Side 1 av 25
INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle... 4 Vinkel... 5 KONSTRUKSJONSGEOMETRI... 5 VINKLER... 5 VINKELHALVERING... 5 KOPIERE VINKEL... 5 KONSTRUKSJON AV VINKLER... 6 NORMALER... 7 PARALLELLER... 9 PARALLELL I GITT AVSTAND FRA EI LINJE... 9 PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM ET GITT PUNKT... 9 KONGRUENSAVBILDNINGER... 10 SPEILING OM LINJE... 10 SPEILING OM PUNKT... 11 ROTASJON... 11 PARALLELLFORSKYVING... 12 GEOMETRISKE STEDER... 12 SIRKEL... 12 MIDTNORMALEN... 12 PARALLELL... 13 VINKELHALVERING... 13 THALES SETNING/DET FEMTE GEOMETRISKE STEDET... 13 FIGURKUNNSKAP, 2D... 14 TREKANTER... 14 RETTVINKLET... 14 LIKEBEINT... 14 Side 2 av 25
LIKESIDET... 15 FIRKANTER... 15 TRAPES... 15 PARALLELLOGRAM... 15 ROMBE... 16 REKTANGEL... 16 KVADRAT... 16 DRAKE... 16 HIERARKI... 16 SIRKEL... 17 BEGREPER - LINJER... 17 VINKLER... 17 OMKRETS... 17 AREAL... 17 SIRKELSEKTOR... 18 FIGURKUNNSKAP, 3D... 18 PRISME... 18 SYLINDER... 19 PYRAMIDE... 19 KJEGLE... 20 KOORDINATSYSTEMET... 20 PERSPEKTIVTEGNING... 22 ETTPUNKTSPERSPEKTIV... 22 TOPUNKTSPERSPEKTIV... 22 BEREGNINGER... 23 PYTAGORAS... 23 FORMLIKHET... 23 VINKLER... 24 NABOVINKLER... 24 TOPPVINKLER... 24 SAMSVARENDE VINKLER... 24 VINKLER MED VINKELBEIN PARVIS VINKELRETT PÅ HVERANDRE... 25 ET EKSEMPEL... 25 Side 3 av 25
DEFINISJON Geometri, gren av matematikken som opprinnelig omhandlet romstørrelser, dvs. punkter, linjer, kurver, flater og legemer, og deres beliggenhet, form og størrelse. (Store norske Leksikon.) (gresk; geo = jord, metria = måling => geometri = jordmåling.) LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG Kompetansemål etter 10. årssteget Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar utføre, beskrive og grunngje geometriske konstruksjonar med passar og linjal og dynamisk geometriprogram bruke og grunngje bruken av formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt, med og utan digitale verktøy bruke koordinatar til å avbilde figurar og utforske eigenskapar ved geometriske former, med og utan digitale verktøy utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER Punkt Et punkt har ingen utstrekning. Vi tegner det som et kryss og bruker vanligvis stor bokstav som navn. Linje Strekker seg i en dimensjon. Den fortsetter uendelig langt i begge retninger. Betegnes gjerne med liten bokstav; l, m,. Linjestykke Er en del av ei linje. Har to endepunkter og en bestemt lengde. Betegnes ved hjelp av navn på endepunktene; f.eks. AB (merk at AB = BA). Stråle Er en del av ei linje. Har ett endepunkt og fortsetter uendelig langt fra endepunktet. Side 4 av 25
Vinkel Består av to stråler fra et felles endepunkt. Dette punktet kalles vinkelens toppunkt, strålene er vinkelbeina. Vi definerer høyre og venstre vinkelbein ved å «se» utover i vinkelområdet fra toppunktet. KONSTRUKSJONSGEOMETRI Konstruksjon foregår ved hjelp av verktøyene passer, linjal og blyant. VINKLER VINKELHALVERING Sett passeren i vinklens toppunkt, slå en bue som skjærer begge vinkelbeina. Med utgangspunkt i de to skjæringspunktene slås to nye buer (med lik åpning i passeren). Buene danner et kryss. Halveringslinjen trekkes gjennom dette krysset og vinklens toppunkt. Video på klassens hjemmeside: Halvering av vinkel KOPIERE VINKEL I utgangspunktet er en vinkel gitt. Start med å sette av det ene vinkelbeinet i det som skal bli kopien og merk av toppunktet. Sett passer i vinkelens toppunkt og slå en bue som skjærer begge vinkelbeina. Deretter en tilsvarende bue i om toppunktet i kopivinklen. Mål lengden av buen i originalvinklen og sett av denne lengden på buen i kopivinkelen. Trekk opp vinkelbeinet. Vi har nå to vinkler som spenner over like store buer (i like store sirkler); de er derfor like. Side 5 av 25
