Eksamen REA306 S1, Våren 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) 1) Skriv så enkelt som mulig a b a b a b a b a b a b a b a b a b 3a a b a b a b a b a b a b a b a b a b ) Bruk konjugatsetningen til å bestemme 99 101 99101 100 1100 1 100 1 10000 1 9999 3) Hvis y 100 og y y y y y y y y y 60, hva er da produktet y? y 100 60 40 y 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 1
.ternig b) Vi kaster to terninger. Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir 10. 1. terning 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 1 Tabellen angir de 36 mulige utfallene ved kast av to terninger og viser summen av antall øyne i hvert utfall. 3 1 P 36 1 Tabellen viser at Summen av antall øyne blir 10 c) 1) Løs likningen 3 6 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 6 111 1 3 1 6 6 6 3 6 1 0 4 1 0 41 0 4 16 48 4 64 4 8 6 Må ha 1 ) Løs likningen lg 1 4 lg 1 4 lg 1 1 10 99 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side
3) Bruk potensregneregler til å avgjøre hvilket tall som er størst av 75 35 3 5 5 8 50 5 5 5 3 3 3 9 Siden 9 8 må 3 5 5 50 75 75 og 50 3 d) En kinosal har 80 seter. En voksenbillett koster 100 kroner og en barnebillett koster 60 kroner. Ved en forestilling var salen fullsatt. De samlede billettinntektene var 6 000 kroner. Hvor mange voksne og hvor mange barn var til stede på forestillingen? Jeg kaller antall voksne for V og antall barn for B. Oppgaven gir da at 100V60B6000 VB80 Jeg løser VB80 med hensyn på V V 80 B Jeg setter inn i den første likningen og finner antall barn Antall voksne blir 100 80 B 60B6000 8000 100B 60B 6000 V 80 50 30 40B 000 B 50 Det var 30 voksne og 50 barn på forestillingen. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 3
e) Styret i en ungdomsklubb består av to jenter og fire gutter. To fra styret er invitert til et møte i kommunen for å legge fram klubbens ønsker. Bestem sannsynligheten for at én gutt og én jente møter dersom de trekkes ut på en tilfeldig måte. Jeg bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling 4 1 1 4 8 6 15 15 der! 1 4 4! 431, 4 1 1! 1! 1 1 1 1! 4 1! 131 6 6! 65431 og 15! 6! 1 431 Sannsynligheten for å trekke én gutt og én jente fra gruppen er 8 15. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 4
Oppgave (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f a) Bestem nullpunktene til f. Jeg finner nullpunktene ved å sette f 0 0 0 0 eller b) Tegn fortegnslinjen til f grafen til f. f f 0 0 1 Det er bare for 1 at f og for -verdi større enn 1.. Bruk denne til å finne eventuelle topp- eller bunnpunkter på kan skifte fortegn. Jeg tar stikkprøve for -verdi mindre enn 1, Setter inn 0 og finner: f 0 0 positiv t Setter inn og finner: f 6 negativt Vi kan da sette opp fortegnslinja Funksjonen f har toppunkt for 1. f 1 1 1 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 5
c) Tegn grafen til f når 3,3 Bruker punktene vi har funnet i a) og b) og finner noen ekstra verdier: Se figur. Grafen er her tegnet i GeoGebra! d) Tegn grafen til g 4 i samme koordinatsystem. Se figur. Grafen er her tegnet i GeoGebra! e) Bestem skjæringspunktene mellom f og g ved regning. Der grafene skjærer hverandre er f g f g 4 4 4. Grafen til f og grafen til g skjærer hverandre i punktene, g, 8 og, g,0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 6
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (4 poeng) Lars mener at han kan kjenne igjen et kaffemerke A på smaken i forhold til to andre kaffemerker B og C. Lisa tviler på Lars sine evner og bestemmer seg for å sette opp en såkalt blindtest. Hun setter fram tre kopper som hver inneholder ett av kaffemerkene A, B eller C i tilfeldig rekkefølge. Lars smaker på alle tre koppene, og blir bedt om å avgjøre hvilken kopp som inneholder kaffemerket A. a) Bestem sannsynligheten for at Lars velger koppen med kaffemerket A, dersom han bare gjetter. 