Det digitale verktøyet. Matematikk S1. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Det digitale verktøyet og Matematikk S1 Kristen Nastad Aschehoug Undervisning

Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows og Aschehougs lærebok Matematikk S1 på de Studieforberedende utdanningsprogrammene. Programmet inneholder applikasjonene (noen funksjoner i parentes) Kalkulator (algebra, funksjonsanalyse, sannsynlighet, statistikk og vektor) Grafer & geometri (graf- og tegneverktøy, geometri og analyseverktøy) Lister & regneark (regresjon, fordeling, test, konfidensintervall og tabell) Notes (tekstredigering) Data & statistikk (plott, diagram, regresjon) I heftet finner du forklaringer på bruk av programmet TI-nspire CAS i eksempler der inntastingen for TEXAS er tatt med i læreboka. I TI-nspire CAS Hjelp finner du nærmere beskrivelse av applikasjonsverktøyene. Klikk på Hjelp på menylinja eller trykk på F1-tasten. I tillegg finner du forklaringer på hvordan du kan bruke programmet i noen andre eksempler. Side 3 og 4 finner du innholdsfortegnelsen med sidehenvisningene til læreboka lengst til venstre. Du finner en beskrivelse av startskjermbildet side 5, verktøylinjene sidene 6 8, et virtuelt tastatur side 8 og hurtigtaster side 9. Sett deg godt inn i informasjonen som fulgte med programmet. På nettstedet Atomic Learning finner du animerte opplæringssekvenser på norsk. Se også Digitale verktøy i Lenkesamling på Lokus. Den norske sida til Texas Instruments: http://education.ti.com/educationportal/sites/norge/productcategory/no_nspire.html gir mye informasjon om programmet. Lykke til med bruken av heftet! Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Side 2 av 39

Innhold Startskjermbildet... 5 Verktøylinjene... 6 Hovedverktøylinja... 6 Verktøylinjene for Kalkulator og Grafer & geometri... 7 Verktøylinja for Lister & regneark... 7 Verktøylinjene for Notes og Data & statistikk... 8 Tastaturet... 8 Hurtigtaster... 9 1: Algebra... 10 9 16 Potenser... 10 17 20 Store og små tall. Standardform... 10 20 24 Førstegradslikninger... 11 25 31 Regning med bokstavuttrykk og formler... 11 31 37 Brøkregning og faktorisering... 12 38 42 Kvadratsetningene... 13 43 46 Logaritmer med 10 som grunntall... 14 46 53 Logaritmesetningene... 15 53 57 Logaritmelikninger... 15 2: Likninger og ulikheter... 16 61 67 Likningssett... 16 67 77 Andregradslikninger... 17 78 80 Eksponentiallikninger og logaritmelikninger av andre grad... 19 80 87 Implikasjon og ekvivalens... 19 87 92 Ulikheter av første grad... 20 92 95 Ulikheter av andre grad... 21 3: Sannsynlighet... 24 109 115 Ordnet utvalg med og uten tilbakelegging... 24 115 119 Uordnet utvalg uten tilbakelegging... 24 123 132 Binomiske sannsynligheter... 25 4: Funksjoner... 26 139 145 Polynomfunksjoner... 26 146 151 Rasjonale funksjoner... 27 162 168 Regresjon... 29 169 179 Funksjoner som modeller... 32 Aschehoug Undervisning Side 3 av 39

5: Derivasjon... 33 183 187 Gjennomsnittlig vekstfart... 33 187 190 Momentan vekstfart... 35 197 200 Fortegnslinje for den deriverte... 36 6: Lineær optimering... 38 213 220 Lineære ulikheter med to ukjente... 38 222 229 Lineær optimering... 39 Aschehoug Undervisning Side 4 av 39

Startskjermbildet I startskjermbildet finner du alle verktøyene du trenger for å opprette dokumenter og arbeide med oppgaver. Nedenfor ser du startskjermbildet med navn på hoveddelene. Dokumentnavn Menylinja Verktøylinja Applikasjonsverktøylinja Sidesortering Arbeidsområdet Alt arbeidet som du oppretter og lagrer blir lagret som et dokument. Et dokument består av én eller flere oppgaver. Hver oppgave inneholder én eller flere sider. En enkelt side vises i arbeidsområdet på skjermen din. Alt arbeidet legges på sider. Et dokument kan inneholde opptil 30 oppgaver, og hver oppgave kan inneholde maksimalt 50 sider. Aschehoug Undervisning Side 5 av 39

Verktøylinjene Hovedverktøylinja Nytt dokument Åpne dokument Lagre Skriv ut Angre Gjør om Klipp ut Kopier Lim inn Slette Sideoppsett Applikasjoner Tastatur Variabel/Kopl Katalog Symbolpalett Sjablonpalett Skjermbilde Oppdater bibliotek Gå til forrige/neste side Aschehoug Undervisning Side 6 av 39

Verktøylinjene for Kalkulator og Grafer & geometri Handlinger Tall Kompleks Algebra Kalkulus Sannsynlighet Statistikk Matrise & vektor Funksjoner & program Handlinger Vis Graftype Vindu Spore Punkter & linjer Måling Former Konstruksjon Transformasjon Verktøylinja for Lister & regneark Handlinger Sett inn Data Statistikk Funksjonstabell Aschehoug Undervisning Side 7 av 39

