2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Sannsynligheter kan finnes på tre måter. Empirisk, dvs. ved å gjøre forsøk. Teoretisk, dvs. ved å regne. Subjektivt, dvs. ved (kvalifisert) gjetning. 3 Empirisk sannsynlighet Eksempel: Kast én terning. Hva er sannsynligheten for å få 1 er? 4 Teoretisk sannsynlighet for en hendelse ( event ) La hendelse A være at terningen viser 1. Den teoretiske sannsynligheten for A skrives P(A). (P for probability). For en normal terning skal vi senere se at P(A) =1/6. Empirisk sannsynlighet for A skrives P (A). Denne finnes ved å: kaste terningen n ganger registrere n(a) antall ganger 1 inntreffer regne ut P (A) = n(a) n som er den relative frekvensen av hendelse A. Når n blir stor vil P (A) etterhvert nærme seg P(A). Dette kalles store talls lov: Når antall forsøk n øker, vil den relative frekvensen til en hendelse nærme seg den teoretiske sannsynligheten for hendelsen. Eksperiment Aktiviteten som gir et resultat eller en observasjon. Utfall Et bestemt resultat fra et eksperiment ( outcome, sample point ) Utfallsrom Mengden av alle mulige utfall av et eksperiment, betegnet S ( sample space ). n(s) betegner antall utfall i utfallsrommet. Hendelse Et resultat av eksperimentet som vi ønsker sannsynligheten for. Vil være en delmengde A av utfallsrommet. For en hendelse A er n(a) antall utfall i A.
5 6 Teoretisk sannsynlighet (forts.) Eksempel: Kast en mynt Sannsynlighet Hvis alle utfall i S er like sannsynlige, er teoretisk sannsynlighet for A = dvs. P(A) = n(a) n(s) antall utfall som gir A totalt antall utfall i S Utfall Krone (H) eller Mynt (T ) Utfallsrom S = {H, T } og n(s) =2 Hendelse Ønsker for eksempel sannsynligheten for hendelsen A = Krone dvs. H. Daern(A) =1. dvs. Teoretisk sannsynlighet for A = P(A) = n(a) n(s) = 1 2 antall utfall som gir A totalt antall utfall i S 7 Eksempel: Kast en terning Utfall 1,2,3,4,5 eller 6 øyne Utfallsrom S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og n(s) =6 Hendelse Ønsker for eksempel sannsynligheten for hendelsen A = minst 5 øyne = {5, 6}. Daern(A) =2. dvs. Teoretisk sannsynlighet for A = P(A) = n(a) n(s) = 2 6 = 1 3 antall utfall som gir A totalt antall utfall i S 8 Eksempel: Kast to terninger Utfallsrommet S har n(s) =6 6 = 36 og kan skrives opp i et gitter Andre terning 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Første 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 La A = sum øyne er 5. Da er P(A) = n(a) n(s) = n({(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4)}) n(s) = 4 36 = 1 9
Oppgave: Kast to terninger og la den interessante hendelsen være A at sum øyne er lik 5. Oppgave: Kast to terninger og legg sammen tallene. Hvilke(n) sum(mer) er mest sannsynlig(e)? Forklar at dersom utfallet defineres som sum antall øyne, kan utfallrommet skrives S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Hvorfor kan vi ikke da slutte at P(A) = n(a) n(s) = 1 11? (Husk at vi fikk 1 9 tidligere.) 11 Eksempel: Trediagram Kast tikrone og femkrone og registrer utfallet. Trediagrammet lages slik: 10 er H 5 er H T Utfall H,H H,T 12 Eksempel: Trediagram (fra boka) Trediagram for familie med tre barn (B=gutt, G=jente) T H T T,H T,T Liste: S = {(H, H), (H, T ), (T, H), (T, T )} n(s) =4
