Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål
MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Løsningen av Del 1 har her et digitalt format for lesbarhetens skyld. Elevene kan ikke bruke datamaskin på Del 1, og må skrive besvarelsen for hånd. Oppgave 1 a) y 4 3 y 8 Jeg bruker addisjonsmetoden: y 4 3y 8 4 1 4 1 4 1 4 4 3 y 4 y 4 y 43 y 1 Likningssystemet har løsning 3 y 1 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side av 31
b) For å løse likningen grafisk, tegner jeg først de to rette 1 linjene y1 og 4 5 y i et koordinatsystem. Jeg finner så skjæringspunktet mellom linjene. Linjen y 1 skjærer y aksen i punktet 0, og har 1 stigningstall. 4 Linjen y skjærer y - aksen i 5 punktet 0, og har stigningstall. De to linjene skjærer 3 hverandre i punktet,. (Se koordinatsystemet til høyre.) Likningen har løsning. Ved regning: 1 5 4 4 8 8 10 9 18 c) 4 3 4 5,7 10 3,0 10 57000 3000 60000 6,0 10 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 3 av 31
d) 3 4 3( 4) 4 16 4 ( 4)( 4) ( 4)( 4) 3 14 ( 4)( 4) 3 1 ( 4)( 4) 3( 4) ( 4)( 4) 3 4 e) 8 0 Jeg faktoriserer først andregradsuttrykket. 80 41 ( 8) 1 6 4 80 ( 4)( ) 0 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 4 av 31
Jeg setter så opp et fortegnsskjema: 4 -linje ( 4) 0 ( ) 0 8 0 0 Løsning:, 4, f) Jeg vet at tangens er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet. 5 Når tanc, kan for eksempel 1 motstående katet til C AB være 5 og hosliggende katet til C AC være 1. Se figuren til høyre. g) 1) Jeg bruker produktsetningen for avhengige hendelser og finner sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene: 16 15 3 40 P Per liker begge twistbitene vi trekker 40% 5 4 5 3 5 100 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 5 av 31
) Hvis Per bare liker én av twistbitene, liker han enten bare den første eller bare den andre biten: 16 9 9 16 P Per liker bare én av twistbitene vi trekker 5 4 5 4 6 5 1 5 48 48% 100 Oppgave a) f1 er den momentane vekstfarten til f når 1. Jeg deriverer funksjonen og finner f 1. 1 3 f 7 3 f f 1 1 1 1 1 Den momentane vekstfarten når 1 er 1. b) Jeg regner først ut den gjennomsnittlige vekstfarten. f 1 3 1 3 3 3 7 0 0 7 3 f0 3 3 3 0 3 9977 0 I a) har vi sett at den momentane vekstfarten er negativ når 1. Siden den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet 0,3 er null, må vekstfarten også være positiv for noen verdier i dette intervallet. Det vil si at grafen både stiger og synker og derfor må ha et ekstremalpunkt i intervallet. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 6 av 31
c) I eventuelle topp- og bunnpunkter er den deriverte lik null. 1 3 f ( ) 7 3 f ( ) f ( ) 0 0 ( ) 0 0 Den deriverte er lik 0 for 0 og. For å avgjøre om dette er toppunkt eller bunnpunkt, sjekker jeg om negativ i intervallene,0, 0, og,. f er positiv eller f 1 ( 1) ( 1) 1 3 0 f 11 1 1 1 0 f 3 3 3 96 3 >0 Dette viser at grafen til f har et toppunkt i 1 3 0, f 0 0, 0 3 0 7 0,7 og et bunnpunkt i 1 8 17,, 7, 3, 3 3 3 3 f Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 7 av 31
Del Alle hjelpemidler Her et Del løst med grafisk kalkulator som eneste digitale verktøy. Løsningen av Del har her et digitalt format for lesbarhetens skyld. Med kun en grafisk kalkulator tilgjengelig, må elevene skrive besvarelsen for hånd. Oppgave 3 a) Jeg tegnet først grafen til T på kalkulatoren for å se hvordan den så ut (GRAPH, la inn funksjonsuttrykket, DRAW), så brukte jeg TABLE for å finne koordinatene til ulike punkter på grafen, slik at jeg kunne lage en nøyaktig tegning på papir. b) Opprinnelig mengde er 100 %. Når opprinnelig mengde er halvert, er det 50 % igjen. Jeg tegner linjen y1 50 i samme koordinatsystem som grafen til T og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen (GSOLV, ISCT). Se koordinatsystemet ovenfor. Det tar 5730 år før opprinnelig mengde C-14 er halvert. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 8 av 31