KONSTRUKSJON AV VINKLER Generelt handler vinkelkonstruksjon om å halvere vinkler. Det vi trenger er en vinkel å ta som utgangspunt for halvering. Vi har to vinkler som danner utgangspunktene: 180 o og 60 o. Begge må konstrueres, men metoden må sies å være enkel. 180-GRUPPEN Vinklene, i denne gruppen, tar utgangspunkt i en 180 o -vinkel som så halveres. Video på klassens hjemmeside: Vinkelkonstruksjon. 180-gruppen.. 180 o -vinkel er rett og slett to stråler i motsatt retning fra toppunktet. Eller enklere: tegn ei linje og sett av et punkt på linja. Dette punktet er vinkelens toppunkt. Ved å halvere denne får vi vinkler på 90 o. Ved å halvere en av disse, får vi vinkler på 45 o. Ny halvering gir vinkler på 22,5 o. Du må passe på å velge riktig for deling slik at vinkelåpningen kommer riktig vei. Figur viser konstruksjon av 90 o og 45 o. I tillegg kan man kombinere ulike størrelser, f.eks.: 67,5 o = 45 o + 22,5 o 135 o = 180 o 45 o Side 6 av 25
60-GRUPPEN Utgangspunktet her er en 60 o -vinkel. Ved å halvere denne får man 30 o. To 60 o bygd på hverandre gir 120 o. Video på klassens hjemmeside: Vinkelkonstruksjon. 60-gruppen NORMALER En normal er en linje som står vinkelrett (90 o ) på en annen linje. Vi sier også at «to linjer står normalt på hverandre», «er normaler til hverandre». NORMAL I ET PUNKT PÅ EI LINJE Denne konstruksjonen vil være identisk med konstruksjon av 90 o -vinkel. Se over! MIDTNORMAL Utgangspunktet er et linjestykke (i eksemplet AB). Midtnormalen står normalt på linjestykket og deler det i to like deler. Dette er også en metode for å dele et linjestykke i to like deler. Video på klassens hjemmeside: Midtnormal. Side 7 av 25
NORMAL FRA ET PUNKT TIL EI LINJE Utgangspunktet er at vi har ei linje og et punkt utenfor linja. Vi skal konstruere en normal til linja gjennom dette punktet. I eksemplet er linja kalt m og punktet P. Video på klassens hjemmeside: Normal fra et punkt til ei linje. De tre variantene av normalkonstruksjoner har mange likhetstrekk. Prøv å sammenlikne! Video på klassens hjemmeside: Sammenlikning av normaler. Side 8 av 25
PARALLELLER PARALLELL I GITT AVSTAND FRA EI LINJE Det finnes to slike paralleller. En på hver side av den gitte linja. I eksemplet vises bare den som ligger over den gitte linja. Velg et tilfeldig punkt på linja (m) og konstruer en normal i punktet. Video på klassens hjemmeside: Parallell med linje i gitt avstand. Sett av den oppgitte avstanden på normalen. Fortsett å sette av denne avstanden, i alt, fire ganger (avmerket i eksemplet) slik at det dannes et kryss som vi trekker parallellen gjennom. (Ideen bak konstruksjonen er at vi her konstruerer et, underliggende, kvadrat hvor lengden av siden er lik den avstanden vi skal ha mellom parallellene. Kvadratet er jo (bl.a.) kjennetegnet ved å ha parallelle sider.) PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM ET GITT PUNKT Vi starter med ei linje (l) og et punkt utenfor linja (P). Sett passeren i P og slå en bue som skjærer linja i et punkt. Behold avstanden i passeren og slå i alt fire buer (avmerket i eksemplet) slik at det dannes et kryss som vi trekker parallellen gjennom. Video på klassens hjemmeside: Parallell med linje gjennom gitt punkt. (Ideen bak konstruksjonen er at vi her konstruerer en, underliggende, rombe med et hjørne i punktet P. Romben er jo (bl.a.) kjennetegnet ved å ha parallelle sider.) Side 9 av 25
