d) Forklar hvordan du kan bruke tellemateriell og illustrasjoner for å utvikle forståelse for plassverdisystemet.

Institutt for lærerutdanning og pedagogikk Denne eksamenen er todelt, både Del 1 og Del 2 må være bestått for at eksamen skal være bestått. Oppgavene skal besvares slik at framgangsmåten eller tankegang kommer klart fram. Del 1: Matematisk kunnskap Oppgave 1 (20 %) a) Presenter de sentrale strukturene i multiplikasjonstabellen og forklar hvordan kunnskap om strukturer kan gjøre det enklere å undervise i multiplikasjon. b) Noen regnestrategier går ut på å kunne gjøre bruk av den distributive loven eller den assosiative loven. Gi eksempel på hvordan hver av disse lovene kan brukes for å regne ut 8 12 (uten oppstilt algoritme). Gjør rede for stegene i resonnementet, og hvor oppdeling i ledd/faktorer og loven kommer inn. c) Hvilke forkunnskaper kreves for å kunne løse oppgaven i b) på de måtene du beskriver? d) Beskriv ulike metoder for overslagsregning. Skriv også hvorfor den enkelte metode kan være nyttig eller viktig. Oppgave 2 (15 %) a) I oldtidens egyptiske tallsystem brukte de disse tallsymbolene: Det egyptiske tallsystemet er et additivt system. Forklar hva som menes med et additivt tallsystem. b) Vårt tallsystem er et posisjonssystem. Forklar hva som ligger i det, og hvordan det er forskjellig fra et additivt tallsystem. c) Lag en subtraksjonsoppgave i et posisjonssystem med grunntall forskjellig fra ti. Tallene som inngår skal være tresifret, og oppgaven innebære veksling. Løs deretter oppgaven uten å gjøre om til titallsystemet. d) Forklar hvordan du kan bruke tellemateriell og illustrasjoner for å utvikle forståelse for plassverdisystemet. 1

Oppgave 3 (15 %) a) Vis med eksempler hvordan begrepene største felles faktor og minste felles multiplum kan komme til anvendelse når vi skal forkorte brøker eller finne fellesnevner. b) Det finnes et kriterium som kan brukes for å avgjøre om et tall er delelig på 4. Beskriv dette kriteriet. Forklar også hvorfor det fungerer ved å ta utgangspunkt i tallet 24724. c) Når en skal avgjøre om et tall er primtall eller ikke er det nok å sjekke om tallet er delelig på primtallene som er mindre enn kvadratroten til tallet. Forklar hvorfor. Del 2: Kunnskap om elevene sin matematiske tenking og kunnskap om undervisning i matematikk. Oppgave 4 (20 %) a) Forklar de tre ulike modellene for brøk. Bruk illustrasjoner. b) Anta at en klasse har arbeidet med addisjon og subtraksjon av brøker. Det er nå tid for å begynne å jobbe med multiplikasjon av brøk. Forklar hvordan du ville introdusere og illustrere dette, og begrunn hvilke oppgaver du ville gi først. c) På tross av din introduksjon så mener en elev at 1 3 = 5 6 = 30 2 5 10 10 10 i. Hvordan kan eleven ha tenkt? ii. Forklar hva du vil gjøre for å hjelpe eleven til å innse at svaret må være feil. iii. Hvordan vil du hjelpe eleven på rett vei? Oppgave 5 (15 %) Elever i 6. klasse og 8. klasse fikk følgende oppgave om tallregning: Sett ring rundt regneuttrykkene som passer til regneoppgaven: 1 kg kjøttdeig koster 69 kr. Kari kjøper 0,6 kg. Hvor mye koster det? 69 0,6 69: 0,6 0,6: 69 0,6 69 69 0,6 Tabellen under viser svarfordeling i prosent. 6. klasse 8. klasse Både 69 0,6 og 0,6 69 (riktig svar) 28 % 46 % 69: 0,6 30 % 25 % Både 69: 0,6 og 0,6 : 69 15 % 5 % (Oppgave 4d i Veiledning til tall og tallregning). a) Hvilke misoppfatninger kan ligge til grunn for de to feilaktige svaralternativene? Gi forklaringer på hva som kan forårsake disse misoppfatningene. 2

