Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene Det er ikke meningen at enne teksten skal stå for seg selv. Den er ment som en hjelp mens u leser 11.6 og eler av kapittel 8 i læreboka. Hvis u ikke husker prikkproukt og kryssproukt fra VGS bør u repetere noe av et mens u leser ette. Jeg har prøv å bruke samme notasjon gjennom teksten. Det betyr at en noen ganger er en samme som i boka, anre ganger ikke. Det er mange etaljer her som må fylles ut, så les gjennom me skrivesaker tilgjengelig. Sen meg en epost hvis u finner noe som er feil eller uklart. 1 Litt mer om kjeglesnitt 1.1 Nok en beskrivelse av kjeglesnitt Minner om hvoran vi efinerte kjeglesnittene: Parabel: Brennpunkt og styrelinje (like avstaner) Ellipse: To brennpunkt (konstant sum) Hyperbel: To brennpunkt (konstant ifferanse) Beskrivelsen for parabelen kan reformuleres som PF PL = 1. La oss prøve noe nytt: Hva hvis vi prøver for anre ε enn 1? Må være positiv! Se på 0 < ε < 1 og 1 < ε hver for seg. Det kan se ut som 0 < ε < 1 gir ellipser. Det kan se ut som 1 < ε gir hyperbeler. PF PL = ε 1
L F L F 1.1.1 Oppvarming 0 < ε < 1: Vi har sett at på linja gjennom F som står normalt på L får vi to punkt som i så fall må bli toppunktene. Lag et koorinatsystem slik at isse får koorinatene ( a, 0) og (a, 0) og F = ( c, 0). La L være gitt ve x = p. Da har vi at ε = a c p a og ε = a+c som gir p = a. (Hvis u ikke har prøv å tegne en figur ennå, er et p+a ε jammen på tie!) 1 < ε: Som over får vi to punkt på normalen. Hvis vi bruker tegningene over blir et naturlig å kalle isse ( a, 0) og (a, 0), men F = (c, 0) og L gitt ve x = p. På samme måte som sist får vi igjen p = a ε. 1.1.2 Litt regning Me figurene u nå har tegnet blir et relativt lett å se at i begge tilfellene er c = εa og ε = c. (Som over, eller se på toppunktet nærmest styrelinja.) Hvis vi har ellipser/hyperbeler, så har e altså eksentrisitet ε. a Se på et punkt P = (x, y) på kurvene. 0 < ε < 1: Me valgene vi har gjort får vi PF 2 = (x + εa) 2 + y 2 PL = x + a ε PF 2 = (x + εa)2 + y 2 PL 2 (x + a = ε 2 ε )2 2
1 < ε: PF 2 = (x εa) 2 + y 2 PL = x a ε PF 2 = (x εa)2 + y 2 PL 2 (x a = ε 2 ε )2 Me litt regning kommer vi i begge tilfellene til som vi kjenner igjen som x 2 a 2 + y 2 a 2 (1 ε 2 ) = 1 en ellipse når 1 ε 2 > 0, me anre or 0 < ε < 1. en hyperbel når 1 ε 2 < 0, me anre or 1 < ε. (Dette finner u stort sett i 8.1) 1.2 Kjeglesnitt i polarkoorinater Vi har nettopp sett at vi kan beskrive alle kjeglesnitt ve et brennpunkt F, en styrelinje L, en konstant ε (eksentrisiteten) og PF PL = ε. Sett origo i F og L som x = p. Hvis et punkt P på kjeglesnittet er gitt i polarkoorinater P = [r, θ] får vi PF = r, PL = p + r cosθ og r p + r cos θ = ε eller r = εp 1 ε cosθ. 1.3 Litt mer om ellipsen La ellipsen være gitt ve brennpunktet F, styrelinja L og eksentrisiteten ε som før. Trekk linja gjennom brennpunktet som er parallell me styrelinja og la l være halve lengen. Da får vi, fra styrelinje/brennpunkt beskrivelsen, at l/(p c) = ε, og me alt annet vi har gjort får vi a = l 1 ε 2. 3
L l F Hvis vi bruker ette, c = εa, og b 2 + c 2 = a 2 får vi også b = Til slutt får vi, hvis ellipsen er gitt ve r = r = l 1 ε 2. εp, at l = εp, eller me anre or, at 1+εcos θ l 1 + ε cosθ. En liten oppgave til eg: Vis at vi kan skrive b 2 = la. (Dette finner u stort sett i 8.5, men også litt anre steer, som i 11.6.) 2 Posisjonsvektorer (Dette vil u finne litt her og er i boka, og noe må u kanskje tilbake til VGS bøkene ine for å finne?) Et punkt i planet kan for eksempel beskrives ve kartesiske koorinater (x, y) polarkoorinater [r, θ] posisjonsvektor r og en parametrisert kurve kan a for eksempel beskrives ve (x(t), y(t)) [r(t), θ(t)] r(t) Vi kan erivere r(t) = x(t)i + y(t)j: t r = r t = ṙ = r r(t) = (t) = ṙ(t) t t = x (t)i + y (t)j = ẋ(t)i + ẏ(t)j = x i + y j = ẋi + ẏj 4