c) Jeg tegner linjen y 86,5 i samme koordinatsystem som grafen til T. Jeg finner skjæringspunktet mellom y og grafen til T (GSOLV, ISCT). Se koordinatsystemet ovenfor. Brønnen var omtrent 100 år gammel da målingene ble gjort. Oppgave 4 a) Jeg setter høyden av flaggstanga lik. For å finne høyden bruker jeg at tan51,3. 10 tan51,3 10 10tan51,31,5 Flaggstanga er ca. 1,5 m høy. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 9 av 31
b) For å finne ut hvor langt det er fra A til B, setter jeg AB og bruker sinussetningen: AB AC sinc sinb 40 sin94,9 sin 18069,794,9 40 sin94,9 sin15,4 40 sin94,9 sin15,4 150 Det er ca. 150 m fra A til B. c) Jeg bruker først cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: 14 0 4 04 cos 14 0 4 cos 0 4 cos 0,815 1 cos 0,815 35,66 Jeg regner så ut arealet av trekanten ved å bruke arealsetningen: 1 Areal 04 sin35,66 140 Arealet er ca. 140 m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 10 av 31
Oppgave 5 a) Jeg foretar beregninger og fyller ut tabellen: Det er 40 medlemmer totalt. 45 % av medlemmene er kvinner: 40 0,45 108 Det er 108 kvinner. Resten er menn: 40 108 13 Det er 13 menn. 63 menn ønsker ballbinge. 13 63 69 69 menn ønsker ikke ballbinge. Totalt 110 medlemmer ønsker ikke ballbinge. 110 69 41 41 kvinner ønsker ikke ballbinge. 108 41 67 67 kvinner ønsker ballbinge. Ønsker ballbinge Ønsker ikke ballbinge Mann Kvinne Totalt 63 67 130 69 41 110 Totalt 13 108 40 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 11 av 31
b) Det er her 130 gunstige av 40 mulige utfall: 130 0,54 40 Sannsynligheten for at et tilfeldig valt medlem ønsker ballbinge er ca. 54 %. c) Der er her 63 gunstige av 130 mulige utfall: 63 130 0,48 Sannsynligheten for at dette medlemmet er en gutt er ca. 48 %. d) Jeg setter antall nye medlemmer som må velges lik. Jeg får da 130 gunstige og 40 mulige og kan sette opp følgende likning: 130 0,75 40 130 0,75 40 0,75 180 130 0,5 50 00 Fotballgruppa må verve 00 nye medlemmer. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 1 av 31
Oppgave 6 a) Grafen starter ca. i punktet (0,90). Fast månedspris er ca. 90 kroner. Grafen går gjennom punktet (100,140). Jeg kan da regne ut stigningstallet (som tilsvarer prisen for hvert minutt du ringer): 140 90 0,50 100 Prisen for hvert minutt du ringer er ca. 50 øre. b) Jeg setter opp funksjonsuttrykk som beskriver hvert av de tre abonnementene: 1,59 A B 100 100 100 1,19 100 100 50 0,49 C Jeg tegnet først grafene på kalkulatoren for å se hvordan de så ut (GRAPH, la inn funksjonsuttrykkene, DRAW), så brukte jeg TABLE for å finne koordinatene til ulike punkter på grafene, slik at jeg kunne lage en nøyaktig tegning på papir. Se koordinatsystemet nedenfor. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 13 av 31
c) Jeg finner skjæringspunktene mellom grafene (GSOLV, ISCT), og ser da at: Abonnement A lønner seg dersom du ringer i mindre enn ca. 63 minutt per måned. Abonnement B lønner seg hvis du ringer mellom ca. 63 og ca. 384 minutt hver måned. Abonnement C lønner seg dersom du ringer mer enn ca. 384 minutt hver måned. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 14 av 31
Oppgave 7 a) 5 I følge produktsetningen er sannsynligheten 0,95 0,77. Sannsynligheten for at alle 5 elevene har egen profil er ca. 7,7 %. b) Dette er en binomisk sannsynlighetsmodell. For å finne sannsynligheten kan jeg regne ut 5 1 5 0,95 0,05 5 Jeg taster dette uttrykket inn på kalkulatoren min slik: 5CX0,95 ^ 0,05 ^ 5, X, 1, 5 Jeg finne at summen blir tilnærmet lik 0,998. Sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har egen profil er ca. 99,3 %. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 15 av 31
Oppgave 8 Alternativ I a) f a 4 fa 4 f er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Grafen er derfor en parabel med toppunkt. 0 f i toppunktet. : Jeg løser likningen f 0 0 f a4 0 4 a a 4 Når a, er a 1 4 4 Jeg finner f 1 : 1 1 1 f a 4 a 4 4 14 a 4 7 a Når a er Toppunkt når a er 1 7a 7 9 f 1 9, Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 16 av 31
