S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4) lgab 1 lg ab lga lg b lg1 lga lg b lga lg b 0 lga lg b 3lgalg b b) Løs likningene: 1 1) 1 4 6 6
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning 1 11 1 1 1 4 6 6 3 6 1 3 6 1 7 14 ) 0 4 0 0 4 0 1 0 1 1 4 1 1 1 1 49 1 7 4 1 7 3 c) Tre skruer og to muttere veier 57 gram. Én skrue og tre muttere veier 33 gram. Hvor mye veier én skrue og én mutter? vekten til en skrue i gram y vekten til en mutter i gram 3y57 3y 33 33 3y 3 33 3y y 57 99 9y y 57 7y 99 57 4 y 7 y 6 33 36 15 d) Løs ulikheten 3 3 3 0 3 1 0
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Uttrykket på venstre side er et andregradsuttrykk med pluss foran andregradsleddet og med nullpunkt 1og 3. Da vet vi at uttrykket er negativt mellom nullpunktene. Løsning av ulikheten: 1,3
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave Gitt funksjonen 3 f 3 a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. b) Finn f. Tegn fortegnskjema til f på grafen til f. 3 3 6 3 f 3 f f -1 0 1 3 f - 0 -. Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter f f 0 0 0 verdier Vi får toppunkt 0, f 0 0, og bunnpunkt, f, c) Tegn grafen til f. d) Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra til 3 både grafisk og ved regning. Vi ser av grafen ovenfor at veksthastigheten er 4.
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Ved regning finner vi at gjennomsnittlig veksthastighet er 3 3 3 3 3 3 3 f f 4 3 1 Del Oppgave 3 a) Løs likningen ved regning 10 10 6 0 10 1 1 4 1 6 1 1 14 10 1 5 10 3 lg 3 1 5 10 10 0, ingen løsning. b) Løs likningen ved regning lg lg 5 0 1 lg lg 5 Oppgave 4 5 7 lg lg 5 0 I en bedrift er det ansatt menn og 18 kvinner. Bedriften vil sende 5 av de ansatte på et kurs. Kursdeltakerne velges ut tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for at begge mennene får delta på kurset? Bruker hypergeometrisk fordeling. Sannsynligheten er 18 5 0,053 0 5 Utregning med digitalt hjelpemiddel b) Hva er sannsynligheten for at akkurat én av mennene får delta?
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Sannsynligheten er 18 1 51 0,395 0 5 Av erfaring regner man med at bare 5% av alle de som begynner på kurset, består kurset. c) Hva er sannsynligheten for at akkurat én av de 5 påmeldte består kurset? Bruker binomisk fordeling. 51 Sannsynligheten er 0,5 (1 0,5) 5 0,396 d) Finn sannsynligheten for at eller flere av de 5 påmeldte består kurset. 5 5 5n 0,5 1 0,5 0,367 n Sannsynligheten er n n Utregning med digitalt hjelpemiddel Det er viktig for bedriften at minst én av de ansatte består kurset. For å oppnå dette vil de om nødvendig øke antall deltakere. e) Hva er det minste antallet deltakere bedriften må melde på dersom det skal være en sannsynlighet på 95% eller mer for at minst én av de ansatte skal bestå kurset? Vi løser likningen P minst én består 0,95 1P ingen består 0,95 1 1 0,5 0,95 0,75 0,05 log 0,05 10,4 0,75 Bedriften bør melde på minst 11 deltakere for at sannsynligheten skal bli 0,95 eller mer.
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave 5 Alternativ 1 Tabellen viser folketallet på jorda tre utvalgte år. År 1950 1980 003 Milliarder mennesker,5 4,4 6,3 a) Merk av opplysningene i et koordinatsystem. La være antall år etter 1950, og la y være folketallet i milliarder. b) Bruk regresjon til å finne en eksponentialfunksjon som passer med tallene i tabellen ovenfor. Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i a). Bruker eksponentialregresjon i GeoGebra og ser at grafen til eksponentialfunksjonen passer meget bra med punktene som er oppgitt.