b) Hvordan vil du gå fram for å skape en kognitiv konflikt hos elever som har disse misoppfatningene, og deretter hjelpe elevene til å løse konflikten? c) Lag en regnefortelling til divisjonen 69: 0,6. Anvender du målingsdivisjon eller delingsdivisjon? Begrunn svaret. Oppgave 6 (15 %) a) Hva er forskjellen på å telle når man står i gjemsel og på å telle antall blyanter i pennalet? b) Gjør rede for de ulike additive strukturene (problemtypene) legge til, trekke fra, del-delhelhet og sammenligning. c) Hvordan kan du bruke denne kunnskapen i din undervisning? Lykke til! 3

Sensorveiledning LRU-1125 Grunnleggende matematikk 1.-7.trinn Skriftlig eksamen 1.studiea r 2013-2014 Emneplanen sier at dette skal læres første studieår Matematisk kunnskap kunnskap om oppbygginga av posisjonssystemet for heile tal, desimaltal, og samanhengen mellom brøk, desimaltal og prosent oppbygging og strukturar i addisjons-, subtraksjons-, multiplikasjons- og divisjonstabellen den assosiative, kommutative og distributive lova si rolle i grunnleggjande talrekning forståing av fleksible og standardiserte algoritmar for dei fire rekneartane kunnskap om korleis brøk kan illustrerast, danne grunnlag, for forståing av brøkrekning figurtal, primtal, faktorisering og delbarheit talsystem, rasjonale og irrasjonale tal prioriteringsreglar og proporsjonalitet Kunnskap om elevane si matematiske tenking strategiar ved teljing og hovudrekning, og også kunnskap om ulike nivå og viktige steg i utviklinga av desse strategiane kunnskap om kjende problem ved overgangen frå heile tal til desimaltal og brøk, inkludert kjende misoppfatningar. kunnskap om vanlege feil og problem knytte til læringa av standard algoritmar, og korleis desse kan førebyggjast Kunnskap om undervisning i matematikk kunnskap om korleis ein kan undervise elevar i teljestrategiar slik at dei kjem opp på neste nivå konkretisering av posisjonssystemet konkretisering av fleksible og standardiserte algoritmar konkretisering av brøk (mengd, lengde og område) og desimaltal (måling) kunnskap om progresjonen i læring av brøk, frå illustrasjon via likeverdige brøkar til brøkrekning Eksamen består av: ein skuleeksamen på 6 timar (etter 1. studieår) Denne eksamenen er todelt. Del 1: Matematisk kunnskap. Del 2: Kunnskap om elevane si matematiske tenking og kunnskap om undervisning i matematikk. Hjelpemiddel: To A4-ark (fire sider). Eksamen tel 50 %