b) I a) fant jeg at a i toppunktet. 4 Dersom koordinaten skal være lik 1 m å a 4. c) I a) fant jeg at koordinaten til toppunktet er 4 a. y koordinaten til toppunktet er da f a 4. Jeg finner f a 4 : f a 4 a a a f a 4 4 4 4 a a 4 8 4 a 4 8 y koordinaten til toppunktet er a. 8 4 y koordinaten til toppunktet har da lavest verdi når y koordinaten til toppunktet har lavest verdi når a 0. a har lavest verdi, altså når a 0. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 17 av 31
Oppgave 8 Alternativ II a) Hvis trekanten er rettvinklet, må den lengste siden (7 cm) være hypotenus, og de to korteste sidene (0 cm og 1 cm) må være kateter. Jeg setter: a 0cm b 1cm c 7cm Hvis trekanten er rettvinklet, har vi i følge Pythagoras setning at a b c. 7 79 0 1 544 Trekanten er ikke rettvinklet. b) Jeg setter den andre kateten lik. Hypotenusen blir da 6,0,0 4,0 Jeg bruker Pythagoras setning og får likningen,0 4,0 Jeg løser denne likningen og får:,0 4,0,0 4,0 8,0 8,0 1 0 8,0 1 1 1,5 8,0 Den andre kateten er 1,5 m. 4,0 4,0 1,5,5 Hypotenusen er,5 m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 18 av 31
c) Jeg setter den motstående siden til vinkelen på 10 lik. Den siste siden blir da 6,0,0 4,0. Jeg bruker cosinussetningen og får da likningen: 4,0,0 4,0,0 cos10 16 8,0 4,0 8,0,0 10 8,8 4,0,8 1, De to andre sidene i denne trekanten er,8 m og 1, m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 19 av 31
Del Alle hjelpemidler Et eksempel på hvordan oppgavene i Del kan løses ved hjelp av ulike digitale verktøy. Dynamisk geometriprogram: GeoGebra CAS: wmaima Løsningen av Del har her et digitalt format for lesbarhetens skyld. Elevene kan levere Del som IKTbasert eksamen eller på papir (som utskrift fra et digitalt verktøy eller som håndskrevet besvarelse). Oppgave 3 a) Jeg bruker graftegner i GeoGebra, skriver inn funksjonsuttrykket og tegner grafen til 5730 100 0,5 T for 0, 1000 ved å bruke kommandoen Funksjon[Funksjonsuttrykk, Startverdi for, Sluttverdi for ] b) Opprinnelig mengde er 100 %. Når opprinnelig mengde er halvert, er det 50 % igjen. Jeg tegner linjen y1 50 i samme koordinatsystem som grafen til T og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen, ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekter. Se koordinatsystemet ovenfor. Det tar 5730 år før opprinnelig mengde C-14 er halvert. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 0 av 31
c) Jeg tegner linjen y 86,5 i samme koordinatsystem som grafen til T. Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen og grafen til T ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekter. Se koordinatsystemet ovenfor. Brønnen var omtrent 100 år gammel da målingene ble gjort. Oppgave 4 a) Jeg setter høyden av flaggstanga lik. For å finne høyden bruker jeg at tan51,3. 10 tan51,3 10 10tan51,31,5 Flaggstanga er ca. 1,5 m høy. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 1 av 31
b) For å finne ut hvor langt det er fra A til B, setter jeg AB og bruker sinussetningen: AB AC sinc sinb 40 sin94,9 sin 18069,794,9 Jeg løser denne likningen ved hjelp av CAS, her wmaima: Det er ca. 150 m fra A til B. c) Jeg bruker først cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: 14 0 4 0 4 cos Jeg bruker CAS og løser denne likningen: Jeg vet at vinkelen må være mindre enn 180. Vinkelen er derfor ca. 35,66. Jeg regner så ut arealet av trekanten ved å bruke arealsetningen: 1 Areal 04 sin35,66 Jeg bruker CAS: Arealet er ca. 140 m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side av 31
Oppgave 5 a) Jeg foretar beregninger og fyller ut tabellen: Det er 40 medlemmer totalt. 45 % av medlemmene er kvinner: Det er 108 kvinner. Resten er menn: Det er 13 menn. 63 menn ønsker ballbinge. 69 menn ønsker ikke ballbinge. Totalt 110 medlemmer ønsker ikke ballbinge. 41 kvinner ønsker ikke ballbinge. 67 kvinner ønsker ballbinge. Ønsker ballbinge Ønsker ikke ballbinge Mann Kvinne Totalt 63 67 130 69 41 110 Totalt 13 108 40 Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 3 av 31
