NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner definert på (delmengder av de) reelle tallene, dvs. at både definisjonsmengde og verdimengde er delmengder av de reelle tall R. For en slik funksjon f med definisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R. Husk at en funksjon f er kontinuerlig i et punkt 0 D(f) (der D(f) er definisjonsmengden til f) dersom lim f( = f( 0 ). 0 Setter vi dette sammen med den formelle definisjonen på grenseverdi får vi: Definisjon.. Funksjonen f kalles kontinuerlig i et punkt 0 D(f), hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.) D(f) og 0 < δ = f( f( 0 ) <. Vi merker at begrepet kontinuitet over er definert i enkeltstående punkter 0 i definisjonsmengden. Tallet δ vi finner, avhenger således ikke bare av, men av 0. Husk også at vi sier at f er kontinuerlig på et intervall I dersom f er kontinuerlig i alle punkter 0 I. Det betyr altså at det for ethvert punkt 0 I finnes en δ = δ(, 0 ) som oppfyller kriteriet (.2). At δ avhenger (vanligvis) av 0, ser vi i følgende eksempel: Eksempel.2. Funksjonen f( = 2 er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Vi må vise at f er kontinuerlig i et vilkårlig punkt 0 I. Gitt > 0. La { } δ = min, +2 0. Om 0 < δ, da vil spesielt < 0 <, slik at +2 0 < + 0 < +2 0, som medfører at + 0 < +2 0. Siden vi også har at 0 < +2 0, får vi f( f( 0 ) = 2 2 0 = 0 + 0 < ( ) +2 0 +2 0 =. Noen ganger kan vi imidlertid finne en δ = δ() som gjelder for alle 0 I samtidig. Følgende eksempel viser dette: Versjon datert 26.0..
2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Eksempel.3. (a) Funksjonen f( = { 2 er} kontinuerlig på intervallet [ 2,2], og samme bevis som over viser at δ = min, 5 fungerer for alle 0 I, siden { } { min, min, } når 0 2. +2 0 5 (Dette betyr at δ en vi finner for punktene 2 og 2 holder for alle andre punkter i intervallet [ 2, 2] også.) (b) Funksjonen f( = 3 + 5 er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Gitt > 0 og 0 I. La δ = 3. Om 0 < δ, da vil f( f( 0 ) = (3+5) (3 0 +5) = 3 0 < 3 3 =. Vi merker at δ en vi fant er uavhengig av punktet 0 I. De to siste eksemplene illustrerer forskjellen mellom begrepene kontinuerlig og uniformt kontinuerlig på et intervall I: en funksjon er uniformt kontinuerlig på I dersom den er kontinuerlig i ethvert punkt i I slik at det finnes en δ = δ() slik at (.2) er oppfylt for alle 0 I samtidig, dvs. slik at { } (.2), 0 I og 0 < δ = f( f( 0 ) <. For å vise symmetrien mellom og 0 bedre bytter vi dem gjerne ut med og 2 slik at den formelle definisjonen blir som følger: Definisjon.4. Funksjonen f kalles uniformt kontinuerlig på intervallet I, hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.3), 2 I og 2 < δ = f( ) f( 2 ) <. Begge funksjonene i Eksempel.3 er altså uniformt kontinuerlige på de oppgitte intervallene, siden de δ ene vi fant var uavhengige av punktene i intervallene. Fra definisjonen merker vi spesielt at en uniform kontinuerlig funksjon på et intervall I er også kontinuerlig på I, dvs. kontinuerlig i alle punkt i I. Det motsatte holder ikke, f.eks. er f( = 2 kontinuerlig på hele R = (, ), men ikke uniformt kontinuerlig der, som vi vil se i Eksempel 2.4 under. (Vi så allerede i eksempel (.3) over at δ en vi fant var avhengig av 0, men vi har strengt tatt ikke vist at det ikke kan finnes noen annen δ som er uavhengig av 0.) Bemerkning.5. Merk at begrepet uniform kontinuitet kun er definert på intervaller I og at det ikke gir mening å spørre om en funksjon er uniformt kontinuerlig i et punkt. Begrepet kontinuitet er imidlertid definert punktvis, og av den grunn kaller vi det ofte punktvis kontinuitet. Bemerkning.6. Adams definerer kun uniform kontinuitet på lukkede og begrensede intervaller (i Appendiks IV), mens vi her ser på dette mer generelt. 2. Noen viktige resultater og eksempler som involverer uniform kontinuitet Vi vil i denne seksjonen se på noen kjente og viktige resultater som omhandler begrepet uniform kontinuitet. Det første, Teorem 2., er Teorem 4 fra Appendiks 4 i Adams, og sier at begrepene kontinuitet og uniform kontinuitet er de samme på lukkede, begrensede intervaller. Dette resultatet er en helt essensiell ingrediens i beviset for at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er Riemann-
