En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det litt mer ryddig enn det jeg snøvla sammen på sparket på onsdag. Nå har jeg i det minste Wikipedia og L A TEX tilgjengelig! Forskjellen på oppgaver og eksempler under er fullstendig marginal. Påstander som står i løse lufta i en oppgave eller et eksempel er en oppfordring til et bevis. 1 Grupper og ringer Definisjon 1. En binær operasjon på en mengde A er en funksjon : A A A Definisjonen innebærer lukkethet, at dersom man kombinerer to elementer fra en mengde, får man et nytt element fra mengden. Definisjon 2. En gruppe (G, ) består av en mengde G og en binær operasjon slik at 1. For alle a, b og c i G er (a b) c = a (b c). (Assosiativ lov) 2. Det finnes en e i G slik at e a = a e = a for alle a i G. (Eksistens av identitet) 3. For alle a i G finnes det en a slik at a a = a a = e. (Eksistens av invers) Stjernen brukes kun når man vil være veldig generell. Som regel bruker man additiv eller multiplikativ notasjon. Med additiv notasjon bruker man + for operasjonen, 0 for identiteten og a for inversen, mens man med multiplikativ notasjon skriver eller ingenting for operasjonen, 1 for multiplikasjonen og a 1 for inversen. I definisjonene er det vanligst å bruke multiplikasjon, mens man i abelske grupper ofte bruker additiv. Videre er det også vanlig å bare omtale G som gruppa, mens parentesnotasjonen brukes når man vil være veldig tydelig eller formell. 1

Definisjon 3. En abelsk gruppe er en gruppe G med den ekstrabetingelsen at 4. For alle a og b i G gjelder det at a b = b a. (Kommutativ lov) Oppgave 4. Bruk litt stivt papir, og klipp ut en likesidet trekant uten å ødelegge ramma rundt. Nummerer hjørnene på trekanten 1, 2 og 3, mens hjørnene i ramma nummereres a, b og c. La µ i betegne rotasjonen av trekanten med i grader (0, 90 og 180 er de eneste gyldige verdiene). La δ i betegne speilingen av trekanten gjennom halvveringslinja i hjørne i = 1, 2, 3. (Flipp arket rundt!) Du får da seks operasjoner som kan kombineres. 1. Lag en gangetabell over alle mulige operasjoner. Hvilken operasjon er identiteten? 2. Vis at dette er en gruppe. Er den abelsk? I tillegg har vi et begrep som kalles undergruppe. Det vil si at man bruker den samme operasjonen, men bare en delmengde av hele gruppen. For å sjekke at noe er en undergruppe, er det nok å sjekke at den er lukket under operasjonen, og at identiteten er i den. Oppgave 5. Vis at påstanden over er tilstrekkelig, altså at en undergruppe faktisk er en gruppe. Definisjon 6. En ring (R, +, ) består av en mengde R og binære operasjoner + og slik at 1. (R, +) er en abelsk gruppe. 2. (ab)c = a(bc) for alle a, b, c R. (Assosiativitet) 3. Det finnes en multiplikativ identitet 1 0 slik at 1a = a1 = a for alle a i R. 4. For alle a, b, c R gjelder a(b + c) = ab + ac og (b + c)a = ba + ca. Eksempel 7. R, Z, Z n = 0, 1,... n 1 er ringer under de naturlige operasjonene. (Vis det selv!) I den sistnevnte må du regne modulo n. Eksempel 8. La M 2 (R) bestå av alle 2 2-matriser. Vis at dette er en abelsk gruppe under addisjon. Er det en gruppe under matrisemultiplikasjon? Vis at dette er en ring under vanlig matriseaddisjon og -multiplikasjon Betrakt så mengden M 2 (R) = {det A 0 A M 2(R)}. Vis at dette er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vis også at den ikke er abelsk. Definisjon 9. En kommutativ ring er en ring der multiplikasjonen kommuterer. 2

Definisjon 10. En enhet i en ring R er et element a 0 som har en multiplikativ invers. Definisjon 11. En divisjonsring er en ring der alle elementene unntatt 0 er enheter. (Men merk: Den trenger ikke være kommutativ!) Definisjon 12. Et integritetsområde er en ring der ab = 0 impliserer at a = 0 eller b = 0. Definisjon 13. En kropp er en kommutativ divisjonsring. Oppgave 14. Kom fram til en løs begrunnelse for at en kropp er et integritetsområde. Enda bedre: Bevis det. Når man skal slå fast at noe er en kropp, må man samtidig definere operasjonene. De er ikke gudegitt på noen måte, selv om det ofte finnes veldig naturlige valg. Eksempel 15 (Eksempler på kropper). 1. R, Q og C er kropper med de vanlige addisjons- og multiplikasjonsoperasjonene. 2. Z p = {0, 1,..., p 1}, p primtall, er en kropp med addisjon og multiplikasjon modulo p. Kroppene i første punkt sies å ha karakteristikk 0, mens kroppen i andre punkt har karakteristikk p. Det blir viktig i emner som MA3202 Galoisteori og i IT-anvendelser. For eksempel er Z 2 = {0, 1} vanvittig viktig for alle IT-folk. I kryptografi jobber man ofte med kropper der p er stor, gjerne flere hundre sifre. 2 Vektorrom og moduler Definisjon 16. Et vektorrom V over en kropp F (eng: field) er en mengde V med vektorer og to operasjoner + og. Elementene i kroppen kalles skalarer. Til sammen skal disse fire byggesteinene tilfredsstille følgende aksiomer: 1. (V, +) skal være en abelsk gruppe. 2. For alle a F og v, w V skal a(v + w) = av + aw. 3. For alle a, b F og v V skal (a + b)v = av + av. 4. For alle a, b F og v V skal (ab)v = a(bv). 5. Hvis 1 er den multiplikative identiteten i F, skal 1v = v for alle v V. Definisjonen innebærer at skalarmultiplikasjonen må henge sammen med hvordan multiplikasjon fungerer i kroppen. 3