KONGRUENSAVBILDNINGER At to geometriske figurer er kongruente innebærer at figurene er helt like både i form og størrelse. Det betyr at dersom vi legger de oppå hverandre, vil de dekke hverandre helt. Figurene er kongruente selv om de er vridd og/eller speilet i forhold til hverandre. Kongruensavbildningene (speiling, rotasjon og parallellforskyving) vil gi oss figurer som er kongruente med startfiguren. SPEILING OM LINJE I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal speiles om ei linje (l). Merk av to tilfeldige punkter på speilingslinja. Sett passerspissen i ett av punktene og slå buer som går gjennom hjørnene til trekanten. Video på klassens hjemmeside: Speiling om linje. Gjør tilsvarende med passerspissen plassert i det andre punktet på speilingslinjen. (Ideen er her at speilbildet av et punkt vil ligge langt fra punkter på speilingslinja som det opprinnelige punktet gjorde.) Merk navnsetting på punkter speilbildet av et punkt får samme bokstav som det opprinnelige punktet, me med et «merke» ( ) i tillegg. Vi leser f. eks. A som «A merket». Side 10 av 25
SPEILING OM PUNKT I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal speiles om et punkt (P). Start med å trekke linjer fra hjørnene i trekanten gjennom speilingspunktet. Sett passerspissen i speilingspunktet og sett av avstander slik at hvert hjørne og speilbildet av hjørnet, blir liggende like langt fra speilingspunktet på hver sin side. ROTASJON I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal roteres om et punkt (P). En rotasjon innebærer at alle punktene i figuren roterer om punktet P. Det betyr at alle punktene beveger seg langs sirkler med sentrum i P. I dette eksemplet velger vi å rotere figuren 60 o. Det er da underforstått at en rotasjon gjøres mot klokka. (Positiv rotasjonsretning er mot klokka.) Trekk ei linje fra et hjørne til rotasjonspunktet. Sett passeren i P og slå en bue gjennom A og konstruer 60 o. Vi har funnet A. Gjenta prosedyren med de to siste hjørnene. (Linja AP er unødvendig når rotasjonen er 60 o, men kan være god å ha ved konstruksjon av enkelte andre vinkler.) Side 11 av 25
PARALLELLFORSKYVING I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal forskyves slik at avbildningen av A blir liggende i punktet A. Tanken er her at alle punkter i figuren skal forflyttes like langt og i samme retning. Det betyr at punktene må beveges parallelt i forhold til hverandre. Vi tar utgangspunkt i konstruksjonsmetoden som er forklart under Parallell til ei linje gjennom et gitt punkt. (Se over!) Men vi gjør en liten justering. I stedet for å konstruere en underliggende rombe, må vi nå konstruere et underliggende parallellogram. Du ser, kanskje, at eksempelvis AA C C er et parallellogram GEOMETRISKE STEDER Et geometrisk sted er samlingen av alle punkter som oppfyller ett eller flere krav. SIRKEL Sirkelen er det geometriske stedet for alle punkter som ligger i en bestemt avstand fra et gitt punkt. Punkter som ligger like langt fra et gitt punkt danner en sirkel. Det gitte punktet er da sentrum i sirkelen. Avstanden = radius. I figuren vil alle punkter på sirkelperiferien ligg like langt fra A. Arbeidsark på klassens hjemmeside: Geometrisk sted. Punkter.. MIDTNORMALEN Midtnormalen er det geometriske stedet for alle punkter som ligger like langt fra to gitte punkter. Gitt to punkter A og B. Alle punktene på midtnormalen til AB ligger like langt fra A som fra B. Side 12 av 25