b) Det er her 130 gunstige av 40 mulige utfall: Sannsynligheten for at et tilfeldig valt medlem ønsker ballbinge er ca. 54 %. c) Der er her 63 gunstige av 130 mulige utfall: Sannsynligheten for at dette medlemmet er en gutt er ca. 48 %. d) Jeg setter antall nye medlemmer som må velges lik. Jeg får da 130 gunstige og 40 mulige og kan sette opp følgende likning: 130 40 0,75 Jeg løser likningen ved hjelp av CAS: Fotballgruppa må verve 00 nye medlemmer. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 4 av 31
Oppgave 6 a) Grafen starter ca. i punktet (0,90). Fast månedspris er ca. 90 kroner. Grafen går gjennom punktet (100,140). Jeg kan da regne ut stigningstallet (som tilsvarer prisen for hvert minutt du ringer): Prisen for hvert minutt du ringer er ca. 50 øre. b) Jeg setter opp funksjonsuttrykk som beskriver hvert av de tre abonnementene: 1,59 A B 100 100 100 1,19 100 100 50 0,49 C Jeg tegner så grafene til funksjonene A, B, og C i GeoGebra ved å bruke kommandoen Funksjon[Funksjonsuttrykk, Startverdi for, Sluttverdi for ]. Se koordinatsystemet nedenfor. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 5 av 31
c) Jeg finner skjæringspunktene mellom grafene ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekter, og ser da at: Abonnement A lønner seg dersom du ringer i mindre enn ca. 63 minutt per måned. Abonnement B lønner seg hvis du ringer mellom ca. 63 og ca. 384 minutt hver måned. Abonnement C lønner seg dersom du ringer mer enn ca. 384 minutt hver måned. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 6 av 31
Oppgave 7 a) 5 I følge produktsetningen er sannsynligheten 0,95 0,77. Sannsynligheten for at alle 5 elevene har egen profil er ca. 7,7 %. b) Dette er en binomisk sannsynlighetsmodell. Jeg bruker CAS og finner sannsynligheten. Jeg får da: Sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har egen profil er ca. 99,3 %. ELLER: Dette er en binomisk sannsynlighetsmodell. For å finne sannsynligheten kan jeg regne ut 5 1 5 0,95 0,05 5 Jeg bruker CAS og finner denne summen: Sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har egen profil er ca. 99,3 %. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 7 av 31
Oppgave 8 Alternativ I a) Jeg bruker CAS, definerer funksjonen f og finner f : fa 4 f er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Grafen er derfor en parabel med toppunkt. 0 f i toppunktet. : Jeg bruker CAS og løser likningen f 0 Når a, er a 1 4 4 Jeg bruker CAS og finner f 1 : Når a er Toppunkt når a er 1 a 7 7 9 f 1 9, Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 8 av 31
b) I a) fant jeg at a i toppunktet. 4 Dersom koordinaten skal være lik 1 m å a 4. c) I a) fant jeg at koordinaten til toppunktet er 4 a. y koordinaten til toppunktet er da f a 4. Jeg bruker CAS og finner f a 4 : y koordinaten til toppunktet er a 4. 8 y koordinaten til toppunktet har da lavest verdi når y koordinaten til toppunktet har lavest verdi når a 0. a har lavest verdi, altså når a 0. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 9 av 31
Oppgave 8 Alternativ II a) Hvis trekanten er rettvinklet, må den lengste siden (7 cm) være hypotenus, og de to korteste sidene (0 cm og 1 cm) må være kateter. Jeg setter: a 0cm b 1cm c 7cm Hvis trekanten er rettvinklet, har vi i følge Pythagoras setning at a b c. Trekanten er ikke rettvinklet. b) Jeg setter den andre kateten lik. Hypotenusen blir da 6,0,0 4,0 Jeg bruker Pythagoras setning og får likningen,0 4,0 Jeg løser denne likningen ved hjelp av CAS og får: Den andre kateten er 1,5 m. 4,0 4,0 1,5,5 Hypotenusen er,5 m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 30 av 31
c) Jeg setter den motstående siden til vinkelen på 10 lik. Den siste siden blir da 6,0,0 4,0. Jeg bruker cosinussetningen og får da likningen: 4,0,0 4,0,0 cos 10 Jeg løser likningen ved hjelp av CAS: De to andre sidene i denne trekanten er,8 m og 1, m. Eksempel på løsning MAT1013 Matematikk 1T Høst 010 Side 31 av 31