14 Egenskaper ved sannsynligheter Oppgave: En mynt og en terning blir kastet. Skriv opp utfallsrommet S ved hjelp av et trediagram en liste et gitter Hva er n(s)? Egenskap 1 for sannsynligheter: En sannsynlighet er alltid et tall mellom 0 og 1, dvs. 0 P(A) 1 Sannsynligheten er null dersom hendelsen ikke kan inntreffe. Sannsynligheten er 1 dersom hendelsen inntreffer hver gang. Ellers er den gitt ved en forventet relativ frekvens, dvs. forventet antall ganger A vil inntreffe i n forsøk dividert på n (som blir et tall mellom 0 og 1). 16 Egenskap 2 for sannsynligheter: Summen av sannsynlighetene for alle mulige utfall s i et eksperiment er eksakt lik 1, dvs. ΣP(s) =1 Eksempel: Kast én terning. Da er S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og P(1) =P(2) =P(3) =P(4) =P(5) =P(6) = 1 6. ΣP(s) =1/6 + 1/6 +...+ 1/6 = 1 Betinget sannsynlighet (4.3) En betinget sannsynlighet er den forventede relative frekvens for en hendelse dersom det er gitt en tilleggsinformasjon om en annen hendelse. P(A B) brukes for å uttrykke den betingede sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen B har inntruffet, dvs. kort: Sannsynligheten for A gitt B
Major Columns: LA T All BA 4 6 2 12 F 6 5 7 18 M Se igjen på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). Rows: Gender 10 11 9 30 All Anta at én av de 30 studentene velges tilfeldig. 1. Sannsynligheten for at denne har major i LA er 11/30 = 0.37 2. MEN: Hvis vi får vite at den uttrukne er en kvinne, er sannsynligheten for at hun har major i LA lik 6/12 = 0.5 3. OGSÅ: Hvis vi får vite at den uttrukne er en mann, er sannsynligheten for at han har major i LA lik 5/18 = 0.28 Dette er eksempler på betingede sannsynligheter. (forts.) La A være hendelsen at den uttrukne har major LA. La B være hendelsen at den uttrukne er kvinne. La C være hendelsen at den uttrukne er mann. Da er sannynlighetene på forrige slide: P(A) = P(major i LA) =0.37 P(A B) = P(major i LA kvinne) =0.5 P(A C) = P(major i LA mann) =0.28 19 Regler for sannsynligheter (4.4) Komplementet til en hendelse A: Mengden av alle utfall som ikke hører til A. Skrives Ā (leses A-komplement ) Fortolkning: Ā er hendelsen at A ikke inntreffer. Eksempel: Kast én terning og la A betegne partall antall øyne. Da er Ā hendelsen at antall øyne er et oddetall. Fordi A og Ā tilsammen dekker hele utfallsrommet, har vi at P(A)+P(Ā) =1 Dette gir komplementregelen: Sannsynligheten for komplementet til A er lik 1 minus sannsynligheten for A, dvs. P(Ā) =1 P(A) Alle hendelser har et komplement. Iblant er det enklere å beregne sannsynligheten for Ā enn for A. Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen blir større enn eller lik 4? A=summen er større enn eller lik 4 Ā=summen er mindre enn eller lik 3 n(ā) P(A) =1 P(Ā) =1 n(s) n({(1, 1), (1, 2), (2, 1)}) = 1 n(s) = 1 3 36 = 1 1 12 = 11 12
22 Odds Oppgave: La X være summen av to terningkast. Hva er P(X 3)? A) 1/6 B) 1/36 C) 35/36 D) 2/36 E) 11/12 Eksempel: Anta at 3/4 av studentene består en bestemt test, mens 1/4 dermed stryker. Oddsen i favør av å bestå eksamen er da 3/4 1/4 = 3 Oddsen for en hendelse er generelt definert ved Odds(A) = P(A) P(Ā) 23 Sammensatte hendelser dvs. kombinasjoner av flere hendelser. Betrakt to hendelser A og B. Disse kan for eksempel være Kast en terning og registrer antall øyne: A=partall B=5 eller bedre Ta sit-ups A=flere enn 10 sit-ups B=færre enn 20 sit-ups Trekk student fra en populasjon A=kvinne B=fulltidsstudent Interessante problemer er: Hva er P(A eller B), dvs. sannsynligheten for at hendelse A eller B (eller begge) inntreffer? Hva er P(A og B), dvs. sannsynligheten for at både A og B inntreffer? Hva er P(A B), dvs. den betingede sannsynligheten for at A inntreffer gitt at B har inntruffet? (Har allerede sett eksempel på dette)