PARALLELL Parallellen er det geometriske stedet for punkter som ligger i en bestemt avstand fra ei gitt linje. Merk at det vil være to paralleller, en på hver side av den gitte linja. I figuren ligger h og i like langt fra f. VINKELHALVERING Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for punkter som ligger like langt fra vinkelbeina. I figuren vil lengden av l og m være like. THALES SETNING/DET FEMTE GEOMETRISKE STEDET Det geometriske stedet for toppunktet til en rett vinkel med vinkelbein som går gjennom to gitte punkter, er sirkelperiferien til en sirkel med diameter lik linjestykket mellom punktene. Denne er ikke helt enkel å gripe umiddelbart. I figuren er det satt av to punkter A og B. Vi skal konstruere en rett vinkel der vinkelbeina går gjennom hvert sitt punkt. Thales sier da: ved å konstruere en sirkel der AB er diameter, så må toppunktet til (den rette) vinkelen ligge på sirkelperiferien. Side 13 av 25
FIGURKUNNSKAP, 2D TREKANTER Tre hjørner, tre vinkler og tre sider Vinkelsum lik 180 o Areal beregnes ved: A = g h 2 Alle sidene kan betraktes som grunnlinjer med hver sin tilhørende høyde. Høyden er normal til grunnlinja I en trekant med en stump vinkel får vi to utvendige høyder Arbeidsark på klassens hjemmeside: Vinkelsum i trekant. Trekanter kan være o Spissvinklete (alle vinkler < 90 o ) o Stumpvinklete (en vinkel > 90 o ) o Rettvinklete (en vinkel lik 90 o ) RETTVINKLET En vinkel er rett (90 o ). De to sidene som danner den rett vinkelen kalles kateter. Den lengste siden (motstående til rett vinkel) kalles hypotenus To av sidene (katetene) er også høyder LIKEBEINT To sider er like lange To vinkler er like store Høyden på den tredje sida er en midtnormal og deler trekanten i to kongruente trekanter (symmetrilinje) Kan være spiss-, stump- og rettvinklet Side 14 av 25
LIKESIDET Tre sider like lange Tre vinkler like store; 60 o Høydene er midtnormaler og deler trekanten i kongruente trekanter (symmetrilinjer) Høyden deler trekanten i to 30, 60, 90-trekanter. Her ser du beviset for at hypotenusen i slike trekanter er dobbelt så lang som den korteste kateten FIRKANTER Fire sider, hjørner og vinkler Summen av vinklene er 360 o TRAPES To sider er parallelle Høyden er avstanden mellom de to parallelle sidene Arealet: o Trekk diagonalen AC. Den deler trapeset i to trekanter. Beregn arealet for hver av dem og summer. o Formel: A = (a+b) h der a og b er lengdene av de parallelle sidene 2 PARALLELLOGRAM To og to sider er parallelle To og to sider er like lange To og to (motstående) vinkler er like store Diagonalene halverer hverandre Areal: A = g. h der h (høyden) er avstanden mellom to parallelle linjer Side 15 av 25
ROMBE Er et parallellogram Alle sidene er like lange Diagonalene står vinkelrett på hverandre REKTANGEL To og to sider er parallelle To og to sider er like lange Alle vinklene er 90 o Diagonalene er like lange og deler hverandre på midten Areal: A = l. b (lengde. bredde) Omkrets: O = 2. l + 2. b KVADRAT Er et rektangel Alle sidene er like lange Diagonalene står vinkelrett på hverandre Areal: A = s. s = s 2 Omkrets: O = 4. s DRAKE To og to sider like lange Like lange sider møtes i motstående hjørner Diagonalene står vinkelrett på hverandre Den ene diagonalen er en symmetriakse Den ande diagonalen halveres av den første Det betyr at draken kan betraktes som sammensatt av to likebeinte trekanter. HIERARKI De kjente firkanttypene har mange fellestrekk som gjør at de kan settes i en hierarkisk struktur. Det gjør eksempelvis at følgende utsagn er riktige: Alle rektangler er parallellogrammer Alle parallellogrammer er trapeser Et kvadrat er et rektangel, et parallellogram og et trapes. Side 16 av 25