Pensum Alseth, B. (2009). "Kompetanse og grunnleggende ferdigheter i matematikk", I Grunnleggende ferdigheter i alle fag. Hilde Traavik et. al. (red.), Universitetsforlaget. Brekke, Gard (2002). Introduksjon til diagnostisk undervisning Brekke, Gard: Veiledning til Tall og tallregning. Læringssenteret Grønmo, Liv Sissel (2005). Artikkel "Ferdighetenes plass i matematikkundervisningen" Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Studentlitteratur. Kap. 4 og 5. Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik. Matematikdidaktik för lärare. Studentlitteratur. Kap 4. Skemp, Richard (1976). Artikkel "Relational Understanding and Instrumental understanding" Solem, I.H., Alseth, B. og Nordberg, G. (2010). Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1. til 4.trinn. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag. s.99-116. Van de Walle, John et.al. (2013). Elementary and Middle School Mathematics, Allyn & Bacon; 8. utg. kap 8-13 og 15-17. Vekting av oppgavene Vekting av den enkelte oppgave vil oppgis i eksamenssettet. Generelt i didaktikk (kunnskap om elevene si matematiske tenkning og kunnskap om undervisning i matematikk): Det høyeste nivået er - når en har gode, konkrete og egne eksempel på hvordan man kan anvende teorien i praksis som lærer - preget av et faglig overskudd og evne til å se ulike teorier i sammenheng og vurdere de opp mot hverandre Et middels nivå er - når kandidaten viser at han forstår teorien og klarer å relatere teorien til praksisfeltet gjennom rimelig gode eksempel - når kandidaten kan bruke eksempel på en rimelig selvstendig måte - å kunne gjøre rede for og vise rimelig god forståelse for alle viktige deler av pensum Laveste godkjente nivå er - å gjengi det som står i pensum, med eksempel fra pensum, på en god og oversiktlig måte - preget av at en kjenner sentrale deler av pensum og kan gjengi det, men mangler refleksjon og evne til å utarbeide egne eksempel - å kunne lage rimelig gode eksempel på matematiske aktiviteter, men ikke klare å relatere dette til teori Nivået er for lavt hvis - det er viktige emner fra pensum som ikke er kjent - eksemplene fra praksis er så dårlige at det vil hindre eleven i å lære

Gode eksempel i didaktikk er gode aktiviteter som elevene trolig vil ha godt faglig utbyte av. Teori relatert/knyttet til praksisfeltet er å klare å bruke (anvende) teori som grunnlag for slike gode eksempel. Kandidaten må ha kunnskaper innenfor både matematisk tenkning og undervisning i matematikk for å oppnå de ulike nivåene. Generelt i matematisk kunnskap: For å nå høyeste nivå i matematikk må følgende tre krav være oppfylt : - framgangsmåte/tenkemåten må komme klart fram - svar og framgangsmåte må være riktig - kandidaten må vise god matematisk forståelse og innsikt Et middels nivå er når - framgangsmåte/tenkemåten kommer klart fram - løsningen er riktig, men framgangsmåten er tungvint/uhensiktsmessig - løsningen er feil på grunn av en mindre (regne)feil, men framgangsmåten ellers er rett Laveste godkjente nivå er når - framgangsmåte/tenkemåten kommer klart fram - løsningen inneholder feil (f.eks. to-tre mindre (regne-)feil), men framgangsmåten ellers er riktig Et svar gir ikke uttelling når - løsningen inneholder alvorlige feil - kandidaten viser manglende forståelse (for eksempel ved å ikke kommentere svar som er opplagt feil) - framgangsmåte/tenkemåte ikke kommer fram i det hele tatt Totalt : Generelt kan en si at høyeste nivå tilsvarer karakteren A, middels nivå tilsvarer karakteren C og laveste nivå tilsvarer karakteren E. For å få karakteren A må en totalt sett vise høyeste nivå innenfor både didaktikk og matematikk. For å få bestått eksamen må en vise bredde i kunnskapen og ha minst laveste nivå i både didaktikk og matematisk kunnskap.

Karaktersystem Karaktersystemet ved norske universitet og høgskolar er todelt: Eit bokstavkaraktersystem frå A til F, der A er beste ståkarakter, E er dårlegaste og F er ikkje bestått Eit todelt karaktersystem med verdiane bestått/ikkje bestått Bokstavkaraktersystemet er slik: Symbol A B C D E F Nemning Framifrå Mykje god God Nokså god Tilstrekkeleg Ikkje bestått Generell, kvalitativ omtale av vurderingskriterium Framifrå prestasjon som klart utmerkar seg. Kandidaten viser svært god vurderingsevne og stor grad av sjølvstende. Mykje god prestasjon. Kandidaten viser mykje god vurderingsevne og sjølvstende. Jamnt god prestasjon som er tilfredsstillande på dei fleste områda. Kandidaten viser god vurderingsevne og sjølvstende på dei viktigaste områda. Ein akseptabel prestasjon med nokre vesentlege manglar. Kandidaten viser ein viss grad av vurderingsevne og sjølvstende. Prestasjonen tilfredsstiller minimumskrava, men heller ikkje meir. Kandidaten viser lita vurderingsevne og sjølvstende. Prestasjon som ikkje tilfredsstiller dei faglege minimumskrava. Kandidaten viser både manglande vurderingsevne og sjølvstende.