Major Columns: LA T All BA 4 6 2 12 F 6 5 7 18 M 25 Den generelle addisjonsregel La A og B være to hendelser definert i et utfallsrom S. sannsynligheten for A eller B (eller begge) = sannsynligheten for A + sannsynligheten for B - sannsynligheten for A og B, Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen er 10 (hendelse A) eller at terningene viser to like (hendelse B)? dvs. P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb) Se igjen på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). P(A eller B) =P(A)+P(B) P(AogB)= 3 36 + 6 36 1 36 = 8 36 = 2 9 Rows: Gender All 10 11 9 30 Anta at én av de 30 studentene velges tilfeldig. La A være hendelsen at den uttrukne har major LA. La B være hendelsen at den uttrukne er kvinne. siden hendelsen A og B her svarer til det ene utfallet (5, 5). Da er: P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb)= 11 30 + 12 30 6 30 = 17 30
Major Columns: LA T All BA 4 6 2 12 F 6 5 7 18 M 29 Illustrasjon av den generelle addisjonsregel 30 Den generelle multiplikasjonsregel La A og B være to hendelser definert i et utfallsrom S. Hvaer sannsynligheten for at både A og B inntreffer? sannsynligheten for A og B = sannsynligheten for A sannsynligheten for B gitt A, dvs. P(A ogb)=p(a) P(B A) P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb) 31... Se nok en gang på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). Rows: Gender eller også (siden A og B kan byttes om:) P(A ogb)=p(b) P(A B) All 10 11 9 30 der A er hendelsen at den uttrukne har major LA, og B er hendelsen at den uttrukne er kvinne. Vi har tidligere funnet at: P(B) = 12 30, P(A B) = 6 12 = 1 2 hvorfor? Den generelle multiplikasjonsregel gir da at P(A ogb)=p(b) P(A B) = 12 30 1 2 = 6 30 som vi også kan lese av fra tabellen.
33 Trekking uten tilbakelegging En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (R). To kuler trekkes uten tilbakelegging, dvs. at det først trekkes en og at det så trekkes en til uten å legge den første tilbake. La A = den første kulen er gul (Y) B = den andre kulen er gul (Y) Da er P(begge kulene er gule) =P(AogB)=P(A) P(B A) = 5 7 4 6 = 20 42 34 Forts. P(en av hver farge) =P(YR)+P(RY )= 7 2 5 6 +2 7 5 6 = 10 42 +10 42 = 20 42 P(to røde) =P(RR) = 2 7 1 6 = 2 42 35 Disjunkte hendelser (4.5) To disjunkte (gjensidig utelukkende) hendelser: Hendelser definert slik at dersom en av hendelsene inntreffer, kan den andre ikke inntreffe. dvs. P(A ogb)=0 eller med Venn-diagram: Hvis vi har flere enn 2 hendelser, kalles disse parvis disjunkte ( mutually exclusive ) hvis hvert par av dem er disjunkte etter definisjonen på forrige slide. Eksempel: Betrakt et eksperiment der to terninger blir kastet. Tre hendelser er definert: A: Summen av tallene på terningene er 7 B: Summen av tallene på terningene er 10 C: Begge terningene viser samme tall. Er disse tre hendelsene parvis disjunkte?
