KOORDINATTRANSFORMASJON MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT Jan Karlsen 2009 byggesaken.no P1 Geomatikkboka
På et byggeområde hvor flere aktører er avhengig av et felles, og meget nøyaktig grunnlagsnett, må alle bruke de samme (lokale) fastmerkene. Polygondrag er en metode for å bestemme (fastlegge) koordinater i grunnlagsnettet og vil være aktuelt i noen få år fremover. Det som oppnås med et polygondrag er at nye punkter får svært nøyaktige, relative koordinater, altså innbyrdes på byggeplassen. Selv om det er unøyaktigheter i kommunens nett (mellom fastmerker) vil dette ikke få betydning for tiltaket som bruker de nye punktene. Eksempler på tiltak hvor polygondrag er aktuelt kan være et større byggefelt, en lang veitrasé og inne i en tunnel, hvor GNSS-utstyr ikke kan brukes. I skolesamenheng er polygondrag velegnet som feltøvelser for å lære bruken av instrumentene, måleprosedyrer og vurdering og fordeling av feil i måleresultater. Eksemplene som vises i boka varier med hensyn til desimalbruk. I dag måles det med millimeter og milligon eller bedre. Utstyret som brukes dreier seg om en totalstasjon. Standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister gir en beskrivelse av hvordan nummer kan tilordnes fastmerker brukt innen kart- og oppmålingsvirksomhet. Den beskriver også hva et fastmerkeregister skal og bør inneholde samt hvordan det bør fungere. Hensikten med standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister er å bidra til rasjonell kvalitetssikring av forvaltningsoppgavene innen kart og oppmåling bl.a. ved at nummerering av fastmerkene bygges opp etter samme lest, og at fastmerkeregistrene får samme minimumsinnhold. Standarden definer polygonpunkt som koordinatbestemt punkt der koordinatene i grunnriss, eventuell høyde, er bestemt ved polygonering. Følgende overordnede krav stilles til fastmerkenummer og nummereringssystem: I registeret skal alle fastmerker ha landsunike identitetsnummer, tildelt av registermyndighet kartverket.no http://www.kartverket.no/ips/filestore/cd2003/std/fastmerk/fastmerk.htm 2 Geomatikkboka P2
1 GRUNNLAG POLYGONDRAG Poly betyr mange. Gon betyr vinkel. Et drag kan bety en linje eller en terrengformasjon. Polygondrag er å bestemme koordinater på nye punkter ved å måle vinkler, lengder og høyder ut fra eksisterende fastmerker. Dette kapitlet tar for seg enkle polygondrag for å bli kjent med målingene og få innsikt i målerutinene. Det er ikke aktuelt å beregne polygondrag manuelt i dag, men en bør ha innsikt i grunnlaget. Programvaren ivaretar utjevninger etter gjeldende standarder, både for koordinater og høyder. Et polygondrag er altså å bestemme koordinater og høyder på fastmerker med stor innbyrdes nøyaktighet. Dette utføres ved å måle vinker og avstander mellom kjente punkter, og utjevne (fordele) eventuelle feil i fastmerkegrunnlaget eller i målingene. Skråmåling og feilfordeling i avstandsmåling er ikke vist i dette kapitlet. Skråmålinger er behandlet i Geomatikkboka. Sidelengdene i bokas eksempler og oppgaver er korte, og er kun ment til bruk i å lære systemet. Vinkler og avstander måles med totalstasjon. 1.1 INNLEDENDE OM POLYGONDRAG Hensikten med å etablere nye punkter kan dreie seg om å få kort avstand fra nye fastmerker til bygg som skal oppføres, eller nye fastmerker langs en veistrekning som skal bygges. Punktene som etableres kalles polygonpunkter. Stedvis etableres også nye punkter i forbindelse med generell kartlegging og oppmåling, men metoden er nå lite i bruk og på vei ut. Først bestemmes en del hovedpunkter i grunnlagsnettet ved hjelp av polygondrag eller såkalt triangulering. Grunnlagsnettet er inndelt i ordener hvor en høyere orden danner grunnlaget for en lavere orden, som har flere punkter. 1. ordens nett i offentlige oppmålinger har sidelengder på 30 km eller mer, mens 4. ordens nett har lengde ned mot 1 km på trekantsidene. Punktene i disse høyere målingene kalles for trekantpunkter. Det er en fordel å bruke landsnettet ved etablering av nye offentlige punkter. Da er det orientert mot sann nord og en slipper senere koordinattransformasjoner. Når en går ut fra eksisterende polygon- eller trekantpunkter og etablerer nye polygonpunkter er det viktig å få kontroll. Det alltid vil oppstå feil eller unøyaktigheter som må utjevnes etter spesielle kriterier, normer og metoder. P3 byggesaken.no 3