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 3 integrerbar (Teorem 5 i App. IV) og er en av grunnene til at begrepet uniform kontinuitet er en del av pensum i dette kurset. Andre resultater, som Satsene 2.2 og 2.2 og Observasjon 2.4 har (med jevne mellomrom og i forskjellige varianter) blitt gitt å bevise på eksamen. Forsøk dere derfor gjerne selv på bevisene før dere leser dem. Om dere ikke kommer igang, ta en titt på kun de første linjene: de gir gjerne viktige hint som kan være nok til å fylle ut resten. De første resultatene gir tilstrekkelige betingelser for at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. De kan altså brukes for å konkludere at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. Teorem 2.. Dersom f er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall [a, b], da er f også uniformt kontinuerlig på [a,b]. Bevis. Se Adams (bevis for Teorem 4 i Appendiks IV). Sats 2.2. Anta at funksjonen f er derivérbar og at den deriverte er begrenset på intervallet I. Da er f uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Vi har at f ( M for en konstant M, for alle I, per definisjon av begrenset. Ved Sekantsetningen ( Mean value theorem ) har vi at for alle, 2 I, så finnes en c = c(, 2 ) I (avhengig av, 2 ) slik at Dermed har vi f( ) f( 2 ) = f (c)( 2 ). (2.) f( ) f( 2 ) = f (c) 2 M 2 Gitt > 0. La δ = M. Dersom 2 < δ, da vil vi ved (2.) få at (2.2) f( ) f( 2 ) M 2 < M og vi har vist (.3). M =, Bemerkning 2.3. Det motsatte av Sats 2.2 holder ikke: f kan være uniformt kontinuerlig selv med ubegrenset derivert. Kan dere komme på et eksempel? Etter å ha tenkt litt, se fotnoten. Vi vil også få bruk for følgende to enkle observasjoner: Observasjon 2.4. Dersom f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c), da er f også uniformt kontinuerlig på (a,c). (Dette holder også om a = eller c =.) Dette følger av at vi for gitt > 0, kan finne δ > 0 (hhv. δ 2 > 0) slik at hvis, 2 (a,b] og 2 < δ (hhv., 2 [b,c) og 2 < δ 2 ), da er f( ) f( 2 ) < 2. Dette fordi f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c) per antagelse. La nå δ = min{δ,δ 2 } og, 2 (a,c) slik at 2 < δ. Om, 2 (a,b] eller, 2 [b,c), vet vi allerede at f( ) f( 2 ) < 2 <. Om (a,b] og 2 [b,c) (eller omvendt), da vil ved trekantulikheten f( ) f( 2 ) f( ) f(b) + f( 2 ) f(b) < 2 + 2 =. Funksjonen f( = /3 er uniformt kontinuerlig på [,] ved Teorem 2., men f ( = 32/3 når 0.
4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Observasjon 2.5. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et intervall I, da er f også uniformt kontinuerlig på ethvert delintervall J I. Dette følger direkte fra definisjonen av uniform kontinuitet. Eksempel 2.6. Både Teorem 2. og Sats 2.2 kan brukes til å vise at funksjonen f( = 2 er uniformt kontinuerlig på ethvert begrenset intervall I. Et begrenset intervall I er på formen [a,b], (a,b), [a,b) eller (a,b] for a,b R. Vi har selvfølgelig at f ( = 2 ma{2a,2b} for alle I, slik at den deriverte er begrenset og f( = 2 er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. På den annen side, ved Teorem 2., er f( = 2 uniformt kontinuerlig på [a,b] og er derfor uniformt kontinuerlig på delmengden I [a,b] ved Observasjon 2.5. Eksempel 2.7. Funksjonen ( f( = 2 sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her( kan ) vi ikke bruke Teorem 2., men vi bruker Sats 2.2. I tillegg bruker vi at sinθ sin < for alle. (Dette er bevist i beviset for at lim θ 0 θ = i Adams, Teorem 8 i 2.5: ( ) her vises nemlig ulikheten cosθ < sinθ θ < ; dette gir sinθ θ <, som gir sin < ved å sette inn θ = /.) Vi får da at: ( f ( ) ( sin ) ( + cos ) ( = 2 sin cos 2 < 2 + = 3, og f er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. Eksempel 2.8. Noen ganger må vi kombinere flere resultater og tenke litt lurt for å avgjøre spørsmål om uniform kontinuitet. Det gjelder f.eks. om vi skal vise at funksjonen ( f( = sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her kan vi ikke bruke Teorem 2. direkte, og heller ikke Sats 2.2 direkte, siden ( f ( = sin ( cos ikke er begrenset. Merk at problemet oppstår når 0. Om, har vi nemlig ( f ( = sin ( ) ( sin ) + cos ( ) cos + = 2, og vi kan konkludere fra Sats 2.2 at f er uniformt kontinuerlig på [, ). Hva med intervallet (0,]? Vi merker at lim f( = 0 0 ved Skviseteoremet. Dette betyr at funksjonen { ( ) sin når 0 F( = 0 når = 0.