Verktøylinjene for Notes og Data & statistikk Sjabloner Sett inn Format Handlinger Plottype Plottegenskaper Handlinger Analyser Vindu/Zoom I TI-nspire CAS Hjelp finner du nærmere beskrivelse av applikasjonsverktøylinjene. Klikk på Hjelp på menylinja eller trykk på F1-tasten. Tastaturet Du kan vise og bruke et virtuelt tastatur, som fungerer på samme måte som tastaturet på den håndholdte kalkulatoren. Du kan bruke tastaturet når du legger inn uttrykk og utfører beregninger akkurat som du gjør med kalkulatoren. Mange av fremgangsmåtene i TI-nspire CAS Hjelp F1, som du finner under Hjelp på menylinja eller ved å bruke F1-tasten, går ut på å trykke på tastene på kalkulatoren. Noen av disse tastene er også tilgjengelige på tastaturet på datamaskinen din, og hvis du viser og bruker det virtuelle tastaturet, vil du ha tilgang til de fleste funksjonene og hurtigtastene på kalkulatorens tastatur. / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises øverst på hver tast.. sletter kommandolinja eller valgt objekt. k viser kommandokatalogen. g skriver det neste tegnet som stor bokstav. behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyemne. Aschehoug Undervisning Side 8 av 39

Hurtigtaster I tabellen nedenfor finner du en liste over noen hurtigtastkombinasjoner på PC-tastaturet og en del av tastaturet på kalkulatoren. Vær oppmerksom på at alle alternativene ikke alltid er tilgjengelige, avhengig av hva du arbeider med. Redigere tekst PC Navigasjon PC Klipp ut Ctrl+X Hjem Ctrl+Home Kopier Ctrl+C Slutt Ctrl+End Lim inn Ctrl+V Sett inn tegn, symboler Tastatur Angre Ctrl+Z Ikke lik / = Gjør om Ctrl+Y Senket strek / _ Dokumentstyring PC / > Opprette nytt dokument Ctrl+N / < Sette inn ny side Ctrl+I Semikolon / : Velg applikasjon Ctrl+K / j Lagre aktuelt dokument Ctrl+S $ / " Hjelp PC Symbol for grader / ' TI-Nspire CAS Hjelp F1 Aschehoug Undervisning Side 9 av 39

1: Algebra 9 16 Potenser Eksempel 3 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk/tast 5^3. Eksempel 5 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Klikk Slett logg. Det andre uttrykket: Klikk/tast Faktor 2^3 *3*2^4 *3^4 / ( 2^3 *3^3. Eksempel 9 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Klikk Slett logg. Klikk/tast Faktor /2^3 ^4 *2^5 /2^6. Eksempel 11 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Klikk Slett logg. I det tredje eksemplet klikker/taster du Faktor ( 4^3-2. NB! Grunntallet i potensen blir redusert mest mulig. 4 2 2 =. 17 20 Store og små tall. Standardform Eksempel 3 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. I vinduet kan du skifte tallformatet: Klikk/tast Fil Innstillinger Dokumentinnstillinger. Nå har du valgt tallformatet Vitenskapelig (Standardform). Aschehoug Undervisning Side 10 av 39

Eksempel 2 og første eksempel side 19 Tast. bakerst i minst et av tallene når beregninger skal utføres på bare hele tall. 20 24 Førstegradslikninger Eksempel 1 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. I kalkulatorvinduet skriver du inn likningen og avslutter med. Du flytter 6 over på høyre side og -x over på venstre side ved -6+x. Til slutt forkorter du med 4 på begge sider ved /4. Svaret får du direkte ved: Bruk verktøyknappen Løs. Skriv inn likningen og avslutt med,x.. Velg Eksempel 6 Klikk på verktøylinja, og velg. I lommeregnervinduet skriver du inn likningen og avslutt med -tasten. Tast *3. Tast /(-2. Tast +4, og du får svaret. Svaret direkte: Klikk, velg Løs og skriv likningen med,x til slutt i parentesen. Avslutt med -tasten. 25 31 Regning med bokstavuttrykk og formler Eksempel 2 og 5 Bruk verktøyknappen i kalkulatormenyen. Velg Utvid. Skriv inn uttrykket og avslutt med. Skriv inn det andre uttrykket ved hjelp av PC-tastaturet og avslutt med. Husk mellomrom på hver side av and. Aschehoug Undervisning Side 11 av 39

Eksempel 6 Skriv inn formelen for volumet og betingelsene for radius og høyden med PC-tastaturet. Avslutt med. Husk mellomrom på hver side av and. Svaret får du i m 3. Se side 13 i heftet for Matematikk 1P. Eksempel 7 og 8 Bruk verktøyknappen i kalkulatormenyen. Velg Løs. Skriv inn formelen for volumet og betingelsene for radius og volum med PC-tastaturet. Avslutt med. I den andre beregningen finner du høyden uttrykt ved volumet og radius. I den tredje beregningen er siste svar kopiert over til neste linje. Betingelsene for volumet og radius er tatt med. Du får svaret i meter. Høyden er 0,42 m = 42 cm. 31 37 Brøkregning og faktorisering Eksempel 2 Skriv inn uttrykket og avslutt med -tasten. Alternativ: Klikk, velg Tall, Brøkverktøy og Fellesnevner, skriv uttrykket og avslutt med -tasten. Eksempel 5 Skriv inn (3/4)/(2/5) og avslutt med -tasten. Eksempel 7 Klikk, velg Tall, Brøkverktøy og Fellesnevner, skriv uttrykket og avslutt med -tasten. Aschehoug Undervisning Side 12 av 39

