HIN, MSTERSTUDIER Inklusive lösningsförslag: Eksamen i STE 625, Reguleringsteknikk I Oppgavesettet består av 4 oppgaver på 7 sider Varighet: 3 timer. Dato: Tillatte hjelpemidler: lle kalkulatortyper. lle trykte og håndskrevne hjelpemidler. MERK! Løsningene til alle oppgaver skal presenteres slik at alle trinn (untatt trivielle beregninger) kan følges. Faglig kontakt under eksamen er Per-Ole Nyman, som kan nås på telefon (7696) 689 etter kl.. Hver og en av 4 nummererte oppgavene veier like tungt i bedømmelsen, dvs. riktig løst tilsvarer den /4 av maksimalt oppnåelig prestasjon. Dersom en oppgave inneholder deloppgaver som uttrykkelig er markert med (a), (b), (c), etc., veier disse deloppgavene i sin tur like tungt seg imellom. Oppgaver med delmomenter som ikke er markert på denne måten, utgjør bedømmelsemessig en helhet.. (a) Betrakt et tilbakekoplet system som i Figur der prosessen h(s) er gitt av r e u y + k(s) h(s) Figure : Reguleringssytem h(s) = n(s) d(s) med n(s) og d(s) polynomer. nta at regulatoren k(s) er av formen k(s) = n k (s) (s 2 + ω 2 0 )d k(s) der n k (s) og d k (s) er polynomer. Vi antar herved at tellerpolynomene n k (s) og n(s) ikke innholder faktoren s 2 +ω0 2. Vi antar også at regulatoren er valgt slik at det lukkede systemet er asymptotisk stabil. La referansesignalet være r(t) = sin(ω 0 t), t 0 Vis at reguleringsfeilen kan skrives e(s) = n e(s) d e (s) der n e (s) og d e (s) er polynom i s, og der nevnerpolynomet d e (s) har alle sine nullpunkter (røtter) i det venstre halvplanet. Uttrykk n e (s) og d e (s) i termer av teller og nevner polynomene for h(s) og k(s). Lösning: Vi noterar at e(s) = S(s)r(s) = + k(s)h(s) r(s) = n + k (s) ( (s 2 + ω 2 ) = 0)d k (s)d(s) ω 0 (s 2 + ω0 2)d k(s)d(s) + n k (s)n(s) s }{{} 2 + ω 2 = 0 S(s) (s 2 +ω 2 0 )d k(s) n(s) d(s) ω 0 s 2 + ω0 2 d k (s)d(s)ω 0 (s 2 + ω0 2)d k(s)d(s) + n k (s)n(s) =: n e(s) d e (s) Eftersom det slutna systemet er asymptotiskt stabilt, så måste sensitivitetsfunktionen S(s) vara asymptotiskt stabilt. lltså har dess nämnarpolynom (s 2 + ω 2 0)d k (s)d(s) + n k (s)n(s) alla sina nollställen inne i det vänstra halvplanet. Detta polynom är också nämnarpolynomet till e(s).
Im Re -4-3 -2 - Figure 2: Nyquistdiagram for prosess r e u y + K h(s) Figure 3: Reguleringssytem (b) Nyquistkurven for et asymptotisk stabilt systemet G(s) gis i Figur 2. Systemet skal reguleres med en P-regulator med forsterkning K som vist i Figur 3. Bestem for hvilke verdier K > 0 som det lukkede systemet er asymptotiskt stabilt. Lösning: Den öppna kretsen ges av L(s) = KG(s). För K = har denna Nyquistkyurvan i Figur 2. Denna inte omsluter inte punkten För K är Nyqusitkurvan för L(s) = KG(s) en med faktorn K uppförstorad version av den i figuren, och K < är den en med faktorn K förminskad version av den i figuren. Från Figur 2 ser vi att Nyquiskurvan för L(s) = KG(s) inte omsluter punkten om /2 < K < eller 0 < K < /4. För övriga K > 0 omsluter kurvan. Enligt Nyquists förenklade stabilitetskriterium är det slutna systemet därför asymptotiskt stabilt om och endast om K (0,/4) (/2, ). 2. (a) Betrakt en prosess der ẋ = x + Bu y = x = [ ] 0 ω, B = ω 0 [ ] 0, = [ ] med ω 0. Man innfører en tilstandstilbakekopling u = Lx + K r r der L = [4ω 4ω] og K r = 5ω. Bestem det lukkede systemets egenverdier, og det lukkede systemets transferfunksjon fra r til y. Lösning: Det återkopplade systemets -matris är [ ] 0 ω BL = 5ω 4ω 2
