Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt av utfallet av et stokastisk forsøk. Eksempler: Aksjekurs om e uke, temperature i morge, levetid for lyspære, atall medaljer Norge tar i ski-vm, atall ulykker på e veistrekig, omsetig i e bedrift este år, atall studeter som får A på eksame i BØK45, atall bilag med feil ved e revisjo, låerete om ett år, atall mål i e fotballkamp, atall som svarer ja i e udersøkelse, osv. Data/datasett er ofte utfall av stokastiske variable. La X=atall kro i tre mytkast. X er da e tilfeldig variabel. Utfallsrom KKK 3 KKM KMK MKK KMM MKM MMK MMM 0 Vi ser at mulige verdier for X i dette eksemplet er 0,, og 3.
Tilfeldige variable er ete diskrete eller kotiuerlige. Defiisjo: E variabel er diskret dersom de ku ka ata et tellbart atall verdier. Eksempler: X=atall kro i m mytkast, Y=atall trykkfeil i ei bok, Z=atall bilag med feil i et regskap, osv Defiisjo: E variabel er kotiuerlig dersom de ka ata e hvilke som helst verdi i et itervall. Eksempler: X=temperatur, Y=børsideks, T=levetid for lyspære, osv I oe situasjoer ka det være e defiisjossak om ma velger å se på e variabel som diskret eller kotiuerlig. I reste av kapittel 5 skal vi se på diskrete variable. Sasylighetsfordeliger I mytkasteksemplet så vi at 3 av de 8 like sasylige utfallee ga verdie X=. Dette ka vi uttrykke: P(X==3/8=0.375. Tilsvarede ka vi rege ut sasylighete for de adre mulige verdiee til X. Vi får da det som kalles sasylighetsfordelige til X. Defiisjo: P(=P(X= for alle mulige verdier er sasylighetsfordelige til de diskrete stokastiske variabele X. Egeskaper:.. 0 P ( P ( Notasjo: Stor bokstav = tilfeldig variabel (før forsøket er utført Lite bokstav = umerisk verdi til variabele (etter forsøket er utført
Mytkasteksemplet X=atall kro i tre mytkast. P(0=/8, P(=3/8, P(=3/8, P(3=/8 og P(=0 for alle adre. Sjekk: P( Vi ka sette sasylighetsfordelige opp i e tabell: 0 3 Forvetigsverdi Forvetigsverdi = gjeomsitt i det lage løp Forvetigsverdie agir setrum i sasylighetsfordelige. Defiisjo: Forvetigsverdie til de diskrete tilfeldige variabele X er: E( X P( P( /8 3/8 3/8 /8 X=atall kro i tre mytkast. Vi ka også tege sasylighetsfordelige: 0 3 P( /8 3/8 3/8 /8 E( 0/83/8 3/83/8.5 P(
Merk at E( ikke treger være blat de mulige verdiee for X. Terigkast X=resultat av terigkast 3 4 5 6 P( /6 /6 /6 /6 /6 /6 E( /6 /63/6 4/65/6 6/6 3.5 Bilutleiefirma med 3 biler. X=atall biler utleid e tilfeldig dag. Av erfarig vet ma at: Bilutleie fortsettelse Ata at fortjeeste, g(, ved biler utleid er: Hva er firmaets forveta fortjeeste per dag? Dvs, hva er E[g(]? Defiisjo: Eksemplet: 0 3 P( 0.5 0.30 0.35 0.0 0 3 g( -700 00 900 700 E[ g ( X ] g( P( 0 3 P( 0.5 0.30 0.35 0.0 Forveta fortjeeste = gj.s. fortjeeste per dag i det lage løp
Varias Varias er et yttig mål som sier oe om hvor mye verdie til e tilfeldig variabel vil variere fra forsøk til forsøk. Varias= mål på spredig omkrig forvetigsverdie Defiisjoer: Variase til de diskrete tilfeldige variabele X er: Alterativ formel som gir eklere regig (se forklarig i boka: Stadardavviket til de diskrete tilfeldige variabele X er: SD( X Var ( X Var ( X E[( X E( X ] ( E( X P( Var( X E( X E( X P( E( X Merk: Var(0 og SD(0 alltid! Varias/stadardavvik er mål på spredig i e sasylighetsfordelig. Utvalgsvarias/utvalgsstadardavvik (kap. er mål på spredig i et datasett. I økoomi vil varias være et mål på risiko (mer om dette seere Dersom vi registrerer mage X-verdier fra e symmetrisk sasylighetsfordelig sier e grov tommelfigerregel at: Ca 68% av verdiee vil ligge i E( SD(, Ca 95% av verdiee vil ligge i E( SD(, Neste alle verdiee vil ligge i E( 3SD(, E( SD( E( SD( E( 3SD(
Terigkast X=resultat av terigkast Var( 3 4 5 6 P( /6 /6 /6 /6 /6 /6 P( E( 6.9 3 6 4 6 5 6 3.5 6 6 6 To ivesterigsprosjekter vurderes. La X=avkastig ved prosjekt og Y=avkastig ved prosjekt. Følgede overslag er gjort: Prosjekt : Gir: E(=30 og Var(=600 Prosjekt : -00-00 0 00 00 P( 0. 0. 0. 0.3 0. y -00-00 0 00 00 P(y 0.5 0.5 0. 0.5 0.5 Gir: E(Y=30 og Var(Y=900 Dvs: - Lik forveta avkastig, E(=E(Y. - Prosjekt har høyest risiko, Var(Y>Var(, dvs større sasylighet for stort tap/stor gevist ved prosjekt.