Eksempel 9.2 Klikk, velg Faktor, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Eksempel 10.2 Klikk, velg Faktor, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Eksempel 11.1 Uttrykket og -tasten. (NB! Parentes om nevneren og multiplikasjonstegn mellom a og b i nevneren.) Eksempel 11.4 Uttrykket og -tasten. Eksempel 12 Uttrykket og -tasten. (NB! Parentes om hver av nevnerne og telleren i den siste brøken.) Eksempel 13 Uttrykket og -tasten. (NB! Parentes om hver av brøkene og hver av tellerne i småbrøkene.) 38 42 Kvadratsetningene Eksempel 1.3 Klikk, velg Utvid, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Eksempel 2.1 Klikk, velg Utvid, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Eksempel 3.2 Klikk, velg Utvid, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Eksempel 3.4 Klikk, velg Utvid, skriv uttrykket og avslutt med tasten. Aschehoug Undervisning Side 13 av 39

Eksemplene 5, 6 og 8 Klikk, velg Faktor, skriv uttrykket og avslutt med -tasten. Eksemplene 10 og 12 Uttrykket og avslutt med -tasten. Advarselen nederst kommer fram med fullstendig tekst ved først å merke svaret og deretter høyreklikke. Til slutt klikker du på Vis varsel-info,,,. 43 46 Logaritmer med 10 som grunntall Eksempel 1 og 2 NB! Kalkulatoren bruker automatisk 10-logaritmer dersom du ikke skriver inn hvilke logaritmer du bruker. 10 3 finner du ved å taste 10^-3. Tilnærmet løsning får du ved hjelp av Ctrl- og -tasten. Logaritmen til 4 finner du ved å taste log( 4. Tilnærmet løsning får du ved hjelp av Ctrl- og -tasten. Eksempel 3, 4 og 5 Bruk verktøyknappen i kalkulatormenyen. Velg Løs. Skriv inn likningen og tast,x med PC-tastaturet. Avslutt med. Tilnærmet løsning får du ved hjelp av Ctrl- og tasten. Logaritmen til y skriver du ved å taste log(y). Logaritmen til tallet i eksempel 5 taster du ved log( 4.37*10^12. Aschehoug Undervisning Side 14 av 39

46 53 Logaritmesetningene Eksempel 2 og 3 Klikk, velg Løs og skriv likningen med,x til slutt i parentesen. Avslutt med -tasten. Eksempel 6 Skriv inn uttrykkene slik det er beskrevet i eksemplene til 43 46 Logaritmer med 10 som grunntall.. 53 57 Logaritmelikninger Eksempel 2 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Løs, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen. Avslutt med. Kalkulatorapplikasjonen bruker automatisk 10-logaritmer dersom du ikke skriver inn hvilke logaritmer du bruker. Kontroll: Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. På kommandolinja legger du inn f1(x) = log 10 (x 2 ) og f2(x)=3. På grafverktøylinja klikker du og velger. Legg inn verdiene XMin = 50 og XMaks = 50. Bekreft valgene med -tasten. Vi skal nå bestemme de to skjæringspunktene. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker, klikk, flytt så pila til den andre grafen og klikk. De to skjæringspunktene med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Eksempel 4 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Løs, skriv inn likningen og tast,e til slutt inne i parentesen. Avslutt med. Aschehoug Undervisning Side 15 av 39

2: Likninger og ulikheter 61 67 Likningssett Eksempel 1 I grafapplikasjonen Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = x 5 og f2(x) = 2x+1. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Klikk og velg. Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker og klikk, flytt så pila til den andre grafen og klikk, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Likningssettet har løsningen x = 2 og y = 3. I kalkulatorapplikasjonen Klikk, velg Løs, klikk, velg fane 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Likningssettet har løsningen x = 2 og y = 3. NB! Du kan også ta fram sjablonen ved å høyreklikke i parentesen, velge Matematiske sjabloner og til slutt klikke ønsket sjablon. Aschehoug Undervisning Side 16 av 39

67 77 Andregradslikninger Eksempel side 69 I grafapplikasjonen På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 4x 2 7x 2. Tast. Grafen tegnes på grunnlag av standard ytterverdier for x og y. Flytt pila inn i grafvinduet. Alternativ 1: Vi kan velge aktuelt grafområde på denne måten: Klikk og velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Zoom og Zoom Boks. 1. hjørne velger du ved å flytte forstørrelsesglasset litt opp til venstre for venstre nullpunkt og klikk. 2. hjørne velger du ved å flytte forstørrelsesglasset ned til høyre slik at du får med bunnpunktet og høyre nullpunkt. Klikk. Gå til verktøylinja og klikk. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet. Grip tak i punktet og hold venstre musetast nede. En sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp mens du flytter punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med z (zero) kommer fram, slipp musetasten og punktet med koordinater plasseres på grafen. Det andre nullpunktet finner du på samme måte. Alternativ 2: På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til x-aksen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. De to nullpunktene merkes. Klikk. Velg. Flytt pila bort til venstre nullpunkt, og en pekefinger peker på punktet. Klikk, flytt tallparet til passende posisjon og klikk. Du finner koordinatene til det andre tallparet på tilsvarende måte. Høyreklikk, og ikonet for Skjæringspunkt(er) forsvinner. Nullpunktene til funksjonen er 0,25 og 2. Aschehoug Undervisning Side 17 av 39