vars karktersistiska polynom är ([ ]) λ ω det(λi + BL) = det = λ 2 + 4ωλ + 5ω 2 = (λ + 2ω + iω)(λ + 2ω iω) 5ω λ + 4ω Egenvärden är därför 2ω ± iω. Överföringsfuktionen från r till y är T(s) = (si + BL) K r = [ ] [ ] [ ] s ω 0 5ω 5ω s + 4ω = [ ] ( [ ])[ ] s + 4ω ω 0 5ω(s + ω) s 2 + 4ωs + 5ω 2 5ω = 5ω s s 2 + 4ωs + 5ω 2 (b) Betrakt systemet 0 0 ẋ = 0 0 0 x + 0 u () 0 0 Undersøk om det ved hjelp av tilstandstilbakekopling er mulig å gjøre det lukkede systemet asymptotisk stabilt, respektive stabilt. Lösning: Betrakta en godtycklig (villkorlig) tillståndsåterkoppling u = Lx + v, där L = [l l 2 l 3 ]. Det återkoplade systemet ges då av + l l 2 l 3 ẋ = ( BL)x + Bv = 0 0 0 x + 0 v l l l 3 Vi ser att vi oberoende av hur L väljs har ẋ 2 = 0 x 2 vilket innebär att det återkopplade systemet alltid har en pol i origo, och är därför inte asymptotiskt stabilt. lternativt, kan vi se detta från det karakteristiska polynomet för BL λ + l l 2 l 3 det(λi + BL) = 0 λ 0 l l λ + l 3 som uppenbarligen har en rot λ = 0 (andra raden blir ju då noll, som innbär att även determinanten blir noll). 3. En prosess er gitt av den øvre stiplete blokken i Figur 4. Man ønsker benytte seg av tilstandstilbakekoplingsideen for å regulere denne prosessen, men finner at man bare har tilgang til målesignalet y og ikke til tilstandsvektoren x. Man har dog utviklet en modell av prosessen, vist av den nedre stiplete blokken i Figur 4. (a) Kompletter blokkdiagrammet slik at man utav blokkdiagrammet for modellen får en observator for prosessen. Lösning: Se Figur 5 (b) Forklar hvordan man ved hjelp av observatoren kan benytte tilstandstilbakekoplingsideen for regulering av prosessen. Lösning: Låt processens insignal vara u = Lˆx + K r r där ˆx är tillståndsvektorn i observtören konstruerad i deluppgift (a), dvs. vanlig tillståndsåterkoppling, så när som på att vi bytt ut det äkta tillståndet x mot det rekonstruerade tillståndet ˆx. Återkopplingsmatrisen kan beräknas precis på samma sätt som om vi hade använt oss av det äkta tillståndet. Orsaken till detta är att det ursprungliga systemet har en icke-styrbar mod (egenvärde) i origo [systemet är ju diagonalt, och b 2 = 0]. På grund av att den inte är styrbar kan den inte flyttas med hjälp av återkoppling. 3
u B x y Prosess u B ˆx ŷ Modell av prosessen ˆx Figure 4: Prossess og Prosessmodell 4. Betrakt en mekanisk arm drevet av en elektrisk motor. Transferfunksjonen fra motorspenning till armspissens vinkelposisjon er gitt av G(s) = 9.54 0 7 s(s + 00)(s 2 + 300s + 30000) Bodediagrammet for transferfunksjonen G(s) er gjengitt i Figur 6. Man har prøvet regulere armen med en P-regulator med forsterkning K =. Man får da en akkseptabel fasemargin, men en altfor langsom regulering. Man ønsker en regulator som opfyller følgende spesifikasjoner 2.5 ganger så høy kryssfrekvens som den med P-regulatoren (dvs den med K = ). Fasemargin 50 grader. Regulatoren skal ikke ha unødig stor høyfrekvensforsterkning. Bestem en regulator som opyller dissse spesifikasjonene. Lösning: Med P-regulatorn med förstärkning K = är det öppna systemets Bodediagrammet detsammma som processens. Från Från Figur 6 ser vi därför att skärfrekvensen med denna regulator är 30 rad/s. Önskad skärfrekvens är därför ω c = 2.5 30 rad/s = 75 rad/s. Faskurvan för processen ligger ungefär 0.4 över 80 vid frekvensen ω c = 75 rad/s. Vi behöver därför ett fastillskott på φ = 50 0.4 = 39.6 Detta kan fås med en lead-regulator där h lead (s) = Ts + αts + α = sin φ + sin φ = 0.226 T väljes nu som T = = 0.0283 ω c α (2) 4
u B x y Prosess + u B ˆx ŷ Modell av prosessen ˆx Figure 5: Prossess og Prosessmodell Lead-elementet har vid önskad skärfrekvensen ω c = 75 rad/s rad/s en amplitud som utgör det geometriska medelvärdet av lågfrekvensen och högfrekvensförstärkningen α, dvs. amplitude (i absoluta termer) är där α = 2.24 Processens amplitud är vid samma frekvens är enligt Bode-diagrammet 0.3068. Prosess och lead-elementet har därför tillsammans amplituden 0.3068 2.24 = 0.657. För att ω c = 75 rad/s verkligen skall vara skärfrekvens, måste regulatorns förstärkiningsparamerter K däför väljas K = /0.657 =.5344 [Bodediagrammet för det slutliga, kompenserade, öppna systemet återges i Figur 7.] 5
0 2 Magnitude log scale 0 0 0 0 0 2 0 3 50 00 Phase (degrees) 50 200 250 300 350 0 0 2 Frequency (rad/s) Figure 6: Bodediagram for prosess 6
Plant G(S) [magenta], KG(s) [green], Lead elem. D(s) [red], KD(s)G(s) [bl 0 2 Magnitude log scale 0 0 0 2 0 4 00 0 Phase (degrees) 00 200 300 400 0 0 2 Frequency (rad/s) Figure 7: Bodediagram för system med och utan kompensering, samt för lead element 7