A: Summen av tallene på terningene er 7 B: Summen av tallene på terningene er 10 C: Begge terningene viser samme tall. 38 Den spesielle addisjonsregelen For disjunkte hendelser A og B gjelder P(A eller B) =P(A)+P(B) Denne regelen kan generaliseres: A og B er disjunkte. A og C er disjunkte. B og C er ikke disjunkte, fordi BogC=(5, 5) For parvis disjunkte hendelser A, B, C... E gjelder P(A eller B eller C eller... eller E) =P(A)+P(B)+P(C)+...+P(E) De tre hendelsene er dermed ikke parvis disjunkte (selv om alle tre ikke kan inntreffe samtidig). Illustrasjon av den spesielle addisjonsregelen: Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen er 7 (hendelse A) eller at terningene er like (hendelse B)? Hendelse A (grønn) og B (blå) er disjunkte (inntreffer A kan ikke B inntreffe og motsatt, se figur under). Her er A og B disjunkte, og vi har: P(A eller B) =P(A)+P(B)
Regelen over gir da P(A eller B) =P(A)+P(B) = 6 36 + 6 36 = 1 3 Oppgave: Et par terninger blir kastet. Hendelsene er A=summen er 7, C=to like, E=summen er 8. a) Hvilke par av hendelser er disjunkte? b) Finn sannsynlighetene P(A eller C), P(A eller E), og P(C eller E) 43 Uavhengige hendelser (4.6) To hendelser A og B er uavhengige hendelser hvis det at A har hendt (eller ikke har hendt) ikke påvirker sannsynligheten for at B skal hende, dvs. eller P(A) =P(A B) =P(A ikke B) P(B) =P(B A) =P(B ikke A) Dersom den ene av linjene er oppfylt vil alltid den andre være det også. Hendelser som ikke er uavhengige, kalles avhengige. Husk den generell multiplikasjonsregel: P(A ogb)=p(a)p(b A) Dersom A og B er uavhengige, har vi P(B A) =P(B), så vi får: Den spesielle multiplikasjonsregel: P(A ogb)=p(a)p(b) Dette kan generaliseres til tilfellet med mer enn to uavhengige hendelser: For uavhengige hendelser A, B, C... E gjelder P(A ogbogcog... og E) =P(A) P(B) P(C)... P(E)
45 Eksempler på uavhengighet Kast en terning og en mynt. A er at terningen gir en 6er, B er at mynten lander på Kron (H). Hvorfor er P(B A) =P(B)? Hva blir P(A ogb)? Kast en mynt to ganger. A er at mynten lander på H i første kast, B er at mynten lander på H i andre kast. Hvorfor er P(B A) =P(B)? Hva blir P(A ogb)? Trekk to kort fra en kortstokk ved at det først trekkes ett kort, som legges tilbake, og at det så stokkes på ny og trekkes et nytt kort. A er at det er en spar i første trekning, B er at det er en hjerter i andre trekning. Forklar hvorfor A og B er uavhengige. Ville disse hendelsene være uavhengige dersom du ikke la tilbake det første kortet før du trakk det andre? 46 Trekking med tilbakelegging En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (R). To kuler trekkes med tilbakelegging, dvs. at det først trekkes en kule, så legges denne tilbake, og det trekkes en kule til. La Da er A = den første kulen er gul (Y) B = den andre kulen er gul (Y) P(begge kulene er gule) =P(AogB)=P(A) P(B A) = 5 7 5 7 = 25 49 siden vi nå har at: P(B A) = 5 7 = P(B) er altså A og B uavhengige. 47 Formel for betinget sannsynlighet Ved å stokke om på generell multiplikasjonsregel, P(A ogb)=p(a) P(B A) får vi et uttrykk for sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen B har inntruffet: P(A ogb) P(B A) = P(A) Eksempel: En student blir trukket tilfeldig fra en populasjon bestående av 200 studenter hvorav 140 studerer fulltid (80 kvinner og 60 menn) og 60 studerer deltid (40 kvinner og 20 menn). La hendelse A være at studenten studerer fulltid og hendelse C at studenten er kvinne. a) Finn P(A), P(C), P(A og C) b) Finn P(A C) og P(C A) c) Er A og C uavhengige?