Regeregler for forvetig og varias La a og b være kostater (faste tall og X e stokastisk variabel. Da gjelder: E(a+ b = a+ be( Var(a+ b = b Var( Spesialtilfeller: b=0 gir: E(a=a og Var(a=0 a=0 gir: E(b = be( og Var(b =b Var( a=0 og b=- gir: Var(- = (- Var( = Var( (NB!! Byggeprosjekt Materialkostadee er a=800 og løsutgiftee per md er b=0. X=byggetid (md 4 5 6 7 8 P( 0.0 0.0 0.60 0.5 0.04 Dette gir at E(=6.0 og Var(=0.5499 Totalkostade blir: K = a+bx = 800+0X Fi E(K og Var(K.
Et firma selger el.artikler. Kjøpes i fra grossist i parti på 50 stk. To tilbud: Grossist A: 3500,- og grossist B: 3570,-. Noe defekte. Omkostiger: 35,- pr defekt ehet. X = atall defekte fra A, Y = atall defekte fra B; Har at: 0 3 4 P( 0. 0. 0.3 0.3 0. y 0 P(y 0.4 0.4 0. Hvor løer det seg for firmaet å kjøpe artiklee? Lieærkombiasjoer av flere variable Regereglee for forvetig og varias ka geeraliseres til flere variable. For eksempel, dersom a, b og c er kostater og X og Y er to stokastiske variable har vi at: E(a+bX+cY = a+be(+ce(y Var(a+bX+cY = b Var(+c Var(Y (ved uavhegighet Regele for forvetigsverdi gjelder alltid, regele for varias ku dersom X og Y er uavhegige. Defiisjo: To stokastiske variable X og Y er uavhegige dersom P X Y y P(X P(Y y, for alle mulige kombiasjoer av X og Y. Betyr i praksis at iformasjo om verdie til de ee variabele ikke påvirker sasylighetsfordelige til de adre.
Regereglee ka geeraliseres videre til et vilkårlig atall variable X,.,X. La a,,a og b være kostater. Da er: E( a X Var( a X a Spesielt får vi: E( X Var( X X a X X b a E( X X b a E( X Var( X a Var( X E( X E( X a Var( X b Var( X (ved uavh. (ved uavh. Atall defekte varer i et parti på 50 fra e grossist hadde følgede sasylighetsfordelig: y 0 P(y 0.4 0.4 0. Vi kjøper to uavhegige parti fra dee grossiste. Hva er forvetet atall feil i de to partiee og hva er sasylighete for at vi får mer e to feilvarer? Ved avhegighet gjelder reglee for forvetigsverdi fremdeles, me for varias kommer et kovariasledd i i tillegg (kap. 6 ikke pesum. Disse reglee vil vi spesielt få bruk for i kap. 8.
Notasjo: Til slutt Ofte bruker ma symbolet for E( og symbolet for Var(, dvs bruker: = E( = Var( = SD( Oppsummerig Tilfeldige variable, diskrete og kotiuerlige. Sett på diskrete her. Sasylighetsfordelig: Forvetigsverdi: Varias: Var( E[( X.. P( 0 P( E ( X P ( E[ g ( X ] g ( P ( E( ] P( E( Stadardavvik: SD( X Var ( X E(a+ b = a+ be( Var(a+ b = b Var( E( X E( E( Var( X X Var( X Var( X (veduavh.