Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne ut hva én fotball koster, og hva én hockeykølle koster. Hvis én fotball og én hockeykølle koster 500 kroner, koster to fotballer og to hockeykøller 1000 kroner. Av det andre bildet ser vi da at én fotball koster 00 kroner. Hvis én fotball koster 00 kroner, ser vi av det første bildet at én hockeykølle koster 300 kroner. Én fotball koster 00 kroner og én hockeykølle koster 300 kroner. Vi kan også løse oppgaven ved å sette opp og løse to likninger med to ukjente. Vi setter prisen for én fotball lik x og prisen for én hockeykølle lik y. Vi kan da sette opp likningssystemet xy500 3x y 100 1
Vi løser likningssystemet og får y500 x 3x 500 x 100 3x1000 x 100 x 100 1000 x 00 y 500 x 500 00 300 Én fotball koster 00 kroner og én hockeykølle koster 300 kroner. b) Regn ut og skriv svaret på standardform 4 8 6,10,510 4 8 1 13 6,10,510 15,510 1,5510 c) Løs likningen x x x 4 1 5 3 1 x x x 4 1 5 3 1 4x 4 5 3x x 1 4x 3x x 51 4 x 10 x 5 d) Løs likningen og skriv svaret som et desimaltall 3lg x 6 lg x x 3lg x 6 10 0,01
e) Regn ut 3 54 4 3 3 3 54 4 3 5161 5 3 8 3 1 f) Skriv så enkelt som mulig x y 4xy x y x y 4xy x xy y 4xy x xy y x y x y x y x y g) Løs likningen x 5x 6 0 x 5x 6 0 ( 5) ( 5) 416 x 1 51 x x 3 x 1 h) Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at du får akkurat én sekser? 1 5 5 1 10 5 P Akkurat én sekser 6 6 6 6 36 18 3
3 i) Funksjonen f er gitt ved f x x 5x 6x Finn stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet 3 f x x 5x 6x f x 3x 10x 6 1, f 1. f 1 310 6 1 Tangenten har stigningstall - 1. j) Gitt en funksjon g. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte av funksjonen varierer som vist nedenfor. x 3 4 7 gx gx 0 0 0 0 0 Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til g kan se ut. Grafen til g har nullpunkt x 3 og x 4. Grafen ligger under x - aksen for x, 3 3,4. Grafen ligger over x - aksen for x 4,. Grafen har et toppunkt når Grafen stiger x, 3,7 7,. Grafen synker for x 3,. x 3, et bunnpunkt når x og et stasjonært punkt når x 7. 4
Skisse: k) Du får vite følgende om en trekant ABC : Vinkel B er 90. Tangens til vinkel A er 1. Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut. Når tangens er lik 1, er de to katetene like lange, AB BC. Trekanten er likebeint. Vinklene er 90, 45 og 45. 5
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (10 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x 1 a) Tegn grafen til f. Bruk x 10,10. 6
b) Finn definisjonsmengden og verdimengden til f. Brøken er ikke definert når x 1 fordi nevneren da blir lik null. Vi ser at grafen har vertikal asymptote x 1. D f \1 Den horisontale asymptoten finner vi ved å la x gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstanter i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive x x lim fx lim x x1 x x Grafen har horisontal asymptote y. V f \ Grafen til en lineær funksjon g går gjennom punktene,0 og 3,5. c) Finn funksjonsuttrykket gx og tegn grafen til g i det samme koordinatsystemet som grafen til f. g x ax b 5 0 Grafen til g har stigningstall a 3 1 Vi bruker ettpunktsformelen for å finne funksjonsuttrykket y y a x x 1 1 y 5 1 x 3 y x 3 5 yx g x x gx. Se koordinatsystemet i a). 7
Det finnes flere måter å gå fram på for å finne løsningene av likningen f x gx d) Bruk to ulike metoder for å finne løsningene. Grafisk løsning. Se koordinatsystemet i a). Grafene til f og g skjærer hverandre i punktene f x g x når x 1 og x 1,1 og,4. Vi kan også for eksempel løse likningen i wxmaxima. f x g x når x 1 og x 8
Oppgave 3 (8 poeng) Du skal være med i et mosjonsløp som arrangeres av bygdas lokale idrettslag. På figuren ser du løypa, som følger omkretsen til firkanten ABCD. Noen av målene står på figuren. a) Vis at lengden av diagonalen AC er ca. 641 meter. Vi bruker cosinussetningen på ADC og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. Siden AC er en lengde, ser vi bort fra den negative løsningen. Diagonalen AC er ca. 641 meter. b) Finn vinkel DCA. Vi bruker sinussetningen på ADC og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. DCA må være mindre enn DCA 34 90. 9
c) Finn vinkel B. Vi finner først ACB. ACB C DCA 139 34 105 Vi bruker sinussetningen på ABC og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. B må være mindre enn 90. B 54 d) Du starter i A og løper rundt løypa til du igjen er ved A. Hvor langt har du løpt? Vi finner først CAB. CAB 180B ACB 180 54 105 1 Vi finner så BC ved å bruke sinussetningen på ABC og sette opp en likning som vi løser i wxmaxima. BC er ca. 8 m. Vi har da at AB BC CD DA 761 8 498 36 1903 Du har løpt ca. 1903 m, dvs. ca. 1,9 km. 10
Oppgave 4 (8 poeng) I klasse 1A er det 30 elever. 1 av disse elevene har valgt kjemi, og 1 har valgt matematikk neste skoleår. 7 elever har valgt begge fagene. a) Illustrer dette med et venndiagram. Hvor mange elever har verken valgt matematikk eller kjemi? Venndiagram U 30 M K 17 14 7 1 7 5 30 714 5 4 30 714 5 4 Det er fire elever som verken har valgt matematikk eller kjemi. Vi velger en tilfeldig elev i klassen. b) Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt matematikk, men ikke kjemi? 14 PMatematikk,men ikke kjemi 0,467 30 Vi velger nå to tilfeldige elever i klassen. c) Hva er sannsynligheten for at begge har valgt matematikk? 1 0 PBegge har valgt matematikk 0,483 30 9 11