Jeg skrev et slik for å illustrere notasjonen vi vil bruke. Mellom en el av likhetstegnene er et samme gjenntatt, bare me forskjellig notasjon. Spesielt vil en prikk over et symbol bety at vi eriverer me hensyn på t. f vil altså bety f ikke for eksempel t f. Vi vil også ofte la være å skrive variablen. Intensjonen er at et skal bli lettere å θ lese, men a må u huske på at for eksempel r ofte vil bety r(t) eller r(θ) eller høyst sannsynlig begge... Se på en eriverte til en vektor som hvoran enne enrer seg. Den kan enre seg i e forskjellige retningene, og isse enringene er igjen beskrevet av en eriverte til hver retningsfunksjon se på bilet. (Dette var en velig rask, og lite presis, gjennomgang for e av ere som ikke tar MA1103.) r = r 2 r 1 r 2 r 1 og Hvis vi tenker på parameteren t som ti får vi at hastighet og akselerasjon er v = v(t) = ṙ = ṙ(t) = ẋi + ẏj a = a(t) = v = v(t) = r = r(t) = ẍi + ÿj Vi skal se på isse vektorene på en litt annen måte også. Hvis r er en posisjonsvektor, la r = r være lengen av vektoren og lag en enhetsvektor i samme retning ˆr = r r og efiner ˆθ til å være vektoren vi får ve å rotere ˆr π/2. (Hvis posisjonsvektoren r svarer til et punkt me polar koorinater [r, θ] vil ˆθ være enhetsvektoren i retning θ + π 2.) Hvis r(t) beskriver en kurve så vil ˆr(t) og ˆθ(t) beskrive to ortogonale enhetsvektorer til hvert punkt på kurven. Hvis r = [r, θ] i polarkoorinater har vi ˆr = (cosθ, sin θ) ˆθ = ( sin θ, cosθ) og = ( sin θ, cosθ) = ˆθ θˆr θ ˆθ = ( cosθ, sin θ) = ˆr 5
Dette gir oss tˆr = t ˆθ = ( ) θ θˆr t ( ) θ ˆθ θ = ˆθ θ t t = ˆrθ t = ˆθ θ = ˆr θ Så v = v(t) = t r = r (r(t)ˆr(t)) = + r(t)θ t tˆr t ˆθ = ṙˆr + r θˆθ v = v = ṙ 2 + r 2 θ 2 a = t v = rˆr + ṙ θˆθ + ṙ θˆθ + r θˆθ + r θ θ( ˆr) = ( r r θ 2 )ˆr + (2ṙ θ + r θ)ˆθ. 3 Et lite resultat om areal og akselerasjon (Herfra og ut vil u finne mesteparten i 11.6, men eler av et vil være ting vi har gjennomgått fra kapittel 8.) Det vi har gjort over er vel og bra, men la oss prøve å bruke et til noe. Setning 1 Gitt en parametrisert kurve r(t). Hvis akselerasjonen kun er i raial retning vil arealet som raialvektoren sveiper over ha konstant enringsrate. Husk at vi tiligere har vist at hvis rotasjonen/vinkelen til posisjonen enrer seg fra θ til θ + θ har vi at A 1 2 r(θ)2 θ. Dette gir A t = A 1 θ θ t 2 r(θ)2 θ θ θ t og hvis vi lar t gå mot null får vi A t = 1 2 r(θ)2 θ. At arealet har konstant enringsrate betyr at A er konstant, som er et samme som at t 2 A = 0. t 2 2 A t = 1 2 2 2rṙ θ + 1 2 r2 θ 1 = 2 r(2ṙ θ + r θ). At akselerasjonen kun er i raial retning betyr at r θ + 2ṙ θ = 0 (se forrige avsnitt). Derme har vi bevist setningen. La oss se om vi kan bruke ette til noe. 6
4 En anvenelse av et vi har gjort Keplers lover for planetbaner La oss starte me en repetisjon fra fysikken. Jeg håper ette er lesbart også for ere som ikke har hatt noe fysikk, men skulle u synes ette virker meningsløst kommer et et sammenrag uten fysikk til slutt. 4.1 Newtons 2. bevegelseslov Gitt et legeme me masse m som påvirkes av en kraft F. Da har vi at enne kraften mefører en akselerasjon a av legemet, og at sammenhengen er 4.2 Newtons gravitasjonslov F = ma. Anta at solen har masse M og en planet har masse m. La r være posisjonsvektor fra solen til planeten. Da har vi at F = g mm r 2 ˆr er g er en konstant. Dette, sammen me Newtons 2. lov, sier at akselerasjonen som forårsakes av tyngekraften er raiell og omvent proporsjonal me kvaratet av avstanen mellom legemene. Hvis u vil ha et helt fysikkfritt sammenrag, her kommer et: Vi skal se på kurver parametrisert ve r(t) er a = r = K r 2ˆr er K er en konstant. Om et blir mer meningsfylt når et fjernes fra en naturlig situasjon vet jeg ikke, men er fikk u et. Vi skal altså se hva vi kan si om slike kurver. For at u skal kunne lese viere: K = gmm. 4.3 Keplers lover 1. Planetbanene er ellipser me solen i et ene brennpunktet. 