Løsning eksamen S våren 008 Del Oppgave a) 0 000 0 000 0 0 3 3 b) c) lg 4 0 lg 4 lg 0 00 ) Nullpunktene til f er gitt ved 56 0 ( 5) ( 5) 4 6 5 5 = eller = 3 Nullpunktet til g er gitt ved 6 0 6 3 ) Skjæringspunktene mellom grafene er gitt ved 56 6 7 0 ( 7) 0 = 0 eller 7 = 0 = 0 eller = 7 Nå er g(0) = 0 + 6 = 6 og g(7) = 7 + 6 = 0. Det gir: Skjæringspunktene har koordinatene (0, 6) og (7, 0).
d) Vi regner ut de første radene i Pascaltrekanten. 3 3 4 6 4 Vi utnytter den fjerde raden i trekanten og får ( ) 4 6 4 4 4 0 3 3 0 4 4 3 8 4 3 6 e) Vi har blå og 3 røde kuler og trekker kuler. ) Sannsynligheten for å trekke blå og rød er 3 3 6 3 0,6 5 5 4 5 5 ) Hvis kulene skal ha samme farge, må vi enten trekke to blå eller to røde. Sannsynligheten for å trekke to blå er 3 0 5 5 4 5 0 Sannsynligheten for å trekke to blå er 3 3 0 3 3 5 5 4 5 0 Samlet sannsynlighet blir f) ) 3 4 0, 4 0 0 0 5 4 ) 4 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( )
) 3) ( a b) a ( a ) b a a b a a b 3 3 3 3 b a b a b a a b 4 3 a b 4 ( 3) 3 7 a b a b 3 a b 3 3 3 6 3 6 ( ) 3 a a b a b a b a b a b b b lg( ) lg lg lg (lg lg ) lg lg lg lg 3lg g) Funksjonen f er gitt ved f() = 3 3 +. ) Vi deriverer funksjonen. f ( ) 3 6 3 ( ) Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Funksjonen har et toppunkt for = 0. Der er f(0) = 0 3 3 0 + = Funksjonen har et bunnpunkt for =. Der er f(0) = 3 3 + = 8 + = Funksjonen har bunnpunktet (, ) og toppunktet (0, ). ) Den momentane vekstfarten er 9 når f () = 9 3 6 = 9 3 6 9 = 0 :3 3 = 0 6 4 = eller = 3 ( ) ( ) 4 ( 3)
Del løst uten pc Oppgave a) Sannsynligheten for at Knut skal treffe på alle 0 skuddene er 0,7 0 = 0,08 Vi har her gått ut fra treff eller bom på et skudd ikke påvirker sannsynligheten for å treffe neste gang. Vi har da uavhengighet og bruker en binomisk modell. b) La X være antallet treff på 0 skudd. Vi bruker lommeregneren slik: Casio: Vi velger STAT på ikonmenyen, velger DIST, BINM og Bcd. Der velger vi Variable, setter = 8, Numtrial = 0 og p = 0,7. Det gir svaret 0,85. Teas: Vi taster binomcdf(0, 0.7, 8) og får svaret 0,85. Vi kan også regne slik: Fra a vet vi at P(X = 0) = 0,08. Videre er P(X = 0) = 0 9 9 0, 7 0,3 0, Dermed er P(X 8) = P(X = 0) P(X = 9) = 0,08 0, = 0,85 c) Sannsynligheten for minst 7 treff er P(X 7) = P(X 6) Casio: Vi går fram som ovenfor, men nå velger i i stedet = 6. Det gir svaret 0,35. Dermed er P(X 7) = P(X 6) = 0,35 = 0,65 Teas: Vi legger inn dette uttrykket binomcdf(0, 0.7, 6) = 0,65 d) Her er sannsynligheten p ukjent. Må bestemme p slik at P(X 6) = P(X 7) = 0,80 = 0,0 Vi vet at p må være større enn 0,7, for med p = 0,7 er sannsynligheten for premie lavere enn 0,80. Casio: Vi bruker bcd som forklart ovenfor med = 6. Vi prøver oss fram med p verdier over 0,7. Med p = 0,75 får vi svaret 0,. Det er for høyt. Med p = 0,7 får vi svaret 0,79.
Det er litt for lavt. Med p = 0,76 får vi svaret 0,0. Det er litt for høyt. Med p = 0,76 får vi 0,99. Det riktige svaret er dermed omtrent midt mellom 0,760 enn 0,76. Men vi runder av og setter p = 0,76 Teas: På samme måten som for Casio kan vi prøve oss fram med ulike verdier for p. Men her bruker vi uttrykket binomcdf(0, p, 6) og prøver å få dette uttrykket så nær 0,8 som mulig Vi kommer fram til p = 0,76 passer godt. Men vi kan også finne svaret på denne måten. Trykk på Y= og legg inn Y = binomcdf(0, X, 6) Y = 0,8 Vi tegner så grafen til de to funksjonene og finner skjæringspunktet ved hjelp av Intersect. Det gir svaret p = 0,76056 Oppgave 3 Alternativ I f '() - - -3 3 4 a) Funksjonen vokser når f () > 0. Det er når < < 3. Funksjonen avtar når f () < 0. Det er når < og når > 3. Funksjonen f vokser når < < 3 og avtar når < og når > 3. b) Vi har toppunkter og bunnpunkter der f () = 0. Det er når = og når = 3. Fra oppgave a vet vi at funksjonen avtar når < og vokser når er litt større enn. Da må f ha et bunnpunkt for =. Funksjonen vokser når er litt mindre enn 3 og avtar når > 3. Da må f ha et bunnpunkt for = 3. Funksjonen f har et bunnpunkt for =, et toppunkt for = 3.