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 5 er kontinuerlig på hele R, og lik f( om 0. (Vi sier at F er en kontinuerlig utvidelse av f.) Ved Teorem 2. er F uniformt kontinuerlig på [0,], og følgelig også på (0, ] (ved Observasjon 2.5). Siden F = f på (0, ], er f uniformt kontinuerlig på (0,]. Siden f er uniformt kontinuerlig på begge intervallene (0,] og [, ), er f uniformt kontinuerlig på (0, ) (ved Observasjon 2.4). På samme måte kan vi vise at f er uniformt kontinuerlig på (,0). De to neste resultatene gir nødvendige betingelser for at en funksjon skal være uniformt kontinuerlig på et intervall, dvs. at de gir egenskaper som en uniformt kontinuerlig funksjon må ha. De kan derfor brukes for å konkludere at en funksjon som ikke oppfyller disse kravene ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Spesielt interessant er det første teoremet: husk at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er begrenset der ved Begrensningsteoremet ( Boundedness Theorem ) (Teorem 5 i Appendiks III i Adams). Fjerner vi betingelsen om at intervallet skal være lukket, gjelder ikke Begrensningsteoremet: tenk f.eks. på den kontinuerlige funksjonen f( = / på det begrensede intervallet (0, ]. En uniformt kontinuerlig funksjon er imidlertid alltid begrenset på et begrenset intervall, selv om intervallet ikke skulle være lukket. Dette følger fra neste teorem: Teorem 2.9. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et begrenset intervall I, da er f også begrenset på I. Bevis. At I er begrenset, betyr at I er på formen [a,b], (a,b], [a,b) eller (a,b), med a,b R. Velg en hvilken som helst > 0, f.eks. =. Siden f er uniformt kontinuerlig, finnes en δ > 0 slik at f( ) f( 2 ) < = når, 2 I og 2 < δ. Del I opp i N like store delintervaller I,...,I N, der N er så stor at bredden på intervallene er b a N < δ. (Det holder med N slik at N > b a δ.) La z i være midtpunktet i I i. (Vi kan regne ut at z i = a+(i 2 )b a N.) For hver i og I i, er z i < δ, og vi har derfor f( = f( f(z i )+f(z i ) f( f(z i ) + f(z i ) + f(z i ). Da må, for I, f( +ma i N { f(z i ) } Sett M := ma i N { f(z i ) }. Da er f( M +. Bemerkning 2.0. Merk at en ekvivalent formulering av teoremet er: Dersom f er ubegrenset på et begrenset intervall I, da er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Dette er grunnen til at teoremet kan brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Bemerkning 2.. Det motsatte av teoremet holder ikke, selv for kontinuerlige funksjoner: f kan være kontinuerlig og begrenset på et begrenset intervall I uten ( ) å være uniformt kontinuerlig der. Et eksempel på dette er funksjonen f( = sin på (0,), se Eksempel 3. nedenunder.
6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Det neste resultatet er svært enkelt og kan i motsetning til Teorem 2.9 også brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et ubegrenset intervall: Sats 2.2. Hvis det for hver h > 0 er slik at f(+h) f( er ubegrenset på I, så er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Dette følger direkte av definisjonen på uniform kontinuitet. Eksempel 2.3. Funksjonen f( = er ikke uniformt kontinuerlig på (0,), ved Teorem 2.9, siden den ikke er begrenset der. Men vi kan også bruke Sats 2.2 til å vise at f( = ikke er uniformt kontinuerlig på (0,): Vi regner ut f(+h) f( = +h h =, (+h) som ikke er begrenset for noen h > 0 for (0,), siden h lim =, 0 (+h) og derfor kan ikke f( = være uniformt kontinuerlig på (0,). (Funksjonen er ei heller uniformt kontinuerlig på noe begrenset intervall (0, a), (a, 0) eller på (0, ) eller (,0).) Hva med intervallet I = (, )? Er f uniformt kontinuerlig her? Tenk litt og se så på fotnoten. 2 Eksempel 2.4. Funksjonen f( = 2 er ikke uniformt kontinuerlig på [0, ). Her er intervallet ikke begrenset, så vi kan ikke bruke Teorem 2.9. Vi kan imidlertid bruke Sats 2.2. Vi har nemlig at f(+h) f( = (+h) 2 2 = 2h+h 2, som ikke er begrenset for noen h > 0, siden lim 2h+h 2 =, slik at f( = 2 ikke er uniformt kontinuerlig på [0, ) ved Sats 2.2. Funksjonen f( = 2 er heller ikke uniformt kontinuerlig på noe annet ubegrenset intervall. 3. Noen flere eksempler Vi avslutter med tre litt mer krevende eksempler, der ingen av resultatene over er tilstrekkelige for å avgjøre spørsmålet om uniform kontinuitet og vi må enten bruke definisjonen direkte eller tenke litt lurt. Eksempel 3.. Funksjonen ( f( = sin er ikke uniformt kontinuerlig på (0,). En funksjon er ikke uniformt kontinuerlig på et intervall I hvis og bare hvis betingelsen i definisjonen ikke er oppfylt: dette betyr at det finnes en > 0 slik at 2 Ja, f( = er uniformt kontinuerlig på (, ), ved Sats 2.2, siden f ( = 2 < for >.