1 PLars velger kaffe A 3 Lars velger riktig kopp ved første forsøk. Line mener at det er altfor stor sannsynlighet for at dette skyldes flaks. Hun bestemmer derfor at de skal gjøre testen fem ganger til. b) Forklar hvorfor dette blir et binomisk forsøk dersom Lars ikke har denne evnen. Dette blir et binomisk forsøk fordi følgende tre betingelser gjelder: 1) Sannsynligheten for at Lars velger koppen med kaffemerket A er den samme i alle de fem testene. ) Alle de fem testene gjøres uavhengig av hverandre 3) Alle de fem testene har to mulige utfall. c) Bestem sannsynligheten for at Lars velger kaffemerke A minst fire av disse gangene, dersom han bare gjetter. Sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra viser at sannsynligheten for at Lars velger kaffemerke A minst fire av disse gangene er lik 0,045. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 7
Oppgave 4 (4 poeng) a) Bestem b slik at likningen b 5 0 får nøyaktig én løsning b 5 0 b b b b 4 1 5 100 1 1 Vi får én løsning når b b b b 100 0 100 10 10 b) Løs likningssystemet Jeg løser likningssystemet i wmaima: y y 60 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 8
Oppgave 5 (6 poeng) a) Skriv uttrykket så enkelt som mulig 3 a lgab lg 3lgb 4 b 3 4 lga lgb lga lgb 3lgb lga lgb 3lga 4lgb 3lgb a b 4 4lga 6lgb lg 6 b) Løs likningen 7 4 5 7 45 7 5 lg7 lg lg5 lg7 lg5 lg lg7 lg5 lg lg lg,06004 lg7 lg5 7 lg 5 I WMaima Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 9
c) 1) Avgjør om implikasjonene nedenfor er riktige. Begrunn svarene dine 3 y 7 y 10 3 0 3 Den første implikasjonen er riktig. Hvis 3 og y 7, så må jo y være lik 10. Den andre implikasjonen er ikke riktig fordi 3 0. er også lik 0 når og når ) Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig i noen av utsagnene i c) 1). Den motsatte implikasjonen av den første implikasjonen er ikke riktig. Når summen av to tall er lik 10, så trenger ikke disse to tallene være 3 og 7. Summen av tallene 4 og 6 for eksempel, er også lik 10. Den motsatte implikasjonen av den andre implikasjonen er derimot riktig. Hvis 3, så er 3 0. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 10
Oppgave 6 (10 poeng) En bedrift selger en vare og ønsker å finne en optimal pris per enhet. De har foretatt en markedsanalyse og funnet ut at når prisen er p kroner per enhet, får de solgt enheter slik tabellen nedenfor viser. Pris p 1 16 0 4 8 3 36 Antall solgte enheter 1 153 1 001 839 690 490 380 190 a) Bruk regresjon til å finne en modell for antall solgte enheter som funksjon av prisen p. Jeg brukte lineær regresjon, RegLinListe 1, i Geogebra og fant følgende modell for antall solgte enheter,, som funksjon av prisen p. 40p 1638 Videre i oppgaven går vi ut fra følgende modell for antall solgte enheter 40p 1600 når prisen er p kroner per enhet. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 11
Bedriften ønsker å sette prisen så høyt som mulig, men ikke høyere enn at de får solgt alle enhetene de produserer. b) Vis at inntekten ved salg av enheter er I 0,05 40 Inntekten, I, er lik pris per enhet multiplisert med antall solgte enheter. I p Inntekten er en funksjon både av pris og antall solgte enheter. Vi ønsker inntekten som en funksjon av antall solgte enheter,. I a) fant vi sammenhengen mellom og p. Vi løser denne likningen med hensyn på p. 40p 1600 40p 1600 p 40 p 0,05 40 40 Inntekten som funksjon av blir da p 0,05 40 0,05 40 I I I Bedriften har kommet fram til at kostnadene ved å produsere enheter er K 0,00 10 4000, 0, 100 c) Avgjør om bedriften får et overskudd dersom de produserer og selger 1 000 enheter. Inntekten ved produksjon og salg av 1000 enheter er I 1000 0,05 1000 401000 5000 40000 15000 Kostnadene ved produksjon og salg av 1000 enheter er K 1000 0,001000 101000 4000 000 10000 4000 16000 Kostnadene er større enn inntekten. Det betyr at bedriften ikke får overskudd ved produksjon og salg av 1000 enheter. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 1