SIRKEL Sirkelen består av punkter som ligger i en bestemt avstand fra et gitt punkt. Disse punktene danner en kurve som vi kaller omkretsen eller sirkelperiferien. Det gitte punktet kalles sentrum. Ofte mener vi sirkelflaten når vi snakker om en sirkel. Da gir det mening å regne ut arealet av en sirkel også. BEGREPER - LINJER Radius er avstanden fra sentrum til sirkelbuen Korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen Diameter er en korde gjennom sentrum o Diameter er dobbelt så lang som radius Sekant er ei linje som skjærer sirkelen i to punkter Tangent er ei linje som berører sirkelen i ett punkt o Tangenten står vinkelrett på radien i tangeringspunktet Omkretsen er et mål for lengden rundt sirkelen Alle sirkler er formlike o Forholdet mellom Omkretsen og diameteren er konstant o O d = π 3,14 VINKLER Sentralvinkel er en vinkel med toppunkt i sentrum Periferivinkel er en vinkel med toppunkt på sirkelperiferien og vinkelbein som skjærer sirkelen Dersom en sentralvinkel og en periferivinkel spenner over samme bue, vil sentralvinkelen være dobbelt så stor som periferivinkelen OMKRETS Omkretsen: O = π d der d = diameter AREAL Arealet: A = πr 2 Side 17 av 25
SIRKELSEKTOR Er en del av en sirkelflate og er avgrenset av to radier og en sirkelbue. Når vi vet hvor stor del sektoren er av sirkelen, kan vi greit beregne areal og omkrets av sirkelsektoren. Omkretsen: O = 2r + v 360 sirkelsektoren spenner over. Arealet: A = v 360 πr2 πd der v er antall grader Brøken v forteller oss hvor stor del sektoren er av hele 360 sirkelen. Eksempel: En sirkelsektor spenner over 45 o i en sirkel med radius 5,0 cm. Omkretsen: O = 2r + v 360 45 πd = (2 5,0 + 3,14 10,0) cm = 360 (10 + 1 8 31,4) cm 13,9 cm (45o blir en åttedel av sirkelen.) Arealet: A = v 360 πr2 = 45 3,14 5,0 5,0 360 cm2 = 1 8 78,5cm2 9,8 cm 2 FIGURKUNNSKAP, 3D PRISME Et (rett) prisme er definert som en romfigur der to (motstående) flater er kongruente (kalles ofte toppflate og grunnflate). De andre sideflatene er rektangler. Overflaten finner du ved å regne ut arealet av alle sideflatene. Volumet beregnes generelt ved: V = G. h G er arealet av grunnflaten. der Side 18 av 25
SYLINDER Kan godt betraktes som et spesialtilfelle av prisme. Grunnflaten (og toppflaten) er en sirkel. Volumet: V = G. h = πr 2 h Overflaten finner du ved å regne ut arealet av bunnflate, toppflate og sideflate. Bunnflate og toppflate er sirkler. Sideflaten tenker vi oss brettet ut slik at det blir et rektangel. Grunnlinja i rektangelet er lik omkretsen til sirkelen og høyden er lik høyden i sylinderen. Overflaten: O = 2 πr 2 + π d h PYRAMIDE En (rett) pyramide består av en grunnflate som er en mangekant, sideflatene er likebeinte trekanter. Overflaten finner man ved å regne ut arealet av grunnflaten og sideflatene. (Legg merke til at vi må skille mellom høyden i pyramiden og høyden i trekantene. På figuren er høyden i trekantene betegnet med a.) Volumet: V = G h 3 Det betyr at volumet er en tredel av volumet til et tilsvarende prisme. Side 19 av 25
KJEGLE En kjegle består av en sirkelformet grunnflate og en sideflate som er en sirkelsektor. Volumet: V = πr2 h 3 Det betyr at volumet er en tredel av volumet til en tilsvarende sylinder. Overflaten: O = Grunnflate + Sideflate = πr 2 + πrs (Der s er avstanden fra toppen til kanten på grunnflata.) KOORDINATSYSTEMET Koordinatsystemet består av to akser som står vinkelrett på hverandre. Vi kan betrakte aksene som tallinjer. Den vannrette aksen kalles 1. akse eller x-aksen. Den loddrette aksen kalles 2. aksen eller y-aksen. Aksene skjærer hverandre i Origo. Aksene deler planet i fire områder som kalles kvadranter. Side 20 av 25
Alle punkter i koordinatsystemet betegnes ved hjelp av et tallpar, to koordinater, en x- og en y-koordinat. Fortegn på koordinatene: 1. kvadrant: Begge er positive 2. kvadrant: x-koordinat negativ, y-koordinat positiv 3. kvadrant: Begge negative 4. kvadrant: x-koordinat positiv, y-koordinat negativ Et punkt på x-aksen vil ha y-koordinat = 0 Et punkt på y-aksen vil ha x-koordinat = 0 Side 21 av 25