Høst 2014 LRU-1125 Grunnleggende matematikk 1.-7. trinn - 30 stp Ansvarlig fakultet Fakultet for humaniora, samfunnsvitenskap og lærerutdanning Emnetype Emnet er ein obligatorisk del av integrert mastergradsprogram - lærarutdanning 1.-7. trinn. Emnet kan ikkje takast som enkeltemne. Innhold Følgjande element blir vektlagde: grunnleggjande talrekning, teljestrategiar, hovudrekning, fleksible og standardiserte algoritmar, desimaltal, brøk og prosent, grunnleggjande statistikk, geometri og måling, pre-algebra, problemløysing, diagnostisk undervisning, sannsynlegheitsrekning og statistikk. I løpet av første studieår skal studentane delta i eit tverrfagleg temaarbeid om grunnleggande ferdigheter. Matematikk, norsk og pedagogikk skal bidra like mykje i dette temaarbeidet. I løpet av andre studieår skal studentane delta i eit tverrfagleg temaarbeid om lærarrollen - i samarbeid med norsk og profesjonsfaget. Hva lærer du Kunnskap og forståing: Kunnskap og forståing er delt inn i tre område (matematisk kunnskap, kunnskap om elevane si matematiske tenking og kunnskap om undervisning i matematikk). Desse tre områda skal vektast rimeleg likt i undervisninga av emnet. Etter bestått emne skal studentane ha fylgjande læringsresultat: 1.studieår Matematisk kunnskap kunnskap om oppbygginga av posisjonssystemet for heile tal, desimaltal, og samanhengen mellom brøk, desimaltal og prosent oppbygging og strukturar i addisjons-, subtraksjons-, multiplikasjons- og divisjonstabellen den assosiative, kommutative og distributive lova si rolle i grunnleggjande talrekning forståing av fleksible og standardiserte algoritmar for dei fire rekneartane kunnskap om korleis brøk kan illustrerast, danne grunnlag, for forståing av brøkrekning figurtal, primtal, faktorisering og delbarheit

talsystem, rasjonale og irrasjonale tal prioriteringsreglar og proporsjonalitet Kunnskap om elevane si matematiske tenking strategiar ved teljing og hovudrekning, og også kunnskap om ulike nivå og viktige steg i utviklinga av desse strategiane kunnskap om kjende problem ved overgangen frå heile tal til desimaltal og brøk, inkludert kjende misoppfatningar. kunnskap om vanlege feil og problem knytte til læringa av standard algoritmar, og korleis desse kan førebyggjast Kunnskap om undervisning i matematikk kunnskap om korleis ein kan undervise elevar i teljestrategiar slik at dei kjem opp på neste nivå konkretisering av posisjonssystemet konkretisering av fleksible og standardiserte algoritmar konkretisering av brøk (mengd, lengde og område) og desimaltal (måling) kunnskap om progresjonen i læring av brøk, frå illustrasjon via likeverdige brøkar til brøkrekning 2.studieår Matematisk kunnskap kunnskap om oppbygginga av aktuelle måleeiningar transformasjonar måling som verktøy og måleusikkerheit mønster og generalisert aritmetikk uformell løysing av likningar og ulikskapar matematisering sannsynlegheitsmodellar konkretisering av samansette forsøk (t.d. bruk av trestruktur, tabellar, areal, kombinatorikk) sentralmål og spreidningsmål i statistikk, kritisk haldning til statistikk