1.2 POLYGONDRAGSKJEMA Nedenfor vises et skjema for manuell beregning av polygondrag. Det er et utvidet koordinatberegningsskjema, og utvidelsen er at x og y føres i separate kolonner, og det er nye celler for kontroll og utjevning av måleresultater. Det er et skjema bak i boka som kan brukes som kopieringsoriginal. Venstre halvdel: er sanne koordinattilvekster mellom kjente fastmerker. Målt Σα er resultat av feltmålingene for vinklene. Sann Σα er mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne retningsvinkler. Korr. α er korreksjonen for måleresultatene. Høyre halvdel: Målt Σ er resultat av feltmålingene. Målt er koordinatdifferanser på bakgrunn av feltmålingene. Sann er koordinatdifferanser mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne D -verdier. Korr. er korreksjonen som føres over måleresultatene. Formler: Antall målinger er n. Feil = målt Σα - sann Σα Feil = målt Rv2 - sann Rv2 Korr. = Feil/-n P4 4 Geomatikkboka
2 POLYGONDRAGTYPER POLYGONDRAG Hvordan et polygondrag skal gjennomføres avhenger av hva det skal brukes til. Langs et veianlegg kan draget være langstrakt, mens for en byggeplass kan det være aktuelt med nye punkter rundt området. 2.1 TILKNYTTET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder (L) mellom de nye polygonpunktene. Draget går mellom B og C. Trekantpunktene A og D er her tilsiktningspunkter. Målingene kan lett kontrolleres og utjevnes manuelt for feil i måling av vinkler og lengder. LUKKET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som også går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene, men her startes og avsluttes draget i de samme punktene. Draget kan brukes i lokale områder og rundt byggefelter. Her får en også kontroll av eventuelle feil i måling av vinkler og lengder. A og B er tilsiktningspunkter for henholdsvis B og A. 2.2 BLINDT POLYGONDRAG Nedenfor vises et blinddrag som starter i koordinatbestemte trekantpunkter, men slutter uten å gå mot kjente punkter. Det måles brytningsvinkler (a ) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Det kan ikke utjevnes for feil i måling av vinkler og lengder og er lite aktuelt, men kan brukes til f.eks. å kontrollere punkter. P5 byggesaken.no 5
2.3 KNUTEPUNKTDRAG Nedenfor vises drag som går mellom kjente trekantpunkter og som knytter seg sammen i et knutepunkt (K). Det måles brytningsvinkler og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Dragene beregnes i dag stort sett bare ved hjelp av dataprogrammer. 2.4 DRAGETS FORLØP Det måles alltid mindre eller større feil når en utfører feltarbeider. Nedenfor vises en planskisse med heltrukken strek hvor en fysisk har gått, mens den stiplede linjen viser hvor det beregningsmessig ser ut til å være gått. Når det måles kan det bli både ensidige og tilfeldige feil (se kap. om feil). Videre gang i arbeidene blir å beregne og utjevne (fordele, flytte, dra på plass) de beregnede koordinatene slik at de stemmer mest mulig med den fysiske beliggenheten. GAP Gap er en betegnelse på avviket mellom målt beliggenhet og sann, fysisk beliggenhet. Gapet er altså et retningsbestemt avvik i koordinattilvekster. P6 6 Geomatikkboka