d) Tegn grafene til funksjonene K og I i samme koordinatsystem. e) Vis at overskuddet ved produksjon av enheter er gitt ved O 0,07 30 4000 Overskuddet er lik differensen mellom inntekt og kostnader O I K 0,05 40 0,00 10 4000 0,07 30 4000 f) Hva må prisen per enhet være for at overskuddet skal bli størst mulig? Toppunktet på overskuddsfunksjonen tegnet i Geogebra viser at overskuddet er størst når det selges 556 enheter. Da er prisen per enhet p 0,05 40 0,05 556 40 6,10 kr Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 13
Oppgave 7 (4 poeng) Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen 1 og en tangent i punktet, f a f a. Likningen for tangenten er 1 y a a Tangenten skjærer koordinataksene i a) Bestem koordinatene til Aog B. Aog B. I punktet A er y - koordinaten lik null. y 0 1 0 a a a a a a a Punktet A har koordinatene a,0 I punktet B er - koordinaten lik null. 1 y 0 Punktet B har koordinatene a a a 0, a b) Bestem arealet av OAB. Kommenter svaret. 1 AAOB a a Arealet er konstant og uavhengig av verdien til a. Det vil si uavhengig av hvor på grafen til punktet a, f a ligger. f Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 14
Oppgave 8 (8 poeng) En bedrift lager stoler og bord. Produksjonen foregår i tre avdelinger, som tar seg av henholdsvis montering, kontroll og pakking. Monteringsavdelingen har en arbeidskapasitet på i alt 55 min per dag. De bruker 3 min på å montere en stol og 50 min per bord. Kontrollavdelingen har en arbeidskapasitet på i alt 480 min per dag. De bruker min på å kontrollere en stol og 8 min per bord. Pakkeavdelingen har en arbeidskapasitet på i alt 810 min per dag. De bruker 4 min på å pakke en stol og 10 min per bord. a) La være antall stoler og y antall bord som produseres per dag Vis at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene: 0, y 0 y 0,06 50,5 y 0,5 60 y 0,40 81 3 55 Monteringsavdelingen: 3 50y 55 y y 0,06 50,5 50 50 480 Kontrollavdelingen: 8y 480 y y 0,5 60 8 8 4 810 Pakkeavdelingen: 4 10y 810 y y 0,40 81 10 10 I tillegg må antall stoler og bord være lik eller større enn null. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 15
En stol selges for 300 kroner, og et bord selges for 1 600 kroner. Hele produksjonen blir solgt. Bedriften ønsker å innrette produksjonen slik at salgsinntekten blir så stor som mulig. b) Bestem hvor mange stoler og hvor mange bord bedriften må produsere per dag dersom inntekten skal bli størst mulig. Hvor stor er den største inntekten? Inntekten er en funksjon av antall stoler som produseres og antall bord som produseres. I, y 300 1600y Grafen til venstre viser produksjonsbegrensningene. Antall stoler og bord det er mulig å produsere på én dag er representert med punkter i det skraverte feltet. Grafen til høyre viser at maksimal inntekt oppnås når det produseres 50 stoler og 47,5 bord per dag. Dagsinntekten er da I 50, 47,5 30050 47,51600 91000 kr c) Ved denne produksjonsmengden blir ikke hele arbeidskapasiteten ved bedriften utnyttet fullt ut. Undersøk hvor mye den samlede arbeidskapasiteten kunne reduseres uten at det ville få betydning for produksjonen. Monteringsavdelingen: 350 5047,5 55 55 55 0 Kontrollavdelingen: 50 847,5 480 480 480 0 Pakkeavdelingen: 450 1047,5 675 810 675 135 Den samlede arbeidskapasiteten kan reduseres med 135 minutter per dag. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 16
Bedriften lurer på om stolene burde selges for 400 kroner per stol, mens prisen på bord holdes uforandret på 1 600 kroner. d) Vis at den maksimale inntekten da er 96 000 kroner per dag. Forklar at det er mulig å oppnå denne inntekten ved mange ulike produksjonsmengder. Inntektsfunksjonen blir nå I, y 400 1600y. Grafen viser at den maksimale inntekten oppnås for de produksjonsmengder som er representert med punkter på linjestykket mellom punktene 50, 47,5 og 140, 5. Inntekten som vises med glideren I viser at den maksimale inntekten nå er kr 96 000 per dag. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 01 Side 17