Kunnskap om elevane si matematiske tenking kunnskap om korleis elevar utviklar kompetanse i måling (sentrale steg) kunnskap om korleis elevar utviklar kompetanse i geometri (van Hiele) kunnskap om korleis pre-algebra er avgjerande for elevar si utviklinga av algebraisk forståing misoppfatningar knytt til sannsynlegheitsomgrepet Kunnskap om undervisning i matematikk forståing av kva det vil seie å kunne matematikk og korleis ein kan undervise for å oppnå ulike typar kunnskap som fakta, ferdigheit, omgrepsstrukturar, strategiar og haldningar kunnskap om korleis ein kan bruke elevar aktivt slik at dei kan lære matematikk av kvarandre kunnskap om korleis ein får til problemløysing, til dømes gjennom diskusjonar i klasserommet med fokus på argumentasjon og grunngjeving korleis IKT kan brukast i undervisninga av tal og geometri Ferdigheiter Studenten skal kunne leie undervisning med fokus på ulike typar kunnskap planleggje undervisning innanfor eit emne, med fokus på progresjon, prioritering og døme vurdere om elevane sine idear er matematisk haldbare Kompetanse Etter bestått emne skal kandidaten ha undervisningskompetanse i matematikk på 1.-7. trinn. For å ha slik kompetanse treng kandidaten å kunne: bruke den matematiske kunnskapen sin til å vurdere kva som er matematisk haldbart og ikkje i samtale med elevar, i diskusjonar i klasserommet og i vurdering av lærebøker bruke den matematiske kunnskapen sin til å vurdere kva som er sentralt og mindre sentralt i eit pensum, og prioritere og tilpasse undervisninga ut frå dette førebyggje framtidige problem og misoppfatningar bruke kunnskapen sin om elevane si tenking til å tilpasse undervisninga til den enkelte eleven, og til å ta tak i kjende problem og misoppfatningar bruke kunnskapen sin om undervisning i matematikk til å legge opp til ei fornuftig rekkefølgje og progresjon, og vere i stand til å lage matematisk haldbare døme og konkretiseringar bruke kunnskapen sin om læreplanar til å vurdere om lærebøker og eiga undervisning oppfyller krava som er sette

kan legge til rette for progresjon i eleven si læring av grunnleggande ferdigheiter Undervisnings- og eksamensspråk Undervisnings- og eksamensspråket er norsk. Undervisning Studentane vil møte eit variert utval av undervisnings- og læringsformer som individuelt arbeid, gruppearbeid, førelesing og seminar. Sentralt i emnet er arbeid med matematikken ein skal undervise. For å studere korleis elevar tenkjer vil det nyttast video der elevar løyser oppgåver, spel, leikar og diskusjonar. Det vil også fokuserast på kjende problem og misoppfatningar i ulike emne. For å studere korleis ein planlegg og gjennomfører undervisning vil materiell studerast og prøvast ut, video av undervisning analyserast og det vil diskuterast kva som skil god og dårleg undervisning. For å studere matematikken ein skal undervise vil både kompleksiteten i den grunnleggjande matematikken studerast og det vil leitast etter nøkkelkunnskapar og sentrale element i matematisk kunnskap. Målet er å oppnå ei djup og detaljert forståing av kva som skal til for å lære matematikken på 1.-7. trinn. For å oppnå dette vil diskusjon og refleksjon i plenum og grupper stå sentralt. Undervisninga i enkelte tema vil bli undervist i samarbeid med profesjonsfaget. Tilleggsinformasjon for studentar på samlingsbasert fulltidsstudium: Studiet går over ti samlingar første studieår og åtte-ni samlingar andre studieår. Utdanninga er organisert som eit fulltidsstudium, og ein må rekne med jamn arbeidsinnsats gjennom studiet. Samlingsbasert organisering legg til grunn at studentane jobbar aktivt i periodane mellom samlingane, og ein legg også til grunn at studentane bruker digitale verktøy. Emnet vil evaluerast munnleg eller skriftleg minimum ei gong kvart tredje år. Eksamen Følgjande arbeidskrav må vere godkjende før ein kan gå opp til eksamen: mappe første studieår med ca. 4 oppgåver. Kvar oppgåve er på 2-4 sider/800-1 600 ord mappe andre studieår med ca. 4 oppgåver. Kvar oppgåve er på 2-4 sider/800-1 600 ord 70 % deltaking på undervisning