Her er vi i tvil om det menes brattest oppover mot høyre eller brattest totalt. Grafen går brattest oppover der vekstfarten er størst. Det er når f () er størst. Grafen viser at det er når =. Den er da i ferd med å gå enhet oppover per enhet mot høyre. Grafen går brattest oppover mot høyre når =. Men grafen til f viser at f () = 3 når = 0 og når = 4. Den går da i ferd med å gå 3 enheter nedover per enhet mot høyre. Grafen er brattest nedover mot høyre når = 0 og når = 4. c) Ettersom f er den deriverte av en tredjegradsfunksjon, er f en andregradsfunksjon. Fra grafen vet vi at f har nullpunktene = og = 3. Da må f () = a( )( 3) = a( 3 + 3) = a( 4 + 3) Dermed er f (0) = a (0 4 0 + 3) = 3a Fra grafen ser vi at f (0) = 3. Det gir likningen 3a = 3 a = Dermed er f () = () ( 4 + 3) = + 4 3 d) Vekstfarten er lik når f ( ) 43 4 0 Vi bruker andregradsprogrammet og får = 0,59 eller = 3,4 e) Her er en skisse av grafen: y - - 3 4
Oppgave 3 Alternativ II 0 5 0 5 0 f() 47 48 46 460 496 a) Gjennomsnittlig vekstfart fra 990 til 000 er 460 48 4 4, 5 5 0 Den gjennomsnittlige vekstfarten var 4, biler per år. Den forteller at det blant 000 innbyggere økte biltallet med 4, per år. b) Vi legger tallene inn i listene på lommeregneren og utfører en andregradsregresjon. Det gir svaret f() = 0,74,49 + 47 c) Funksjonen har denne grafen: 500 y 480 460 Vekstfart 6,73 440 40 400 4 8 6 0
d) Vi deriverer funksjonen. f () = 0,74,49 = 0,548,49 Vekstfarten i året 000 var f (5) = 0,548 5,49 = 6,73 e) I 000 var det 460 registrerte biler per 000 innbyggere. Ettersom vekstfarten var 6,73, var tallet i 00 økt til 460 + 6,73 = 466,73. Det var 4 500 000 innbyggere i 00. Biltallet var da 466,73 4500 = 00 85,0 millioner Oppgave 4 Tabellen viser antallet minutter som Kari, Arne og Harald bruker per kasse epler og pærer. Kari Arne Harald Epler 0 0 Pærer 0 4 30 Vi lar være antall kasser epler og y antall kasser pærer. a) Verken eller y kan være negative tall. Altså er 0 og y 0. Fra tabellen ser vi at Kari bruker 0 time per kasse på plukking av både epler og 60 3 pærer. Antall timer hun bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Hun 3 3 arbeider maksimalt 6 timer. Det gir ulikheten y 6 3 3 3 y 8 y 8 Arne bruker time på å sortere en kasse epler og 4 time på en kasse pærer. 60 5 60 5 Antall timer han bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Han arbeider 5 5 maksimalt 5 timer. Det gir ulikheten
y 5 5 5 5 y 5 y 5 y,5 Harald bruker 0 time på å pakke en kasse epler og 30 time på en kasse pærer. 60 3 60 Antall timer han bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Han arbeider 3 maksimalt 6,5 timer. Det gir ulikheten y 6,5 6 3 3y 39 3y 39 3 y 3 3 b) Vi tegner linjene og skraverer området. 0 y 6 Kari Harald Nivålinje 8 4 3 Arne 4 8 56 0 c) Vi undersøker om de kan tjene 4000 kr til sammen per dag. Ettersom de tjener 50 kr per kasse epler og 00 kr per kasse pærer, må da
50 + 00y = 4000 00y = 50 + 4000 :00 50 4000 y 00 00 3 y 0 4 Vi har tegnet denne nivålinja i koordinatsystemet ovenfor. Den berører ikke det mulige området. Når vi parallellforskyver nivålinja, vil det første punktet den berører være skjæringspunktet mellom Kari-linja og Harald-linja. Punktet har koordinatene (5, 3). Det tjener dermed best hvis de plukker 5 kasser epler og 3 kasser pærer. Inntekten blir 50 kr 5 + 00 kr 3 = 850 kr d) Skjæringspunktet med det mulige området ligger under Arne-linja. Han arbeider dermed ikke full dag. Tallet på timer han arbeider blir 6 y 5 3 3 3 4 5 5 5 5 5 5 5 Ettersom 5 time er minutter, får vi: Arne arbeider 4 timer og minutter.