I klasse 1B er det 4 elever som har valgt matematikk neste skoleår. Dersom vi velger to tilfeldige elever fra denne klassen, er sannsynligheten for at begge har valgt matematikk 0,05. d) Hvor mange elever er det i klasse 1B? Vi setter antall elever i klassen lik x, og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. x er antall elever i klassen, og må derfor være en positiv størrelse. Vi ser bort fra løsningen x 15. Det er 16 elever i klasse 1B. 1
Oppgave 5 (8 poeng) I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren. Alternativ I I denne oppgaven kan det være en fordel å bruke dynamisk programvare. La funksjonen f være gitt ved 3 f x x 6x 9x 1 a) Tegn grafen til f. Finn koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner grafen i GeoGebra og finner topp- og bunnpunkt ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Toppunkt 1,3 Bunnpunkt 3, 1 13
b) Finn stigningstallet til linjen l gjennom toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner linjen i samme koordinatsystemsom vi brukte i a) og finner stigningstallet i GeoGebra ved å bruke kommandoen «Stigning». Linjen har stigningstall La m være gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. c) Finn stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet, Vis at forholdet mellom stigningstallene til linjene l og t er 3. m f m. Gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet er. Vi bruker kommandoen «Tangent» i GeoGebra og tegner tangenten til grafen i punktet,,1 f. Vi finner stigningstallet til tangenten ved å bruke kommandoen «Stigning». Tangenten har stigningstall 3 (Se koordinatsystemet ovenfor.) Forholdet mellom stigningstallene er 3 3 14
d) Finn to andre tredjegradsfunksjoner som har både toppunkt og bunnpunkt. Løs oppgavene a), b) og c) for hver av disse funksjonene. 1 1 g x x x x 4. 3 3 Vi velger først funksjonen g gitt ved a) Vi tegner grafen til g og finner koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner grafen i GeoGebra og finner topp- og bunnpunkt ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Toppunkt 1, 5,17 Bunnpunkt, 0,67 b) Vi finner så stigningstallet til linjen l gjennom toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner linjen i samme koordinatsystemsom vi brukte i a) og finner stigningstallet i GeoGebra ved å bruke kommandoen «Stigning». Linjen har stigningstall 1,5 Vi lar m være gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. c) Vi finner stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet, m f m. Vi viser at forholdet mellom stigningstallene til linjene l og t er 3. 15
1 Gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet er 0,5. Vi bruker kommandoen «Tangent» i GeoGebra og tegner tangenten til grafen i punktet 0,5, 0,5 0,5,,9 g. Vi finner stigningstallet til tangenten ved å bruke kommandoen «Stigning». Tangenten har stigningstall,5 (Se koordinatsystemet ovenfor.) 1,5 Forholdet mellom stigningstallene er,5 3 16
3 h x x x 4x 1. Vi velger så funksjonen h gitt ved 3 a) Vi tegner grafen til h og finner koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner grafen i GeoGebra og finner topp- og bunnpunkt ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Toppunkt, 7,67 Bunnpunkt 1, 1,33 b) Vi finner så stigningstallet til linjen l gjennom toppunktet og bunnpunktet. Vi tegner linjen i samme koordinatsystemsom vi brukte i a) og finner stigningstallet i GeoGebra ved å bruke kommandoen «Stigning». Linjen har stigningstall 3 Vi lar m være gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. c) Vi finner stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet, m f m. Vi viser at forholdet mellom stigningstallene til linjene l og t er 3. 17
1 Gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet er 0,5. Vi bruker kommandoen «Tangent» i GeoGebra og tegner tangenten til grafen i punktet 0,5, g 0,5 0,5, 3,17. Vi finner stigningstallet til tangenten ved å bruke kommandoen «Stigning». Tangenten har stigningstall 4,5 (Se koordinatsystemet ovenfor.) Forholdet mellom stigningstallene er 3 4,5 3 Sett opp en hypotese om forholdet mellom stigningstallene til linjen l og tangenten t. Hypotese: Forholdet mellom stigningstallet til linjen l og tangenten t er alltid 3. 18
Alternativ II Nedenfor har vi gitt fire oppgaver. Alle kan løses ved hjelp av ulike metoder: ved regning (løsning trinn for trinn) grafisk ved å benytte kommandoer på lommeregneren eller PC-en din Du skal løse alle oppgavene bare én gang, men du må benytte deg av minst to av de tre metodene som er nevnt ovenfor. a) Løs likningssystemet x y 5 7yx5 Vi bruker wxmaxima til å løse likningssystemet Likningssystemet har løsning x 4 y 3 x 3 y 4 19
b) Løs ulikheten 6x 11x 3 0 Vi bruker GeoGebra til å løse ulikheten grafisk. Vi tegner først 6x 11x3 i et koordinatsystem. Vi finner så nullpunktene ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Så skriver vi inn ulikheten 6x 11x 3 0 og får markert løsningsmengden. L, 0,33 1,5, c) Løs likningen lg x 3 3lg Vi bruker wxmaxima til å løse likningen x 003 0
d) Finn en verdi av a slik at likningen a x 3x 1 x bare har én løsning. Vi løser likningen ax x x ax 3 1 x 3 0 x a 4 1a x a 4a3 Hvis likningen bare skal ha en løsning, må determinanten 4 1a være lik null. Vi løser likningen 4 1a 0 4 1a 0 1a 4 4 1 a 1 3 1