Delprøve 1 R1 - Eksamen V09.05.10 Løsningsskisser Oppgave 1 1) Kjerneregel: fx u 4, u x 1 f x 4u 3 x 8xx 1 3 ) Produktregel (og kjerneregel på e x ): g x 1e x xe x 1 xe x lim x xx x lim x x xxx 4xx xxx x 4x4x 4x44x xxx 8x4x xxx 4xx xxx 4 x d) 1) AB 7,5, AC 6,8, BC 1,3 ) AB AC 7,5 6,8 7 6 5 8 8 AB BC 7,5 1,3 71 5 3 8 AC BC 6,8 1,3 61 8 3 18 Ingen skalarprodukt er null, så ingen av disse vektorene står normalt på hverandre. e) fx x 3 8x x 1 1) f1 8 1 0 x 1 er faktor, så polynomdivisjonen x 3 8x x 1 : x 1 gir: fx x 1x 10x 1 x 1x 5x 6 Andregradsformelen gir: fx x 1x 3x ) fx 0 x 1x 3x 0 x 1 - - - - - - - - - - - - - - - -o Ulven 03.05.10 1 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
x 3 x fx - - - - -o - - - - - - - - -o - - - - -o o- - - - - - -o L,3,1 f) lg 1 a 3lg a lg1 lg a 3lg a 0 lga 3lga lga Oppgave ABC ACD : Begge er rettvinklede A felles ABC CBD : Begge er rettvinklede B felles ABC ACD gir foholdet: AC AB AD AC AC AB AD ABC CBD gir forholdet: BC AB DB BC BC AB DB AC BC AB AD AB DB ABAD DB AB AB AB QED Oppgave 3 1) Punkt A, Sirkel med radius 10 cm, B på sirkel, linje AB. Sirkel med radius 7 cm, C som skjæringspunkt med sirkel med AB som diameter; Thales. ) Innsenter ligger på skjæringspunktet mellom halveringslinjene for vinklene i trekanten: Ulven 03.05.10 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
lnx lnx 3 0, x 0 lnx lnx 3 0 u u 3 0, u lnx u 1 u 3 lnx 1 lnx 3 x e x e 3 0.0498 Sannsynligheter for at en tilfeldig mobiltelefon: Kommer fra A: PA 0.7 Kommer fra B: PB 0.3 Har feil: PF A 0.05 PF B 0.1 1) Total sannsynlighet: PF PF A PF B PAPF A PBPF B 0.7 0.05 0.3 0.1 0.065 ) Baye: PA F PF APA PF Oppgave 4 - Alternativ I fx x 3 ax bx 11 PF APA PAPF APBPF B 0.050.7 0.065 0.538 Bunnpunkt: BP 1, 16 ): f1 16 16 1 a b 11 a b 6 I Dessuten: f 1 0 f x 3x ax b 0 3 a b a b 3 II Ligning I og II gir: II I : a 3 Ulven 03.05.10 3 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
Innsatt i I : b a 6 3 6 9 QED f x 3x 6x 9 3x x 3 3x 1x 3-1 3 Fortegnslinje gir: fx : - - - - -o o- - - - - - fx voksende i 1,3 og avtagende i,1 3, TP 3, f3 3, 3 3 3 3 9 3 11 3,16 f x 6x 6 f x 0 6x 6 0 x 1 (abc-formel) Vendepunkt: VP 1, f1 1,0 d) Tangenter med stigningstall 9: f x 9 3x 6x 9 9 3x 6x 0 3xx 0 ): Tangenter for x 0 og x x : y f 9x y 11 9x 18 y 9x 7 x 0 : y f0 9x 0 y 11 9x y 9x 11 e) Graf... Uklar oppgave, forutsetter at a og b i første delen fortsatt er 3 og 9. (Oppgaven burde skrevet ligningen som fx 9x c for å gjøre dette helt klart.) Linjen l : y 9x b er alltid parallell med tangentene i d) l vil skjære tre ganger når l ligger mellom tangentene i d), det vil si når 11 b 7 Oppgave 4 - Alternativ II fx 1 1 x4 x 3 1x x 1 x x 1 Ulven 03.05.10 4 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