a) A=fulltid C=kvinne P(A ogc)= P(A) = n(a) n(s) = 140 200 = 0.7 P(C) = n(c) n(s) = 120 200 = 0.6 n(a ogc) n(s) = 80 200 = 0.4 b) P(A C) = P(C A) = P(A ogc) P(C) P(A ogc) P(A) = 0.4 0.6 = 0.67 = 0.4 0.7 = 0.57 c) A og C er avhengige siden P(A C) P(A), P(C A) P(C) Oppgave (eksamen høst 2005): Hva er sannsynligheten for at summen av to terninger er større enn eller lik 10 gitt at minst en av terningene er 6? A) 1/4 B) 1/3 C) 5/11 D) 6/11 E) 52 Uavhengighet og disjunkthet (4.7) Uavhengighet og disjunkthet er begreper som ofte blandes. La A og B være to hendelser med positive sannsynligheter P(A) og P(B). AtAog B er disjunkte, betyr at de ikke kan inntreffe samtidig, dvs. at P(A ogb)=0 AtAog B er uavhengige betyr at sannsynligheten for B ikke endrer seg dersom vi vet om A har inntruffet, dvs. at vi har P(A ogb)=p(a)p(b A) =P(A)P(B) Men dette kan ikke være 0 da både P(A) og P(B) er positive. To hendelser kan defor ikke både være disjunkte og uavhengige.
Oppgave: Dersom P(A)=0.3 og P(B)=0.4 og A og B er uavhengige hendelser. Hva er sannsynlighetene a) P(A og B) b) P(B A) c) P(A B) Oppgave: Trekk et kort fra en standard kortstokk. Definer tre hendelser A=kortet er knekt,dame eller konge B=kortet er rødt C=kortet er hjerter Er følgende par av hendelser uavhengige? a)aogb b)aogc c) B og C Oppgave: Trekk et kort fra en standard kortstokk bortsett fra at kløver 2 mangler. Definer tre hendelser A=kortet er knekt,dame eller konge B=kortet er rødt C=kortet er hjerter Er følgende par av hendelser uavhengige? a)aogb b)aogc c) B og C 56 Bruk av sannsynlighetsregning La oss bruke reglene vi har vært igjennom. Eksempel: En boks inneholder en rød, en blå og en hvit kule. Trekk to kuler uten tilbakelegging.
Utfallene og deres sannsynligheter kan finnes ved hjelp av et sannsynlighetstre. Sannsynligheten for et utfall finnes ved å multiplisere (betingede) sannsynligheter langs grenene: P(R,B)=P(R)P(B R) osv. Sannsynligheten for en hendelse finnes ved å summere sannsynlighetene for de utfall som hører til hendelsen. 1/3 1/3 1/3 R B H B H R H R B Gren 1 2 3 4 5 6 Utfall P (R,B) 1/6 (R,H) 1/6 (B,R) 1/6 (B,H) 1/6 (H,R) 1/6 (H,B) 1/6 Sannsynligheten for gren 1: P(R, B) =P(R)P(B R) =1/3 = 1/6 Sannsynligheten for hendelsen en rød og en blå kule : Gren 1 og gren 3 gir en rød og en blå kule, så addisjonsregelen gir: P(en rød og en blå kule) =1/6 + 1/6 = 1/3 1/3 1/3 1/3 R B H B H R H R B Gren 1 2 3 4 5 6 Utfall P (R,B) 1/6 (R,H) 1/6 (B,R) 1/6 (B,H) 1/6 (H,R) 1/6 (H,B) 1/6 59 Eksempel: Kvalitetskontroll En produsent produserer en artikkel. I gjennomsnitt er 20% av artiklene defekte. Hver artikkel blir kontrollert før den sendes ut. Kontrolløren feilklassifiserer artikkelen 10% av gangene. Hvilken andel av artiklene blir klassifisert som feilfrie? Definer følgende hendelser: G: Artikkelen er feilfri D: Artikkelen er defekt CG: Artikkelen er klassisfisert feilfri av kontrollør CD: Artikkelen er klassifisert defekt av kontrollør Tegn et trediagram. 0.8 0.2 G D 0.9 0.1 0.1 0.9 Gren Utfall P CG 1 (G,CG) 0.72 CD CG CD 2 3 4 (G,CD) 0.08 (D,CG) 0.02 (D,CD) 0.18 Artikkelen blir klassisfisert feilfri for gren 1 og gren 3. Dermed summeres sannsynligheten for gren 1 og gren 3: P(CG) =0.72 + 0.02 = 0.74