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 7 det ikke finnes noen δ = δ() som oppfyller (.3). Omformulert får vi: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.) 2 < δ og f( ) f( 2 ). (I praksis betyr dette at vi kan finne punktpar vilkårlig nær hverandre, men slik at avstanden mellom funksjonsverdiene holder seg større eller lik et gitt tall. Hvordan finner vi slike punktpar? For funksjoner som har grafer som svinger mye, som i dette eksempelet, kan vi lete etter par av -verdier som gir toppene og bunnene.) I vårt konkrete tilfelle merker vi at ( ) ) (3.2) sin sin( = 2 2 om = π 2 +2πn og = 3π 2 2 +2πn, for et heltall n, som gir 2 (3.3) = π(4n+) og 2 2 = π(4n+3). Vi får 2 2 = π(4n+) 2 4 = π(4n+3) π(4n+)(4n+3) og dette er < δ om 4 (3.4) πδ < (4n+)(4n+3) = 6n2 +6n+3. Dermed, gitt en δ > 0, kan vi velge et stort nok heltall n slik at (3.4) er oppfylt, og la og 2 være som i (3.3). Da vil (3.2) være oppfylt og (3.) vil være oppfylt for = 2. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (0,). Eksempel 3.2. Funksjonen f( = cos er ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Igjen bruker vi kriteriet fra Eksempel 3. over: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.5) 2 < δ og f( ) f( 2 ). Vi tar = (men resonnementet vil også fungere for andre ). La δ > 0 være gitt. Velg h slik at 0 < h < min{δ,π}. Da er sinh > 0. La (3.6) = π 2 +2nπ og 2 = +h for et heltall n. Da vil cos = 0 og sin = og f( 2 ) f( ) = f( +h) f( ) = ( +h)cos( +h) cos = ( +h)(cos cosh sin sinh) cos ( π ) = 2 +2πn+h sinh > 2πnsinh
8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY og dette er dersom (3.7) n 2πsinh (hvor vi har brukt at sinh > 0). Velg derfor et heltall n som tilfredsstiller (3.7) og h slik at 0 < h < min{δ,π} og la, 2 være som i (3.6). Da vil 2 = h < δ og f( ) f( 2 ), slik at(3.5) vil være oppfylt for =. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Eksempel 3.3. Funksjonen f( = sine er uniformt kontinuerlig på [, ). Vi kan ikke bruke Sats 2.2, siden f ( = e cose sine 2 e er ubegrenset (siden lim = ), og vi kan heller ikke bruke Teorem 2. direkte. Gitt > 0. Siden lim f( = 0 (ved Skviseteoremet), vil det per definisjon finnes en R > 0 slik at Derfor har vi at f( < 3 når R. (3.8) f( ) f( 2 ) f( ) + f( 2 ) < 3 + 3 < når, 2 [R, ). Hvis R, er vi derfor allerede ferdige. Om R >, da observerer vi at f er uniformt kontinuerlig på [,R] ved Teorem 2., slik at det finnes en δ > 0 slik at (3.9) f( ) f( 2 ) < 3 når, 2 [,R] og 2 < δ. Om [,R], 2 [R, ) og 2 < δ, da vil også R < δ, slik at f( ) f( 2 ) = f( ) f(r)+f(r) f( 2 ) f( ) f(r) + f(r) + f( 2 ) < 3 + 3 + 3 = og vi er ferdige, ved å kombinere med (3.8) og (3.9). Merk at kjerneobservasjonen i dette eksemplet var at lim f( = 0. Argumentasjonen i dette eksemplet vil fungere på lignende måte for enhver funksjon f slik at grensen lim f( eksisterer. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 2, 5008 Bergen.