Mappeoppgåvene er knytte til kunnskap om elevane si matematiske tenking og Kunnskap om undervisning i matematikk. Oppgåvene skal gjevast i løpet av heile studiet og er knytte opp mot avsluttande eksamen. Eksamen består av: ein skoleeksamen på 6 timar (etter 1. studieår) Denne eksamenen er todelt, og begge delane må vere bestått for å bestå eksamen. Del 1: Matematisk kunnskap. Del 2: Kunnskap om elevane si matematiske tenking og kunnskap om undervisning i matematikk. Hjelpemiddel: To A4-ark (fire sider) med sjølvvalt innhald. Eksamen teller 50 % ein munnleg individuell eksamen 45 minutt (etter 2. studieår) Denne eksamenen er i heile pensum. Første del av eksamen tek utgangspunkt i mappa med arbeidskrav. Hjelpemiddel: eigne notat. Eksamen teller 50 % Det vert gjeve samla karakter i faget. Ved karakteren F/ikkje bestått på ein av eksamensdelane må berre denne delen takast på nytt. Ved bedømming av eksamen nyttar ein karakterar etter ein skala frå A til E for bestått, og F for ikkje bestått, med A som beste karakter. Ved karakteren F/ikkje bestått kan ein ta kontinuasjonseksamen i byrjinga av påfølgjande semester. Dato for eksamen Skriftlig prøve 22.08.2014 Eksamensdato er foreløpig og vil kunne bli endret. Endelig eksamensdato kunngjøres ved oppslag på det enkelte fakultet primo mai for vårsemesteret og primo november for høstsemesteret. Emnet overlapper disse emnene MATEMAT1B08 Matematikk 1 15 stp Pensum Bergsten et al. (1997). Nämnaren Tema: Algebra för alla. Kap 1-5.

Brekke, Gard (2002). Introduksjon til diagnostisk undervisninghttp://bestilling.utdanningsdirektoratet.no/bestillingstorg/pdf/59447_kar_mat_007_i nnmat.pdf> [Hentet: 14.08.2012] Gjone, Gunnar og Nortvedt, Guri (2001). Veiledning til geometri. Bokmål. Aldersgruppe F og I, Læringssenteret Hals, Sigbjørn (2011): "Geogebra 3.0 for mellomtrinnet", http://www.geogebra.no/content/2200/manualer-og-opplaringshefter(hentet 20.06.2014) Støren, Helge (2001). Veiledning til måling og enheter. Aldersgruppe F og I, Læringssenteret Van de Walle, Karp & Bay-Williams (2014). Elementary and Middle School Mathematics, Allyn & Bacon; 8. utg. Kap 3, 4, 14, 18 22. Drageset, Ove (2014). Korleis leie ein matematisk samtale. I Tangenten 1/2014. Bergen: Caspar Forlag. Andersen, Peer (2014). Grunnleggende Excel-øvelser. Selvvalgt pensum om regning i statistikk og sannsynlighet. Ca.50s Støttelitteratur Birkeland, Breiteig og Venheim (2011). Matematikk for lærere 2.Oslo: Universitetsforlaget. 5.utgave Bjørnestad, Øistein, Kongelf & Myklebust (2006): Alfa. Bergen: Fagbokforlaget Hinna, Kristin R.C. et.al. (2012).QED 1-7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1. Kristiansand: Høyskoleforlaget Kilborn, Wiggo & Löwing (2002): Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Studentlitteratur. Lund: Studentlitteratur Månsson, Anders (2014). Grunnbok i matematikk for grunnskolelærerutdanningen. kap.5 og 6. Solem, Ida Heiberg, Alseth & Nordberg (2010).Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1.-4.trinn. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag. Thomas P. Carpenter, Megan L. Franke og Linda Levi (2003): Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School, Heineman, 2003.