I kalkulatorapplikasjonen Klikk, velg Løs. Skriv likningen 4x 2 7x 2=0 og,x til slutt i parentesen. Tast og du får svaret. Likningen har løsningen x = 0,25 eller x = 2. Eksempel 10 og 11 I grafapplikasjonen Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = x 2 +5 og f2(x) = 2x + 2. Tast etter hvert av funksjonsuttrykkene. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. De to skjæringspunktene med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Likningssettet har løsningene x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = 4. I kalkulatorapplikasjonen Klikk, velg Løs, klikk, velg fane 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Likningssettet har løsningene x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = 4. NB! Du kan også ta fram sjablonen ved å høyreklikke i parentesen, velge Matematiske sjabloner og til slutt klikke ønsket sjablon.. Aschehoug Undervisning Side 18 av 39

78 80 Eksponentiallikninger og logaritmelikninger av andre grad Eksempel 2 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Løs, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen. Avslutt med eller Ctrl. Eksempel 1, 3 og 4 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Løs, skriv inn hver av likningene og tast,x til slutt i den store parentesen. Avslutt med. 80 87 Implikasjon og ekvivalens Eksempler side 81, 84 og 85 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Løs, skriv inn hver av likningene og tast,x til slutt i den store parentesen. Avslutt med. Advarselen nederst kommer fram med fullstendig teks ved først å merke svaret og deretter høyreklikke. Til slutt klikker du på Vis varsel-info. Aschehoug Undervisning Side 19 av 39

87 92 Ulikheter av første grad I grafapplikasjonen Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y<80x 5600 og y>7000. Trykk på slettetasten når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 7000 og tast. Tast <, skriv inn 80x 5600 og tast. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk, velg, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med -tasten. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grenselinja. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Alternativ 2: På kommandolinja legger du inn f1(x) = 80x 5600 og f2(x) = 7000. Bruk -tasten etter hvert av yttrykkene. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 20 av 39

Vi bestemmer skjæringspunktet mellom grafene. Klikk. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 157,5. I kalkulatorapplikasjonen Klikk, velg Løs. Skriv inn ulikheten 80x 5600>7000 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Svaret får du på desimalform ved å bruke Ctrl- og -tasten eller ved å klikke, velge Omregne til desimal og avslutte med -tasten. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Eksempel 5 Klikk, velg Løs. Skriv inn ulikheten og tast,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. skriver du inn ved å taste >=. 92 95 Ulikheter av andre grad I grafapplikasjonen Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y< 0,8x 2 +136x 3280 og y>2000. Trykk på slettetasten når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 2000 og tast. Tast <, skriv inn 0,8x 2 +136x 3280 og tast. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Aschehoug Undervisning Side 21 av 39

Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk, velg, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med -tasten. Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i grafvinduet. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktene mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er) dersom det er oppgitt i menyen. Flytt pila bort til den ene grenselinja. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grenselinja. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktene med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = < 60,110 >. Alternativ 2: På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 0,8x 2 +136x 3280 og f2(x) = 2000. Bruk -tasten etter hvert av uttrykkene. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Noe av grafen til den ene funksjonen kommer fram i grafvinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de grafvinduet. Vi bestemmer skjæringspunktene mellom grafene. Klikk. Velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktene med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = < 60,110 >. Aschehoug Undervisning Side 22 av 39

I kalkulatorapplikasjonen Klikk, velg Løs. Skriv inn ulikheten 0.8x 2 +136x 3280>2000 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Ulikheten har løsningen 60 < x < 110; altså: L = 60,110 < >. Eksempel 2 Klikk, velg Løs. Skriv inn ulikheten og tast,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. skriver du inn ved å taste <=. Aschehoug Undervisning Side 23 av 39

3: Sannsynlighet 109 115 Ordnet utvalg med og uten tilbakelegging Eksempel 1 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk 3^12. Eksempel 3 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Permutasjoner 6,4. Alternativ: Klikk k1n. Tast 13 ganger på -tasten. I dialogboksen ser du hva som skal settes inn i parentesen. Tast 6,4. Eksempel 4 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Tast/klikk 4 Fakultet (!). 115 119 Uordnet utvalg uten tilbakelegging Eksempel 3 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Kombinasjoner 25,4. Alternativ: Tast k1n. I dialogboksen ser du hva som skal settes inn i parentesen. Tast 25,4. Aschehoug Undervisning Side 24 av 39

123 132 Binomiske sannsynligheter Eksempel 3 side 126 og side 129 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Klikk Fordelinger Binomisk Pdf 10 1/3 4. Alternativ: Du kan få hjelp til å taste inn de forskjellige tallene i riktig rekkefølge ved å bruke veiviseren. Tast k 1b. Dersom det ikke er merket av for Bruk veiviser i dialogboksen, taster du. Når binompdf( har svart bakgrunn, og det grå området er som på figuren til høyre, taster du 10 1/3 4. Dersom det er merket av for Bruk veiviser i dialogboksen, bruker du tastene og inntil binompdf( har svart bakgrunn og det grå området er som på den første figuren til høyre. Deretter taster du og får da fram den andre dialogboksen til høyre. Resultatet kommer fram ved å taste 10 1/3 4. Sannsynligheten er 22,8 % for at Eldrid får fire riktige svar. Vi finner så sannsynligheten for at Eldrid får høyst fire riktige svar. Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk, velg Fordelinger og Binomisk Cdf. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med -tasten. Sannsynligheten er 78,7 % for at Eldrid får høyst fire riktige svar. Sannsynligheten for at Eldrid får minst fem riktige svar finner du ved først å taste 1 på ei ny linje i Kalkulatorapplikasjonen. Deretter går du til linja ovenfor ved å taste og klikker to ganger på -tasten. Sannsynligheten er 21,3 % for at Eldrid får minst fem riktige svar. Aschehoug Undervisning Side 25 av 39