61 62 Eksempel (forts.) Anta at bare artikler som blir klassifisert som feilfrie blir utsendt. Hva er andelen av feilfrie artikler blant de utsendte artiklene? P(G CG) = P(G ogcg) P(CG) = 0.72 0.74 = 0.973 Så kvalitetskontrollen øker andelen av feilfrie artikler fra 80% til 97.3%. Testing for sykdom En person testes for en bestemt sykdom. S= personen har sykdommen T= testen er positiv For medisinske tester kjenner man: P(T S): sannsynligheten for at testen slår ut positivt, gitt at personen er syk (sensitiviteten til testen). Ønskes høyest mulig. P( T S): sannsynligheten for at testen slår ut negativt, gitt at personen er frisk (spesifisitet). Ønskes høyest mulig Interessant for pasienten: P(S T ): sannsynligheten for at du er syk, gitt at du har fått en positiv test. P( S T ): sannsynligheten for at du er frisk, gitt at du har fått en negativ test. 63 Eksempel: HIV-test Hva er sannsynligheten for at en person med positiv HIV-test virkelig er HIV-smittet? Anta Sensitivitet av testen: P(T S)= 0.98 Spesifisitet av testen: P( T S)= 0.995 Forekomsten av HIV i befolkningen: P(S) =0.0005 P(S T ) finnes ved P(S T )= P(S ogt) P(T ) P(S T )= P(S ogt) P(T ) = 0.000490 0.000490 + 0.005 = 0.09
Merk: Svaret avhenger sterkt av antatt verdi for P(S): P(S) P(S T) 1 10000 0.02 2 10000 = 1 5000 0.04 5 10000 = 1 2000 0.09 10 10000 = 1 1000 0.16 20 10000 = 1 500 0.28 50 10000 = 1 500 0.50 100 10000 = 1 100 0.66 P(S) =0.0005 = 5 10000 (Dagbladet febr 2003, 1900 smittet av HIV i Norge (av 4 000 000), dvs ca 0.5 promille.) Dette gir et problem ved masseundersøkelser. De fleste av personene med positiv prøve kan faktisk være friske. 66 Eksempel: Dopingtesting En viss type doping forekommer i 1% av populasjonen. Testen kan påvise dette i 95% av tilfellene hvor personen er dopet, men påviser det også feilaktig i 2% av tilfelllene hvor personen ikke er dopet. Hva er sannsynlighenten for at personen er dopet om testen er positiv? La D=personen er dopet A=testen er positiv P(D)=0.01 P(D )=0.99 D D P(A D)=0.95 P(A D)=0.05 P(A D )=0.02 P(A D )=0.98 Gren Utfall P A 1 (D,A) 0.0095 A A A 2 3 4 (D,A ) 0.0005 (D,A) 0.0198 (D,A ) 0.9702 Oppgave: Det er oppgitt at P(A) =0.60 P(B Ā) =0.15 P(B A) =0.05 a) Er A og B uavhengige? P(D A) = P(D oga) P(A) = 0.0095 0.0095 + 0.0198 = 0.32 b) Hva er P(B)? c) Hva er P(A B)? (Vink: Tegn et sannsynlighetstre)
Oppgave: En 60 år gammel storrøyker oppsøker lege med kronisk hoste og kortpustethet. Legen er bekymret og definerer følgende hendelser: A: Pasientens symptom er kronisk hoste og kortpustethet. B: Pasienten har lungekreft Erfaringer viser at vi kan anta følgende sannsynligheter for 60 årige storrøykere: P(A B)=0.9, P(A B)=0.01, P(B)=0.05 Hva er sannsynligheten for at pasienten har lungekreft gitt symptomene, dvs P(B A)? A) 0.91 B) 0.77 C) 0.50 D) 0.83 E) 0.99 (Vink: Sannsynlighetstre!)