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning (0,0175 ) 0,0175 Regresjonen gir funksjonsuttrykket f e e,53,53,53 1,018 c) Bruk grafen og finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten i 1980. Tegner tangenten til eksponentialfunksjonen i 30, dvs. 1980. Ser at stigningstallet til tangenten er 0,075 i dette punktet. Det betyr at den momentane veksthastigheten i 1980 er 75 000 mennesker. d) Vi antar at eksponentialfunksjonen i b) gjelder. Hvor mange mennesker vil det være på jorda i 00? Finn ved regning når folketallet passerer 8,0 milliarder. 70 f 70,531,018 8,8 Modellen viser at det vil være omtrent 8,8 milliarder mennesker på jorda i 00. 8,0 f,531,018 8,0 1,018 8,0,53 1,018 3,16 lg1,018 lg 3,16 lg1,018 lg 3,16 lg 3,16 lg1,018 64,5 Det vil ta omtrent 64,5 år fra 1950 før folketallet passerer 8,0 milliarder. Det vil si i løpet av 014. PS! På nett finnes det en befolkningskalkulator. Sjekk her hvordan resultatet stemmer med virkeligheten her Befolkningskalkulator
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave 5 Alternativ I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. Vi har gitt funksjonen f 3 6 a) Hvilken -verdi kan vi ikke bruke i uttrykket f? Forklar hvorfor likningen 1 noen løsning. Vi kan ikke bruke verdien 3. Da får vi null i nevneren og brøken er ikke definert. 1 f 3 1 6 3 6 f ikke har 0 9 Vi ser at når vi løser likningen, kommer vi fram til et usant utsagn. Da vet vi at likningen ikke har noen løsning. b) Tegn grafen til f. Velg -verdier i intervallet 6, 6 En funksjon g er gitt ved g 1 c) Tegn grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. Løs likningen f g.
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Løsning på likningen er 1,5 En funksjon h er gitt ved h a 1 h avhenger av verdien til a. f, der a er en konstant. Antall løsninger til likningen d) Hvilke verdier må a ha for at likningen skal få to løsninger? For at likningen skal få to løsninger må a R\ 0, Når a er h g h sammen med den horisontale asymptoten til ingen løsning når a 0,. og likningen har én løsning slik grafen over viser. Når a 0 faller f og vi får ingen løsning. Vi får heller
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave 6 Denne oppgaven har fire delspørsmål. To elever har startet en elevbedrift. De vil lage og selge poser med to forskjellige blandinger av nøtter, rosiner og sjokolade. De har kjøpt inn følgende råvarer: 5,50 kg kasjunøtter 9,00 kg peanøtter 6,75 kg rosiner 4,50 kg sjokoladekuler En pose med blanding A inneholder: 100 g kasjunøtter, 75 g peanøtter, 50 g rosiner, 75 g sjokoladekuler En pose med blanding B inneholder: 50 g kasjunøtter, 15 g peanøtter, 75 g rosiner, 50 g sjokoladekuler Utsalgsprisen for blanding A er 30 kroner per pose. Utsalgsprisen for blanding B er 5 kroner per pose. La være antall poser som selges av blanding A, og y antall poser som selges av blanding B. Bestem og y slik at inntekten blir størst mulig. Løsning I denne oppgaven er det mange opplysninger. Vi får bedre oversikt hvis vi samler opplysningene i en tabell. Posetyper A B Antall poser som selges y 0 og y 0 Kasjunøtter i gram 100 50 10050y 5500 Peanøtter i gram 75 15 7515y 9000 Rosiner i gram 50 75 5075y 6750 Sjokoladekuler i gram 75 50 7550y 4500 Salgspris i kroner per pose 30 5 i, y 30 5y
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning I den siste linjen har vi skrevet inn inntektsfunksjonen. Dette er en funksjon i to variabler, og y. Vi skriver ulikhetene i GeoGebra slik de står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene slik at koeffisientene blir lavest mulige heltall. Vi finner skjæringspunktene mellom linjene og tegner en blå mangekant med hjørner i skjæringspunktene. Punktene i den blå mangekanten representerer nå alle de posefordelinger y, som oppfyller alle betingelsene i oppgaven. Før vi skriver inn inntektsfunksjonen, I, må vi etablere I som en glider ved å gi den en tilfeldig verdi. Vi skriver for eksempel I 000. Når inntekten reduseres, parallellforskyves nivålinjen nedover. Ved å endre glideren ser vi at nivålinjen først treffer mangekanten i punktet gir høyest inntekt. 0,60. Punktet 0,60 er derfor det punktet i den blå mangekanten som Det betyr at maksimal inntekt oppnås når det selges 0 poser av blanding A og 60 poser av blanding B. Inntekten i kroner er da I 30 5y 300 560 100