139 145 Polynomfunksjoner 4: Funksjoner Finne nullpunkter Skriv inn funksjonsuttrykket 0,5x 3 2x 2 +2. Ytterverdiene for x er 2 og 5. Passende ytterverdier for y får du ved først å velge på verktøylinja. Så velger du. Grafen tegnes på nytt, og nå fyller den grafvinduet. Fortsett med grafen til funksjonen. På verktøylinja klikker du på for å få frammenyen Punkter & linjer. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt pila bort til grafen der du vil sette av punktet. En blyant peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet. Grip tak i punktet og hold venstre musetast nede. En sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp mens du flytter punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med z (zero) kommer fram, slipp musetasten og punktet med koordinater plasseres på grafen. De to andre nullpunktene finner du som ovenfor. Nullpunktene til funksjonen er 0,90, 1,19 og 3,71. Nullpunktene kan du også finne ved å bestemme skjæringspunktene mellom grafen og x-aksen. Se Eksempel side 69, Alternativ 2. Finne topp- og bunnpunkter Fortsett med grafen til siste funksjon. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet. Grip tak i punktet og hold venstre musetast nede. En sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp mens du flytter punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med M (Maksimum) kommer fram, slipp musetasten og punktet med koordinater plasseres på grafen. Bunnpunktet finner du på samme måte som for toppunktet. I dette tilfellet kommer det fram en liten ramme med m (minimum). Grafen til funksjonen har toppunktet (0, 2) og bunnpunktet (2,67, 2,74 ). Aschehoug Undervisning Side 26 av 39

Eksempel 1 På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = x 2 +10x. Trykk på -tasten, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. På grafverktøylinja klikker du og velger. Legg inn verdiene XMin = 0 og XMax = 10. Bekreft valgene med -tasten. Klikk på på verktøylinja. Så velger du. Grafen tegnes på nytt, og nå fyller den grafvinduet. På verktøylinja klikker du på for å få fram menyen Punkter & linjer. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet. Grip tak i punktet og hold venstre musetast nede. En sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp mens du flytter punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med M (Maksimum) kommer fram, slipp musetasten og punktet med koordinater plasseres på grafen. Grafen til funksjonen har toppunktet (5, 25). Det største arealet er 25 m 2. Alle sidene er da 5 m lange. Rektanglet er derfor et kvadrat. 146 151 Rasjonale funksjoner Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = (3x+3)/(2x 4). Trykk på -tasten, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. Pass på at XMin = 20, XMax = 20, YMin = 10 og YMax = 10. Disse ytterverdiene bør komme automatisk opp i grafvinduet. På verktøylinja for Grafer & geometri klikker du på for å få fram Vis-menyen. Velg. Gå til grafvinduet. Grip tak i funksjonsuttrykket og legg det oppe i grafvinduet. La funksjonstabellen være aktiv. Du forandrer tabelloppsettet ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Dette gjør du ved å klikke på på verktøylinja og deretter velge Rediger funksjonsinnstillinger. Fyll inn i dialogboksen som figuren viser. Bekreft valgene med -tasten. Aschehoug Undervisning Side 27 av 39

Flytt markøren til den første cella i x-kolonna. Ved å flytte cellemarkøren nedover i tabellen ser du tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir større. Hva skjer når x er negativ og blir stadig mindre? Bruk samme metode som ovenfor, men nå legger du inn 3000 i feltet Tabelltrinn:. Det er tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir mindre. Dette viser at f1(x) nærmer seg 1,5 når x går mot eller når x går mot. Hva skjer med funksjonsverdien når x kommer stadig nærmere 2? Sett inn i dokumentet en regnearkside. Gå til den øverste verktøylinja. Klikk. Velg. Pass på at det står RAD TILNRM REELL øverst i regnearkvinduet. Du kan endre dokumentinnstillinger ved å gå til Fil på den øverste verktøylinja. Deretter velger du Dokumentinnstillinger. Bruk tastene,, og når du flytter fram og tilbake i dialogboksen Dokumentinnstillinger. Bekreft valgene med tasten.skriv først inn tallene 1, 2 og 3 i kolonne A som den første figuren til høyre viser. Stå i celle A3, hold nede -tasten og tast. Du skal nå sette inn tallene 4, 5 og 6 i de tre første cellene nedenfor celle A3. Gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg Fyll ned. Tast og avslutt med -tasten. I kolonne A er nå de første seks cellene fylt opp med tallene 1 til 6. Gå til celle B1 og skriv inn =2+1/10 A1 for x-verdier større enn, men nær 2. I celle C1 skriver du inn =(3B1+3)/(2B1-4). Merk cellene B1 og C1 ved å holde nede -tasten når du står i B1, og trykk på tasten. Gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg Fyll ned. Tast og avslutt med -tasten. Kolonnebredden til kolonne B utvider du på denne måten: Merk ei celle i kolonnen, gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg Skaler, og trykk på tasten så mange ganger at du ser tallene i hver av cellene. Avslutt med -tasten. Du kan også utvide kolonnen direkte ved å dra i høyre kant i det hvite feltet øverst i kolonne B. Utvid også bredden for kolonne C. Vi skal nå lage en tabell for x-verdier mindre enn, men nær 2. Gå til celle B1, erstatt + med og trykk på - tasten. Kopier den nye formelen nedover i kolonne B på samme måte som foran. Den første av de to tabellene til høyre tyder på at f1(x) går mot når x er større enn 2, men nærmer seg 2. Den andre tabellen tyder på at f1(x) går mot når x er mindre enn 2, men nærmer seg 2. Aschehoug Undervisning Side 28 av 39

