Stivt legemers dnamikk 3.04.03 FYS-MEK 0 3.04.03
kraftmoment: O r F O rf sin F F R r F T F sin r sin O kraftarm NL for rotasjoner: O, I for et stivt legeme med treghetsmoment I translasjon og rotasjon: F et MA I rullebetingelse: kinetisk energi: V K, R MV I f N G FYS-MEK 0 3.04.03
Arbeid: en kraftmoment som virker på et stivt legeme gjør arbeid: W d arbeid-energi teorem: W I I d R F T FYS-MEK 0 3.04.03 3
Spinn: for en punktmasse l O r p spinnsats: net d l dt O for flerpartikkelsstemer: L d dt i l i L r i F i i i r m v i et i i et O bare kraftmomenter fra tre krefter endrer spinnet for et stivt legeme: L og et smmetrisk legeme som roterer om smmetriaksen: er generelt ikke parallelle. L I L men for komponent gjelder: L I kraftmoment: d L I dt FYS-MEK 0 3.04.03 4
En marihøne går innover på en plate som roterer friksjonsfritt som vist. Hva skjer med spinnet til hele sstemet?. Spinnet øker. Spinnet forblir uendret 3. Spinnet avtar Hva skjer med vinkelhastigheten til platen?. Vinkelhastigheten øker. Vinkelhastigheten forblir uendret 3. Vinkelhastigheten avtar Hva skjer med den kinetiske energien til sstemet?. Den kinetiske energien øker. Den kinetiske energien forblir uendret 3. Den kinetiske energien avtar FYS-MEK 0 3.04.03 5
(lite) kraftmoment om aksen, men ingen kraftmoment om aksen: dl dt,, O O 0 spinn er bevart: L 0) L () O, ( O, I 00 I treghetsmomentet blir mindre når marihønen går innover: I I0 I I 0 0 0 vinkelhastigheten øker kinetisk energi: K I 0 0 I 0 I0 0 I I I I I I 0 K0 K0 kinetisk energien øker marihønen må gjøre arbeid FYS-MEK 0 3.04.03 6
Eksempel: Kloss i trinse denne gangen ser vi på akselerasjon krefter på klossen: gravitasjon og snordraget NL i retningen: T mg ma krefter på trinsen: gravitasjon, snordraget, normalkraft bare snordraget gir et kraftmoment: snoren sklir ikke: RT RT I MR R v a R MR R a T Ma T N G Ma mg ma mg m M a hvis M er små: a g FYS-MEK 0 3.04.03 7
Klossen glir friksjonsfritt og er festet til loddet med en masseløs snor som roterer hjulet uten å gli. Hva er relasjonene mellom snordragene idet klossen slippes?. m g = T = T. m g > T = T 3. m g > T > T 4. m g = T > T klossen akselerer nedover det kreves at mg T trinsen har masse og derfor et treghetsmoment det kreves et kraftmoment for å gi trinsen vinkelakselerasjon RT RT T T for at hjulet skal kunne akselereres FYS-MEK 0 3.04.03 8
Eksempel: Kollisjon mellom to atomer To atomer med masse m og radius R kolliderer. Før kollisjonen er atom A i ro, mens atom B beveger seg med hastighet v. Etter kollisjonen henger atomene sammen. Vi ser bort fra gravitasjon og luftmotstand. ingen tre krefter d bevegelsesmengde er bevart Fnet P 0 dt massesenter R r A R r A, v V A v A, beveger seg med konstant hastighet V 0 R ( mra mrb ) ( ra rb ) m r B R r B, v B V v B, viˆ V ( v A v B ) viˆ, V v A viˆ vb vb V viˆ viˆ, viˆ FYS-MEK 0 3.04.03 9
Eksempel: Kollisjon mellom to atomer ingen tre krefter ingen kraftmomenter spinn er bevart d net L 0 dt spinn om massesenteret rett før kollisjonen: L A, ra, mv ˆ R j ( mviˆ) mrvk ˆ A, L B, rb, mvb, R ˆ j mviˆ mrvk ˆ L LA LB mrvkˆ,, etter kollisjonen roterer hele sstemet med vinkelhastighet om massesenteret L, I treghetsmoment: I 5 4 5 ( mr mr ) mr L I, mrv mr 4 5 5 4 v R FYS-MEK 0 3.04.03 0
Eksempel: Kollisjon mellom to atomer er den kinetiske energien bevart?. ja. nei kinetisk energi før kollisjonen: etter kollisjonen: K MV K 0 mv I v m( ) 4 5 mr 5 ( 4 v R ) 4 mv 5 4 mv 3 7 mv K K 0 kollisjonen er uelastisk ikke konservative indre krefter FYS-MEK 0 3.04.03
Endring av spinnakse hjulet roterer om aksen: L I iˆ origo i massesenteret kreftene angriper i avstand r F r F kraftmoment: iˆ Fkˆ iˆ ( Fkˆ) F ˆj spinnsats: d L dt over et tidsintervall t : L( t t) L( t) t iˆ F t ˆj I kreftene virker i retning spinnet reagerer i retning L( t t) L (t) L FYS-MEK 0 3.04.03
Eksempel: Groskop spinn i retning: L I normalkraft virker i rotasjonspunkt ingen kraftmoment gravitasjon: G mgkˆ angrepspunkt: r G Riˆ N R G L kraftmoment: spinnsats: r G d L dt G Riˆ ( mgkˆ) mgr ˆj L L ( t t ) L ( t ) t spinnaksen dreier i horisontalplanet om aksen presesjon om aksen med vinkelhastighet vi antar at groskopet spinner fortere om sin egen akse enn presesjonen om aksen spinnvektor er i -planet L( t t) L (t) L FYS-MEK 0 3.04.03 3
Eksempel: Groskop spinn i retning: kraftmoment: L I L t mgr ˆj N R G L presesjon om aksen med vinkelhastighet t t L L L mgr I L( t t) L øker når blir mindre på grunn av friksjon L (t) FYS-MEK 0 3.04.03 4
Eksempel: Groskop spinn i planet: L I N L kraftmoment: r G G r G G ( Rsin iˆ Rcos kˆ) ( mgkˆ) G L mgrsin ˆj presesjon om aksen L Lsin t Lsin mgrsin I sin mgr I sett ovenfra L t Lsin FYS-MEK 0 3.04.03 5
Space shuttle mission STS-54, Endeavour, Jan. 993 Pilot Donald R. McMonagle http://aesp.nasa.okstate.edu/ftp/anderson/tosweb/tgravitron.wmv FYS-MEK 0 3.04.03 6