f x 1 1 4x3 6x 4x x 6 x 3x 1 f x 1 1 1x 1x 4 x 1x (abc-formel) -1 Fortegnslinje gir: f x o- - - - - -o Vendepunkt: S 1, f1 1, 3 4 P, f, 4 Linje gjennom S og P: y 3 4 3 4 4 1 y 13 x 11 1 6 x 1 1 Skjæringspunkter med fx: 1 x4 x 3 1x 13 1 6 x 4 x 3 1x 13x 0 Fjerdegradsligning, men, vi kjenner to løsninger: x 1 x Så x 1x x x må være en faktor i venstresiden av ligningen, og polynomdivisjon gir: x 4 x 3 1x 13x x x x x 11 x 4 x 3 x x 3 10x 13x x 3 x x 11x 11x 11x 11x x x 11 0 x 13 5 R 13 5,f 13 5 13 5 Q 13 5,f 13 5 13 5, 13 5 19,.85,1.6 8 13 5 19 3.85, 6.01 8 d) Q har altså x 13 5 3. 85 Ser vi på figuren ser vi at det søkte forholdet også er forholdet mellom projeksjonene på en linje parallell med x-aksen. (Dette for å slippe så mye regning :-) ) Ulven 03.05.10 5 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
ST TQ AT TB 5 1 5 1 5 1 xtx S x Bx T 1 13 5 3 13 5 4 3 3 5 3 6 3 5 3 5 1 5 1 51 5 1 1. 618... (Det gyldne snitt!) e) 1) gx x 4 6x x x 6 (Symmetrisk om y-aksen...) y 10 5-10 -5 5 10-5 x -10 ) g x 4x 3 1x g x 1x 1 1x 1 1x 1x 1-1 1 Tall-linjer gir: g x : o- - - - - -o Vendepunkter: S 1 1, g1 1,5 T 1 1, g1 1,5 3) Da vendepunktene har samme y-koordinat blir linjen gjennom dem: y 5 De andre skjæringspunktene: gx 5 x 4 6x 5 x 6x 5 0 x 1 x 5 x 1 x 1 x 5 x 5 Andre skjæringspunkter: 5,g 5 5,5 5,g 5 5,5 4) Bruker igjen projeksjonene på en linje parallell med x-aksen for å slippe å regne med y-verdier: Ulven 03.05.10 6 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
S 1 T 1 T 1 Q 1 xt 1 x S 1 x Q1 x T1 11 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 51 5 1 Dere bør antagelig kommentere omtrent slik: "Igjen får vi det gyldne snitt! Dette kan tyde på at dette gjelder generelt, og det kan være interessant å undersøke dette nærmere med digitale hjelpemidler!" (Hvis vi prøver med det andre skjæringspunktet får vi også det gyldne snitt. Faktisk gjelder dette helt generelt for fjerdegradsfunksjoner; linjen gjennom vendepunktene deles av grafen i tre deler og forholdet mellom den midterste delen og den ene eller den andre av de ytterste delene blir alltid det gyldne snitt!) Oppgave 5 OA a,0, OB b,c, AB b a,c OM 1 OA 1 AB a,0 1 b a,c a b OM 1 OB 1 b,c b, c OM 3 1 OA 1 a,0 a,0 Koordinatene til punktene tilsvarer vektorkoordinatene. S på OM 1 : OS xom 1 a, c ab, c S på AM : OS OA yam De to uttrykkene for OS i gir oss: xom 1 OA yam xom 1 OA yom OA x ab, c a,0 y b, c a,0 x ab, c a,0 y b a, c X: x ab a y b a Y: x c y c X gir: x y Innsatt i Y: x ab a x b ab a x a x b ax x a b b a a x 3a a x y 3 d) OS xom 1 3 ab, c ab 3, c 3 S ab 3, c 3 e) OS OM 1 x 3 (Etter ) Ulven 03.05.10 7 av 8 r1_eks_v09_ls.tex
AS AM y 3 (Etter ) Det siste forholdet: BS OS OB ab, c ab b,c, c 1 3 3 3 3 3 BM 3 OM 3 OB a ab,0 b,c,c 1 a b,c BS 1 3 ab,c 1 3 1 BM 3 ab,c 1 3 Vi har ført et vektorbevis for at: Skjæringspunktet (tyngdepunktet) mellom medianene i en trekant deler medianene i forholdet : 1. Eller sagt på en annen måte: Den største delen av medianene er 3 f) A a,0 6,0 : a 6 av hele medianen. S ab 3, c 3 1,4 : ab 3 1 c 3 4 b 1 3 a 3 6 3 c 1 ): B b,c 3,1 Ulven 03.05.10 8 av 8 r1_eks_v09_ls.tex