Eksempel med skyvekontroll Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og Grafer & geometriverktøylinja. Skriv inn funksjonsuttrykket ved å taste (a*x+b)/(c*x+d). En Skyvekontroll legger du inn ved å klikke. Flytt markøren bort til skyvekontrollen og høyreklikk. I dialogboksen legger du inn verdier og/eller tekst. Bruk -tasten når du flytter ned til neste felt. Legg merke til at du kan forstørre eller forminske skyvekontrollen. 162 168 Regresjon Eksempel Lineær regresjon for alder og høyde Sunniva har målt høyden sin hver fødselsdag siden hun var 4 år. På deler av tabellen er det sølt noen dråper kaffe, og noen tall har blitt uleselig. Kanskje kan vi rekonstruere tallene ved å lage en lineær modell for Sunnivas høyde. Alder(år) 4 5 6 7 8 9 Høyde(cm) 99,0 104,1 1 115,3 12 126,5 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og Grafer & geometriverktøylinja. Klikk. I regnearket setter du inn de fire aktuelle tallparene fra tabellen øverst på side 68. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og cm. Avslutt skrivingen i hver av cellene ved å taste. Flytt over til grafvinduet. Klikk. Du har nå lagt inn år for x og cm for y. Flytt over til koordinatsystemet ved å taste. Klikk. Alle fire punktene kommer fram i koordinatsystemet etter at du skjuler kommandolinja: Tast Ctrl G eller. Kommandolinja kommer fram igjen med de samme tastetrykkene. Aschehoug Undervisning Side 29 av 39

Grafen gjennom punktene får du ved først å gå til regnearket. Deretter klikker du Stat beregning Lineær regresjon (mx +b). I regnearket kommer det fram en oversikt over beregningene. Flytt over til grafvinduet. Grafen kommer fram ved å taste. Kommandolinja skjuler du ved å taste Ctrl G eller. Nå ser du både punktene og grafen. Regresjonslinja er gitt ved: y = 5,52x+ 76, 7 Høydene for 6 og 8 år kan du finne ved først å flytte markøren bort til grafen slik at den blinker. Klikk/tast 6 og 8. Andrekoordinatene til to tallparene som kommer fram gir høyden 109,8 cm etter 6 år og høyden 120,9 cm etter 8 år. Eksempel Korrelasjon for alder og makspuls Åtte fjellvandrere kjenner sin maksimalpuls. De setter opp alder og makspuls i en tabell: Alder x (år) 13 19 24 26 45 48 73 80 Makspuls y 218 190 190 200 176 180 144 150 De vil finne ut om det er en sammenheng mellom alder og makspuls. Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PC-tastaturet og Grafer & geometriverktøylinja. Klikk. I regnearket setter du inn de åtte aktuelle tallparene fra tabellen. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og puls. Avslutt skrivingen i hver av cellene ved å taste. Aschehoug Undervisning Side 30 av 39

Statistikkdata for regresjonslinja får du ved å klikke Stat beregning Lineær regresjon (mx +b). Det kommer fram en oversikt som inneholder korrelasjonskoeffisienten: r = 0,95 Flytt over til grafvinduet. Bruk Eksempel Lineær regresjon for alder og høyde og sett inn punktene og regresjonslinja i koordinatsystemet. Ikke-ineær regresjon Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PCtastaturet og Lister & regnearkverktøylinja. I regnearket finner du de forskjellige regresjonsalternativene. Klikk Stat beregning. Lineær funksjon: 3: Lineær regresjon (mx +b) Andregradsfunksjon: 6: Kvadratisk regresjon Tredjegradsfunksjon: 7: Kubisk regresjon Fjerdegradsfunksjon: 8: Fjerdegrads regresjon Potensfunksjon: 9: Potensregresjon Eksponentialfunksjon: A:Eksponensiell regresjon Eksempel 3 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PCtastaturet og Grafer & geometriverktøylinja. Klikk. I regnearket setter du inn de to tallparene. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og kr. Avslutt skrivingen i hver av cellene ved å taste. Statistikkdata for regresjonslinja får du ved å klikke Stat beregning Eksponensielll regresjon. Det kommer fram en oversikt som inneholder regresjonsfunksjonen: Aschehoug Undervisning Side 31 av 39

Flytt over til grafvinduet. Klikk. Du har nå lagt inn år for x og kr for y. Flytt over til koordinatsystemet ved å taste. Klikk. De to punktene kommer fram i koordinatsystemet etter at du skjuler kommandolinja: Tast Ctrl+G eller klikk. Kommandolinja kommer fram igjen med de samme tastetrykkene. Grafen for eksponentialfunksjonen får du fram ved å klikke/taste. I kalkulatorapplikasjonen får du det årlige verditapet ved å beregne verdien for 100(1 0,7677). Resultatet 23.23 gir det årlige verditapet: 23,2 % 169 179 Funksjoner som modeller Eksempel 2 Klikk. Klikk på den øverste verktøylinja. Bruk Tastatur og/eller PCtastaturet og Grafer & geometriverktøylinja. Vi ser på overskuddet side 175. Legg inn funksjonsuttrykket for overskuddet. Deretter klikker/taster du 0 180. Grafen for funksjonen blir lagt inn i koordinatsystemet. Verdiene på aksenes endepunkter legger du inn ved å taste. Grafens toppunkt finner du ved først å legge inn et punkt på grafen: Klikk. Flytt markøren bort til grafen slik at den begynner å blinke og tast. Deretter trykker du på tasten. Grip tak i punktet og flytt det mot toppunktet inntil ei ramme med M kommer fram ved punktet. Tast, og koordinatene for toppunktet legges inn Aschehoug Undervisning Side 32 av 39