2.5 UTSTYR FOR POLYGONDRAGMÅLING POLYGONDRAG l dag benyttes en totalstasjon til måling av vinkler og avstander. Målebånd kan også brukes med bra resultat for kortere strekninger, men blir stadig mindre aktuelt. Ved elektronisk avstandsmåling brukes gjerne to prismer. Totalstasjon Prismer/blinker Målebok Stativer 2.6 MÅLERUTINER Det er viktig for et godt resultat å tvangssentrere. Dette betyr at det brukes flere (minst tre stk.) stativer som stilles opp over punktene, og at kikkerten flyttes over til disse stativene som vist nedenfor. Hensikten er at eventuelle unøyaktigheter med sentreringen bare gir feil i vedkommende punkt, og får ikke betydning for resten av polygondraget. Nedenfor vises arbeidsgangen slik den bør utføres ved måling av et tilknyttet drag. Utstyret her dreier seg om en totalstasjon, prismer og flere stativer. TP-punktene er koordinatbestemte trekantpunkter. L er horisontallengder (L H ). Punktene A-B-C er nye polygonpunktene. a er brytningsvinkler, målt med sola. P7 byggesaken.no 7
Første kikkertoppstilling (TP1). Første kikkertoppstilling er i TP1 og et prisme settes på et stativ i A. a 1 måles mellom kirkespiret og A. Andre kikkertoppstilling (A). Neste kikkertoppstilling blir i punkt A. Et prisme settes på stativet i TP1 og et annet prisme settes på et stativ i B. a 2 måles og avstandene L 1 og L 2 til prismene i TP1 og B avleses. Tredje kikkertoppstilling (B). Et prisme settes i stativet i A. Videre flyttes kikkerten fra A til B. Stativet og prismet i TP1 flyttes til C. a 3 avleses. Videre kikkertoppstillinger. Videre oppstillinger følger arbeidsgangen ovenfor. Til slutt avleses a 5 mot TP3, hvor det settes opp et prisme eller en blink for nøyaktig retningsmåling. 2.7 FORMLER Det kan være hensiktsmessig å se litt på grunlaget for formlene som brukes til å kontrollere de målte brytningsvinklene. Eksemplene her viser grunnlaget for formlene i polygondragskjemaet. RETNINGSVINKLER Formel: Her vises hva som menes med Rv1 og Rv2. Retningsvinkelen fra TPA til TP22 er sann. Gjeldende Rv1 og Rv2 vil flytte seg fra punkt til punkt etter som en regner seg gjennom dragforløpet. Legg spesielt merke til at den første retningsvinkelen (Rv1) er fra det kjente fastmerke (tilsiktningspunktet) bortenfor det første oppstillingspunktet. l felten stilles det ikke opp i tilsiktningspunkter, men de inngår beregningene. Figuren ovenfor viser at fra et gitt punkt og videre ett punkt fremover blir det: Rv2= Rv1 + a - (1. 200) Her: n=1 P8 8 Geomatikkboka
Minioppgave: Tegn selv på figuren nedenfor og vis ved egen beregning at Rv2 kan bestemmes med formelen som er gitt her. Rv2= Rv1 + Sa- (n- 200) Her: n= a 0 = 50 g a 1 = 150 g a 2 = 70 g Kontroller med transportør. Legg merke til at vinklene er målt på den ene siden. Når PP2 skal koordinatberegnes flyttes angrepspunktet til PP1. Da blir retningsvinkelen fra TP22 mot PP1 pr. definisjon Rv1 i formelen, mens Rv2 går fra PP1 til PP2. LUKKET DRAG Formel for vinkelsum: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Her er TPA og TPB kjente. De utvendige brytningsvinklene og avstandene er målt. Minioppgave: Beregn matematisk sann Sa med formelen som er gitt, og sammenlikn med målingene. Sa = 200. (n ± 200) Sa målt = Sa sann = g g Feil = Sa målt - Sa sann = (Pass på fortegn.) g Når draget regens med sola får en her ved beregningsoppstart og formelbruk at den første retningsvinkelen er gitt ved: Rv1= Rv TPA->TPB (Her: 269 g ) Videre fremover i draget gjelder formelen nedenfor. Formel: Når du har gått rundt et lukket drag får du kontroll når du kommer tilbake til fastmerkene. P9 byggesaken.no 9
2.8 TILKNYTTET POLYGONDRAG Eksempel på et tilnyttet drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter langs en vei koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå fra (minst) to kjente fastmerker til to nye fastmerker kan de nye punktene bestemmes. Brytningsvinkler og horisontallengder måles ved bruk av flere stativer som da gir tvangssentrering i hvert punkt. Gitt: TP1: X= 61,013 Y= -128,182 TP2: X= 149,274 Y= - 81,166 TP3: X= 128,645 Y= 364,952 TP4: X= -127,076 Y= 793,786 Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført ensidig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TP1->TP2 og TP3->TP4. Utjevning av koordinater. I eksemplet er lengder i mm og vinkler er i gon med kun tre desimaler. Dersom du ønsker å føre eksemplet selv kan du kopiere polygondragskjemaet som er satt inn bakerst i boka. Tegn også en god skisse av dragforløpet. P10 10 Geomatikkboka
Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene i rekkefølge som vist. Regn ut retningsvinklene mellom de kjente punktene, her 31,160 g og 134,231 g. UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer som vist. Her: 1103,171 g. Formel: Rv2 er den siste Rv, her fra TP3->TP4. Rv1 er den første Rv, her: Rv TP1->TP2 =31,160 g Sa er vinkelsummen av brytningsvinkler. n er antall brytningsvinkler. n. 200 g er sann vinkelsum i et tilknyttet drag. Rv2 = 31,160 +1103,171 - (5. 200) = 134,331 g Fei i målte brytningsvinkler kan nå beregnes. Pass på fortegn. Sann Rv2 = Rv TP3->TP4 =134,231 g Feil = Målt Rv2 - sann Rv2 Feil = 134,331 g - 134,231 g = 0,100 g Feilen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Nedenfor er n antall målinger. Korreksjon = feil/ -n Korreksjon 0,100 g / -5 = -0,020 g Fordelingen skrives over målingene med rødt. Hvis det hadde vært 0,110 g som skulle fordeles hadde det blitt f.eks. tre målinger med korreksjoner på -0,020 og to med -0,025. Regnemessig: 3. -0,020 + 2. -0,025 = - 0,060-0,050 = - 0,110 P11 byggesaken.no 11
BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n =1. Nedenfor er retningsvinklene ført inn. Dette starter med: Rv TP2->PA = 31,160 g + (296,889 g - 0,020 g ) - (1. 200 g ) = 128,069 g Rv PA->PB = 128,069 g + (118,480 g - 0,020 g ) - (1. 200 g ) = 46,489 g : Når du kommer ned til Rv TP3->TP4 får du kontroll. Rv TP3->TP4 = 134,231 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Før inn de målte lengdene. (De gråmarkerte dataene er sanne og skal ikke tas med eller utjevnes.) Regn ut Dx og Dy og før inn svarene. Pass på fortegn. Summer Dx og Dy. Før inn S koordinattilvekster for Dx og D y (den totale forflytning). SDx = -182024-161511= -20513 mm SDy = -44632-0 = - 44632 mm Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TP 3 - TP2 (Se tallene i skjemaet ovenfor.) Dx = 128645-149274 = - 20629 mm Dy = 364952-(-81166) = - 446118 mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = +116 mm og Dy = +244 mm P12 12 Geomatikkboka
UTJEVNING AV KOORDINATTILVEKSTER Feil i avstandsmåling fordeles likt ved bruk av elektronisk avstandsmåler. Tidligere ble feilen fordelt i forhold til målte lengder (proporsjonalt) når det ble brukt målebånd. Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 116/ -4 = -29 mm Dy = Korreksjon = 244/ -4 = -61 mm Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Før inn de fire fordelingene som vist. Siden det bare er gått mot positiv Y-verdi (øst) blir det ikke noe i den negative kolonnen for Dy nå. BEREGNING AV KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X PA = X TP2 + Dx X PB = X PA + Dx X PA = 149274 + (-67271) + (-29) = 81974 mm = 81,974 m X PB = 81974 + 104990 + (-29) = 186674 mm = 186,674 m Når du kommer ned til TP3 får du kontroll. Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P13 byggesaken.no 13
2.9 LUKKET POLYGONDRAG Eksempel på et lukket drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter rundt en byggetomt koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå rundt polygonen kan de nye punktene bestemmes. Gitt: TPA: X= 6140 242 Y= 777 809 TPB: X= 6120 098 Y= 727 102 Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført utvendig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TPA->TPB. Utjevning av koordinater. Videre i eksemplet er lengder i mm og vinkler i gon, med tre desimaler. P14 14 Geomatikkboka
Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene som start- og sluttpunkter, selv om de er de samme punktene. Videre beregnes den kjente retningsvinkelen fra TPA til TPB. Her: Rv TPA-TPB = 276,927 g (Lengden og D-verdiene er ikke interessante videre.) UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer de som vist til venstre. Her: Sa = 1400,058 g Formel: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Sann vinkelsum for n antall vinkler i polygonen er nå: Sa = 200. (5+2) = 1400,000 g Feil = Målt Sa - sann Sa Fei i målte brytningsvinkler beregnes. Her: + 0,058 g. Pass på fortegn. Korreksjon = feil/ -n Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene. Korreksjon 0,058 g / -5 = -0,0116 g Her: 2 punkter gis -0,011 g og 3 punkter gis - 0,012 g. byggesaken.no 15 P15
BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Den justerte brytningsvinkelen brukes nå for å bestemme retningsvinkelen fra punkt til punkt fra start i TPA til slutt mot TPB etter en runde. Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n=1. Videre føres retningsvinklene inn i skjemaet. Dette starter med: Rv TPA->TPB = 275,927 g + 311,501 g - 0,012 g = 387,416 g Rv TPB->P1 = 387,416 g + 367,254 g -0,011 g = 154,659 g Når du kommer tilbake til Rv TPA-TPB får du kontroll da Rv TPA-TPB = 275,927 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Nå skal feil i lengdemålinger fordeles. Start med å regne ut Dx og Dy. Bruk de utjevnede retningsvinklene. Pass på å føre positive og negative koordinattilvekster i riktig kolonne. Bruk formlene over kolonnene. Når Dx og Dy er regnet ut summeres de som vist ovenfor. P16 16 Geomatikkboka
Beregn sann D mellom TPA og TPB Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TPA - TPB Dx = 6140214-6120098 = 20144 Dx = 777809-727102 = 50707 Målt D er differansen i Dx- og Dy-verdiene. Dx = 88780-68614 = 20166 mm Dy = 68854-18148 = 50706 mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = + 22 mm og Dy = + 1 mm Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 22/ -4 = - 5,5 mm Dy = Korreksjon = 1/ -4 = - 0,25 mm Korreksjonen fordeles med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Her: Dx: 2 punkter gis -5 mm og 2 punkter gis -6 mm. Dy: 1 punkt gis -1 mm. Fordelingen plasseres vilkårlig, og skrives med rødt over målingene. Pass på fortegn. KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X P1 = X TPB + Dx X P2 = X P1 + Dx X P1 = 6120098 + (69187-5) = 6189280 mm = 6189,280 m X P2 = 6189280 + (-28944-6) = 6160330 mm = 6160,330 m Når du kommer ned til TPA får du kontroll. P17 byggesaken.no 17
Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P18 18 Geomatikkboka
2.10 TILKNYTTET DRAG FOR EN VEI POLYGONDRAG Oppgave med beregning av fire punkter langs en vei. Bestem koordinatene til de fire nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP 100-3480,020-1129,873 102,164 TP 101-3430,112-1080,019 TP 346-3600,142-918,533 120,433 TP 347-3612,225-841,246 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P19 byggesaken.no 19
2.11 TILKNYTTET DRAG FOR EN RØRGATE Oppgave med beregning av tre punkter langs en rørgate. Bestem koordinatene til de tre nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP 100 2166,420 14121,940 TP 200 10262,309 14527,555 TP 600 10419,954 14670,084 TP 900 10226,568 14423,523 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P20 20 Geomatikkboka
2.12 LUKKET DRAG RUNDT EN PARK POLYGONDRAG Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-hjørnene som er vist på skissen nedenfor. Lokale koordinater for de kjente punktene P1 og P2 vist nedenfor. P141: X= 3750,207 Y= -1464,672 P142: X= 3770,011 Y= -1396,003 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P21 byggesaken.no 21
2.13 TILKNYTTET DRAG I BYSENTRUM Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: TP1 X = 122 343,123 Y= - 58 880,730 TP2 X = 122 203,519 Y = - 58 543,089 TP3 X= 122 289,382 Y= - 58 811,911 TP4 X= 122 150,231 Y= - 58 639,320 Målt: a TP3 = 164,615 g L 1 = 79,945 m a P3 = 46,573 g L 4 =137,700 m a P1 = 270,826 g L 2 = 63,612 m a TP4 = 145,047 g a P2 = 298,542 g L 3 = 62,070 m Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. *** P22 22 Geomatikkboka