mengde som lukket dersom det inneholder sine endepunkter: slik ser vi f.eks. at [0, 1] og [0, ) er lukket, mens (0, 1] og (0, ) ikke er lukket. Det nnes en generalisering av begrepet endepunkter i R n : Denisjon 6.8. La R R n. Et punkt x R n er et randpunkt til R hvis enhver omegn om x innholder både punkter i R og utenfor R. (I R 2 betyr dette at enhver sirkel vi slår med sentrum i x = (a, b), vil inneholde punkter både i og utenfor R, se Figur 6.) Et randpunkt til R kan være med i R eller ikke, men det er lett å se at et indre punkt i R ikke kan være randpunkt. Mengden av alle randpunkter til R kalles randen til R og betegnes 12 med bdry(r). Merk at bdry(r) = bdry(r c ). Vi har følgende resultat, som også kan tas som ekvivalent denisjon på det å være lukket: Sats 6.9. En mengde R er lukket R inneholder alle sine randpunkter. Bevis. Vi har R lukket R c åpen alle punkter i R c er indre punkter R c inneholder ingen av sine randpunkter bdry(r c ) R, og vi er ferdig siden bdry(r) = bdry(r c ). 12 Etter engelsk boundary.

FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 21 Figur 8. Et randpunkt Eksempel 6.10. Hver av mengdene (0, 1), [0, 1), (0, 1] og [0, 1] har 0 og 1 som randpunkter. Bare [0, 1] er lukket, siden bare denne inneholder begge randpunktene. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} har rand bdry(r) = {(0, y) y 0} {(x, 0) x 0}, som er unionen av de to ikke-negative delene av koordinataksene. Siden bdry(r) R, er R lukket. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0 og x 2 + y 2 < 1} har rand bdry(r) = {(x, y) R 2 y = 0, 1 x 1 eller y 0, x 2 + y 2 = 1}, som er en halvsirkel. Men øverste del av denne halvisirkelen er ikke med i R, slik at R ikke er lukket. Til slutt trenger vi å generalisere hva vi mener med at en mengde er begrenset: Denisjon 6.11. En delmengde R R n er begrenset dersom det nnes en konstant K 0, slik at alle punktene i R har avstand K fra origo. Ekvivalent er R begrenset dersom det nnes en lukket ball B = {x R n d(x, 0) K} som inneholder R. (Her er d som denert i (1.9).) I R får vi at en mengde R begrenset dersom det nnes en K slik at x K for alle x R, som er det vi er vant til. I R 2 vil R være begrenset dersom vi kan slå en sirkel som inneholder mengden R. Eksempel 6.12. Et intervall er begrenset hvis og bare hvis endepunktene ikke er eller. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} fra Eksempel 6.10 er ikke begrenset, mens mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0 og x 2 + y 2 < 1} fra Eksempel 6.10 er begrenset. Studiet av åpne og lukkede mengder og deres egenskaper kalles generalt for topologi. Over har vi denert hva vi mener med åpne og lukkede mengder ved hjelp av begrepet omegn, som igjen bygger på at vi har et avstandbegrep i R n. Det viser seg imidlertid at det nnes en mer generell, aksiomatisk denisjon på åpne og lukkede delmengder av en mengde. Mengder der vi har en slik aksiomatisk denisjon på hva det vil si at en delmengde er åpne eller lukket kalles topologiske rom. Generelt kan begrepet kontinuitet deneres på funksjoner mellom topologiske rom 13. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 12, 5008 Bergen. 13 Her i Bergen er innføringskurset i topologi høstkurset MAT242-Topologi.