183 187 Gjennomsnittlig vekstfart 5: Derivasjon Alternativ 1: Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x 2 +10. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5. Klikk og velg. Legg inn verdiene som figuren til høyre viser. Tast. Alternativt får du passende ytterverdier for y ved å klikke og velge. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet, men x-aksen kommer egentlig ikke med i vinduet. Klikk,velg, og legg inn verdien 10 for YMin. Tast. Nå ser du x- aksen. Ta bort kommandolinja: Klikk og velg. Kommandolinja nederst i grafvinduet kan du også skjule eller vise ved først å høyreklikke nederst i grafvinduet. Etterpå velger du Skjul kommandolinje eller Skjul/Vis kommandolinje. Tegn et linjestykke under x-aksen: Klikk for Punkt & linjer og velg. Trykk tasten Esc. Sett et punkt på linjestykket: Klikk for Punkt & linjer og velg. Mål lengden fra venstre endepunkt til det bevegelige punktet: Klikk for Måling og velg. Klikk på de to punktene på linjestykket, og deretter på måleresultatet, som dermed kommer tydelig fram. Sett av et punkt P på x-aksen (ikke på noen av aksemerkene): Klikk for Punkt & linjer og velg. Trykk på tasten Esc. Bruk passeren til å sette lengden/verdien for Δx fra punktet P på x-aksen: Klikk for Konstruksjon og velg. Flytt markøren til måltallet i Δx-boksen og klikk på den én gang med pekefingersymbolet. Bruk eventuelt tastene,, og etter behov. Det dukker opp en stiplet sirkel. Flytt sentrum til punktet P på x-aksen og klikk når punktet blinker. Sirkelen vil nå justeres etter måleenhetene på koordinataksene, og får dermed en ellipseform. Merk skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen: Klikk. Velg. Aschehoug Undervisning Side 33 av 39

Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til sirkelen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til x-aksen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktene med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Tegn en normal (Klikk for Konstruksjon og velg ) til x-aksen gjennom P og en normal gjennom skjæringspunktet mellom sirkelen og x-aksen til høyre for P. Merk skjæringspunktene mellom normalene og grafen for f1(x). Tegn en normal til y-aksen gjennom (x p,f1(x p )). Finn skjæringspunktet mellom denne og den vertikale linjen til høyre for dette punktet. Du ser nå en trekant som du skal markere ved hjelp av trekantverktøyet: Klikk for Former og velg. Trekanten kommer fram etter at du klikker fram trekantens hjørner. Skraver trekanten: Klikk for Verktøy og velg. Attributter kan du også velge ved å høyreklikke på aktuelt objekt i grafvinduet. Flytt pekeren(pila) bort til trekanten, klikk og velg en fyllfarge fra ikonsøyla som dukker opp. Skjul det du ikke trenger: Klikk for Verktøy og velg (eller flytt pekeren til objektet slik at det blinker, høyreklikk og velg Skjul/Vis). Prøv nå å endre Δx. Flytt litt på P og legg merke til at trekanten følger med. Legg inn ei linje: Klikk for Punkt & linjer og velg. La linja gå gjennom endepunktene på hypotenusen. Tegn en tangent i (x p,f1(x p )): Klikk for Punkt & linjer og velg, flytt pila bort til venstre punkt på grafen inntil det blinker, klikk, og tangenten legges inntil grafen. Trykk tasten Esc. Klikk for Måling og velg. Finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Trykk tasten Esc. Endre Δx. Legg merke til at gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart når Δx avtar mot null. Alternativ 2: Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x 2 +10. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks. Tast. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Du kan også velge verdiene for YMin og YMaks som boksen Vindusparametere viser i Alternativ 1. Merk av to punkter på grafen: Klikk for Punkt & linjer og velg. Skjul koordinatene til punktene: Klikk for Verktøy og velg (eller flytt pekeren til objektet slik at det blinker, høyreklikk og velg Skjul/Vis). Aschehoug Undervisning Side 34 av 39

Tegn sekanten: Klikk for Punkt & linjer og velg. Klikk på de to punktene. Klikk for Punkt & linjer og velg. Flytt pila bort til venstre punkt på grafen inntil det blinker. Klikk, og tangenten legges inntil grafen. Klikk for Måling og velg, og finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Trykk tasten Esc. Grip tak i et av punktene, flytt det mot det andre punktet og legg merke til hvordan gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart. 187 190 Momentan vekstfart I grafapplikasjonen Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x 2 +10. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5. Klikk og velg, og legg inn verdiene for XMin og XMaks. Tast. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Vi skal nå bestemme likningen for tangenten i punktet på grafen for x = 2. Først legger vi inn punktet på grafen. Klikk for Punkt & linjer og velg. Flytt pila bort til grafen inntil den blinker. Klikk eller tast, klikk på punktets førstekoordinat og erstatt den med tallet 2. Tast. Punktet med koordinater legges på grafen. Klikk for Punkt & linjer og velg. Flytt pila bort til punktet på grafen inntil det blinker. Klikk og tangenten legges inntil grafen. Klikk for Verktøy og velg. Flytt pila bort til tangenten inntil den blinker. Tast, og likningen legges inn. Likningen gir tangentens stigningstall 4,4 når x = 2. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. Aschehoug Undervisning Side 35 av 39