PERSPEKTIVTEGNING ETTPUNKTSPERSPEKTIV Loddrette linjer blir loddrette på tegningen Parallelle linjer som går innover i figuren, går mot et forsvinningspunkt Linjer som går parallelt med bildeflata, forblir parallelle Plasseringen av horisontlinja avgjør om vi får fugle-, normal- eller froskeperspektiv TOPUNKTSPERSPEKTIV Vi ser skrått inn mot objektet Bare de loddrette linjene er parallelle med bildeflata Parallelle linjer som går innover i figuren samles i to forsvinningspunkter Plassering av horisontlinja avgjør perspektivet Side 22 av 25
BEREGNINGER PYTAGORAS Det leveres ut et eget hefte som oppsummerer bruk av Pytagorassetningen. FORMLIKHET To figurer er formlike når Vinklene er parvis like store Forholdene mellom to og to (tilhørende) sider er like store For trekanter er det tilstrekkelig å sjekke formlikhet ved å sjekke et av kriteriene. Vanligvis vil det være aktuelt å se om vinklene i de to trekantene er parvis like store. ABC~ DEF Da er AB DE = BC EF = AC DF eller DE = EF = DF AB BC AC Disse forholdene uttrykker målestokken mellom figurene. Ved en forminsking vil forholdet/målestokken være < 1. Ved en forstørring vil forholdet/målestokken være > 1. Husk at målestokken alltid kan betraktes fra to synsvinkler. Hvis en figur er en forminsking, kan den andre betraktes som en forstørring Forholdet/målestokken kan oppgis på flere måter: Forminsking: 2 : 3 Forstørring: 5 : 2 2 3 5 2 0,67 2,5 Et tips er å tenke på kart. Der kan en målestokk f. eks. være 1 : 50 000. Og kartet er, heldigvis, en forminsking av terrenget. Eksempel: ABC~ DEF Målestokk: m = 2 4 = 0,5 Det betyr at sidene i den lille trekanter er 0,5 ganger så lange som sidene i den store. DE = 0,5. 6,0 = 3,0 (Eller at sidene i den store er 2 ganger så lange som i den lille.) Side 23 av 25
VINKLER Siden det ofte er snakk om å sammenlikne vinkler for å vise formlikhet, ser vi nærmere på noen sammenhenger som kan være nyttig å kjenne til. NABOVINKLER To vinkler med samme toppunkt og vinkelsum lik 180 o er nabovinkler. I figuren er u og v nabovinkler. Du finner kanskje flere nabovinkler på figuren? TOPPVINKLER Toppvinkler har felles toppunkt. Vinkelbeina går i motsatte retninger. I figuren er u og v toppvinkler. Toppvinkler er alltid like store. SAMSVARENDE VINKLER Samsvarende vinkler har ulike toppunkt og enten høyre eller venstre vinkelbein felles. I figuren er a og b samsvarende (høyre vinkelbein felles). c og d er samsvarende (venstre vinkelbein felles. Når de samsvarende vinklene ligger ved parallelle linjer er de like store. I figuren er c = d og a = b. Side 24 av 25
VINKLER MED VINKELBEIN PARVIS VINKELRETT PÅ HVERANDRE Når to vinkler har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre, er de like store. (Prøv å bevise påstanden!) I figuren er u = v siden de har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre. ET EKSEMPEL I figuren er AB parallell med DE. Vi skal beregne lengden av sidene CE og AB. Vi har ingen opplysninger om vinkler, men må belage oss på beregning ved hjelp av formlikhet. Det krever at vi først viser at vi har formlike figurer. A = D siden de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer. ACB = DCE siden de er toppvinkler. Når to av vinklene er parvis like store, må det tredje paret også være likt, siden vinkelsummen i en trekant er 180 o. (I dette tilfellet kunne vi også påpekt at det siste vinkelparet er samsvarende vinkler ved parallelle linjer.) Målestokk: m = 3 5 = 0,6 EC = 0,6. 7,0 = 4,2 AB = 4,0 0,6 6,7 (Alternativt kunne du finne målestokken «motsatt vei»: 5 3 1,67 AB = 4,0. 1,67 6,7) Side 25 av 25