Eksempel 17 (Eksempler på vektorrom). 1. R n der vektorene er ordnede lister av n reelle tall og skalarene er fra R, er et vektorrom under de opplagte operasjonene. (Ofte kalles disse operasjonene punktvise, siden de tar for seg en og en komponent.) 2. La V = R med skalarer fra R. La addisjon av to vektorer v og w være multiplikasjonen av de reelle tallene v og w. Skalarmultiplikasjonen gis ved at kv = v k. (Legg merke til vekslingen mellom fete og vanlige symboler. De vanlige symbolene har operasjoner som foregår blant de reelle tallene, mens det som inneholder fete symboler foregår i vektorrommet.) Vis at dette er et vektorrom. 3. M n (Q) er et vektorrom over Q med punktvise operasjoner. 4. C(R) er mengden av alle kontinuerlige funksjoner på R, og skalarene er reelle tall. Operasjonene er punktvise, altså at (f +g)(x) = f(x)+g(x). Vis at dette er et vektorrom. Bare fordi det passer så fint med resten av veldig-høyt-nivå-tonen i hele dokumentet, her er en kvasi-definisjon. Definisjon 18. En vektor er et element i et vektorrom. I vektorrommene over finnes det ikke veldig mye struktur. For eksempel er det ingen måte å snakke om lengde og vinkler. Tips til lesing på Wikipedia: Normed Vector Space, Inner Product Space. De kommer i MA1202. I tillegg er strukturen på disse rommene litt vanskelig å få fatt på. Derfor trenger man en basis, en liten mengde av vektorer som man kan bruke til å entydig beskrive alle de andre vektorene. Det er derfor det terpes så mye på lineær (u)avhengighet og utspenning i MA1201 og MA1202, fordi det er essensielt for å forstå strukturen på rommene. Men, over til litt mer eksotiske greier. Vi husker at ringer ikke nødvendigvis er kommutative. Derfor kommer nå ordene venstre og høyre til nytte, for de beskriver på hvilken side man ganger med skalaren. Definisjon 19. En venstre R-modul M over en ring R er består av en abelsk gruppe (M, +) og en skalaroperasjon R M M slik at vi for alle r, s R og x, y M har 1. r(x + y) = rx + ry 2. (r + s)x = rx + sx 3. (rs)x = r(sx) 4. 1 R x = x, der 1 R er identiteten i R. 4

Med det blotte øye er definisjonene like. Fordi jeg er lat, har de litt forskjellig form, men det er en smal sak å skrive dem slik at man bare bytter ut noen få ord. Veldig mye at det som gjelder for vektorrom, gjelder også for moduler, men det er for eksempel ikke alltid mulig å finne en basis, slik det ble nevnt over. Oppgave 20. Finn eksempler på moduler. Tips: Ta for dere de ringene som ikke er kropper, og gjør det samme med dem, som vi gjør med kropper for å få vektorrom. Dette er ikke en oppgave for lathanser, men så er det da heller ingen som sjekker at den blir gjort. 3 Funksjoner mellom rommene Matematikere syns egentlig at vektorrom og moduler er litt kjedelige. Det er å sette det litt på spissen, men det er fordi de bare sitter der og ikke gjør noe. I stedet er mye mer interessant å betrakte funksjoner mellom slike. Jeg nevner dem som en bitteliten smakebit, men for å få glede av det, krever det en veldig mye grundigere gjennomgang av temaene over. En artikkel på noen få sider kan tross alt ikke erstatte emner på totalt 15 studiepoeng. Definisjon 21. La (G 1, 1 ) og (G 2, 2 ) være grupper. En gruppehomomorfi fra G 1 til G 2 er en funksjon ϕ : G 1 G 2 slik at φ(g 1 h) = φ(g) 2 φ(h) Definisjon 22. La (R, + R, R) og (S, + S, S) være ringer. En ringhomomorfi fra R til S er en funksjon f : R S slik at 1. f(r 1 + R r 2 ) = f(r 1 ) + S f(r 2 ) 2. f(r 1 R r 2 ) = f(r 1 ) S f(r 2 ) 3. f(1 R ) = 1 S Definisjon 23. La V 1 og V 2 være vektorrom (med tilhørende operasjoner). En lineærtransformasjon fra V til W er en funksjon T : V 1 V 2 slik at T (v + kw = T (v) + kt (w) Oppgave 24. For moduler heter den spesielle typen funksjon R-homomorfi. Med tanke på at moduler ellers er ganske like vektorrom, hva er et rimelig krav for en R-homomorfi mellom to venstre R-moduler? OK, dette ble kanskje ikke så mye bedre enn rablinga på onsdag. I det minste er jeg litt mer konsekvent, men dette er på ingen måte noen kan forstå bare ved å lese dette. Noe av forskningen på instituttet bruker nettopp moduler som et veldig viktig verktøy for å representere algebraer. 5