I kalkulatorapplikasjonen Alternativ 1: Klikk for Kalkulus og velg Derivert, tast x, skriv inn uttrykket ved å taste 1.1x^2 +10 x=2. -tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. Alternativ 2: Klikk, tast 1N 1.1x^2 +10,X=2. -tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. Alternativ 3: Klikk, tast 1N 1.1x^2 +10,X x=2. -tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. NB! I andre og tredje alternativ ovenfor kommer skjermbildet til høyre fram i kalkulatoren. Nederst i vinduet viser den andre linja rekkefølgen og argumentene du skal legge inn. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten kan du finne på raden for tall, enten en delt eller hel loddrett strek. 197 200 Fortegnslinje for den deriverte I grafapplikasjonen Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = x 2 4x+5. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 1 og 5. Velg YMin= 1 og YMaks=7. Klikk og velg, og legg inn verdiene for XMin, XMaks, YMin og YMaks. Grafen tegnes. Vi skal nå bestemme stigningstallet for tangenten i et punkt på grafen. Først legger vi punktet på grafen. Klikk for Punkt & linjer og velg. Flytt pila bort til grafen. Pila endres til en blyant. Klikk eller tast. Punktet med koordinater legges på grafen. Klikk for Punkt & linjer og velg. Klikk, og tangenten legges inntil grafen. Aschehoug Undervisning Side 36 av 39

Klikk for Måling og velg. Klikk eller tast, og stigningstallet legges inntil tangenten. Trykk på tasten Esc. Flytt stigningstallet slik at du observerer verdien mens du drar punktet på grafen forbi bunnpunktet. Dersom du drar punktet fra venstre mot høyre, vil stigningstallet skifte fortegn fra til +. Merk deg verdien for stigningstallet når punktet passerer bunnen. Du bestemmer verdien for stigningstallet(den deriverte) for en bestemt x-verdi ved å klikke på førstekoordinaten til tangeringspunktet. Deretter skriver du inn x-verdien og taster. Fortegnslinja på side 198 stemmer med verdiene vi observerer for stigningstallet i grafvinduet. I kalkulatorapplikasjonen Alternativ 1: Klikk for Kalkulus og velg Derivert, tast x, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, tast x={-1,0,1,1.5,2,2.5,3,4,5}. -tasten gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 2: Klikk, tast 1N, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, tast,x={-1,0,1,1.5,2,2.5,3,4,5}. -tasten gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 3: Klikk, tast 1N, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, tast,x x={-1,0,1,1.5,2,2.5,3,4,5}. tasten gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Aschehoug Undervisning Side 37 av 39

6: Lineær optimering 213 220 Lineære ulikheter med to ukjente Eksempel 2 Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Sett inn en ny side ved å klikke. Velg. I kalkulatorapplikasjonen løser du ulikheten 4x 2y < 6 med hensyn på y. Etter at du har fått svaret taster du +2X. Kopier ulikheten ved å taste Ctrl C Flytt over til grafvapplikasjonen: Legg inn ulikheten på kommandolinja ved å taste Ctrl V eller taste ulikheten y >2x 3. inn på kommandolinja etter at du har slettet =- tegnet bak funksjonsnavnet. Tast. Det mørke området er grafområdet til ulikheten. Kommandolinja kan du aktivere/deaktivere ved å taste Ctrl G. Eksempel 3 Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Sett inn en ny side ved å klikke. Velg. I kalkulatorapplikasjonen løser du hver av ulikhetene med hensyn på y. Etter at du har funnet svarene legger du de inn på kommandolinja og taster etter hvert som de legges inn. Bruk framgangsmåten i Eksempel 2. De punktene som ligger på eller inne i den mørke trekanten er grafområdet som oppfyller kravet til de tre ulikhetene. Punktene med koordinater finner du ved først å klikke på på verktøylinja. Velg. Flytt pila bort til den ene grenselinja. Klikk og gå til den andre grenselinja. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Deretter klikker du på to og to av linjene inntil du har funnet de tre skjæringspunktene. Hver av ulikhetene stemmer i det mørkeste området. Aschehoug Undervisning Side 38 av 39

222 229 Lineær optimering Eksempel 3 Nivålinjemetoden Klikk på verktøylinja. Klikk. Velg. Sett inn en ny side ved å klikke. Velg. Legg inn de tre ulikhetene på samme måte som i eksemplene 2 og 3 på foregående side. Ei linje er tegnet for fortjenesten Z = 1600. Den største fortjenesten får vi når Z får sin største verdi. Dette skjer når ei linje som er parallell med linja for Z = 1600, skjærer y-aksen så høyt oppe som mulig og samtidig inneholder minst et punkt fra grafområdet. Den stiplede linja inneholder punktet Q og er dessuten parallell med linja for Z = 1600. Ingen annen linje oppfyller kravet til størst mulig Z-verdi. Den største fortjenesten finner vi i kalkulatorapplikasjonen. Aschehoug Undervisning Side 39 av 39