2. Brennpunktraien fra solen sveiper over areal me konstant fart. 3. Kvaratet av omløpsperioen er proporsjonal me kubikken av en store aksen i ellipsen. En annen versjon av en treje loven er: Kvaratet av omløpsperioen er propoprsjonalt me kubikken av gjennomsnitsavstanen til sola. Se om u kan vise ette selv. Vi skal nå vise at Keplers lover følger av e to lovene til Newton som vi har nevnt over. (Den historiske rekkefølgen er motsatt, men et er en annen historie.) Vi skal forenkle situasjonen til å anta at systemet ikke er påvirket av anre planeter. 7
Planetbanen er i et plan (og litt til): Vi vet fra Newtons 2. lov og gravitasjonsloven at posisjonsvektoren og akselerasjonsvektoren er parallelle. Hva me fartsvektoren? Vi kan foreksempel se på hvoran en står i forhol til posisjonsvektoren, for eksempel ve å se på r v. Deriver ette me hensyn på tien, så får vi at (r v) = r v + ṙ v = r a + v + v = r a = 0. t Derme vet vi at r v er konstant, la oss skrive r v = h. Dette gir oss at r h = 0, så alle posisjonsvektorene står normalt på h, altså må planetbanen ligge i et plan. Ve litt regning finner vi også at h = h = r 2 θ eller h θ = r 2 Keplers 2. lov: Vi har nettopp vist at planetbanen er i et plan. Vi vet også at akselerasjonen er i raiell retning, så vi kan bruke resultatet fra forrige avsnitt om slike kurver. Hamiltons setning: For solen og planeten har vi, fra Newtons to lover, at a = gm r 2 ˆr = gm r 3 r, Kjerneregelen gir oss at så v = v θ θ v θ = v θ = gm ˆr r 2 = gm h h ˆr = gm h Hvis vi antieriverer (me hensyn på θ) får vi a r 2 (cosθ, sin θ). Dette gir oss Hamiltons setning: v = gm h (sin θ, cosθ) + (C 1, C 2 ) = gm h ˆθ + C v C = gm h, eller at hastighetsvektoren tegner en sirkel me sentrum i C. Keplers 1. lov: Vi har så langt sett at planetbanen er i et plan og at sola er i ette planet. Ta sola som origo, og ta vektoren C til å efinere positiv y-retning. La ε være et tallet som gir C = εgm. Da har vi h v = gm h (ˆθ + εj). 8
La h = r v bestemme positiv z-retning. Dette gir oss også x-retningen. Litt regning gir oss hk = h = r v = r gm h (ˆθ + εj) = gm h (r ˆθ + r εj) = gm h (rˆr ˆθ + (r cosθi + r sin θj) εj) = gm h (rk + rε cosθk + 0) = gm h r(1 + ε cosθ)k. Dette gir oss h 2 gm r = 1 + ε cosθ Som vi vet beskriver ette et kjeglesnitt, og størrelsen på ε, som avhenger av hastigheten og tyngekraften, avgjør om vi får en ellipse, en parabel eller en hyperbel. Arealet til en ellipse: x(t) = a cost, y(t) = b sin t, 0 t 2π er en parametrisering av en ellipse me akser 2a og 2b. Vi kan for eksempel regne ut arealet me 2π 0 x(t)y (t)t = 2π 0 = ab 2π a costb cos tt = ab [ t 2 + 1 ] 2π sin 2t = πab 4 0 o 1 2 + 1 cos 2tt 2 Keplers 3. lov: Vi har tiligere sett at A t = 1 2 r2 θ og h = r 2 θ, så A t = h 2. Hvis omløpstien er T gir ette oss at A = Th/2. Hvis ellipsen har store og lille halvakser a og b vet vi at arealet er A = πab. Vi vet også at b 2 = la = h2 a, så vi gm får T 2 = 4π2 gm a3. Legg merke til at h, som kom fra posisjonen og hastigheten, er forsvunnet. Det eneste variable vi sitter igjen me i proporsjonalitetskonstanten er massen til solen. Legg også merke til at vi vet at vi har fått et kjeglesnitt, og at hvilket av e tre alternativene vi har vil avhenge av posisjonen og hastigheten i forhol til solen, samt solens masse. (Er u enig me meg i et? Kan u forklare ette ut fra et som står i teksten her?) 9