Skriftlig eksameni Matematikk 1, 4MX15-10E1 A 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 19. desember 2011. Sensur faller innen onsdag 11. januar 2012. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. torsdag 12. januar 2012 (sehttp://www.hist.no/studentweb). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 timer Hjelpemidler: Ingen Informasjon: Oppgavesettet er på 5 sider og består av 4 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Hver oppgave teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. OPPGAVE 1 a) Gi to ulike tolkninger av brøken. b) Lag en regnefortelling til multiplikasjonsstykket. Forklar hvordan du finner svaret ved hjelp av regnefortellingen. I en klasse hvor elevene har jobbet en stund med brøk og brøkbegrepet, presenterer læreren en dag følgende problem: Forrige helg skulle min kone og jeg kjøre til hytta. Vi hadde nettopp fylt bensin, så tanken var full da vi dro. Etter en stund stoppet vi for å kjøpe med oss litt mat. Vi hadde da kjørt ca. av veien. Jeg kastet et blikk på bensinmåleren og så at vi fortsatt hadde igjen på tanken. Ville vi nå fram til hytta uten å fylle mer bensin? Følgende dialog finner sted i klassen:
Aina: Vi må vite hvor langt det er til hytta di og hvor stor tank bilen har! Lærer: La oss nå se hva vi allerede vet (skriver på tavla): Har kjørt av veien. Tanken er nå full. Sam: Å, vi trenger ikke vite hvor langt det er, for du er jo nesten framme, sant, du har bare en kvart en kvart vei igjen liksom, og så har du mer enn en kvart tank bensin! c) Hvordan kan Sam ha tenkt? Er vurderingene han gjør korrekte? Etter å ha jobbet en stund med problemstillingen kommer flere av elevene fram til at familien har nok bensin til å nå fram til hytta uten å fylle. Aina har satt opp regnestykket : som en del av sin begrunnelse for dette, mens Birger har satt opp regnestykket : som en del av sin begrunnelse. d) Løs divisjonsstykkene : og :. Forklar hvordan Aina og Birger kan bruke disse regnestykkene til å begrunne løsningene sine. Sensurveiledning a) Ulike tolkninger av brøken kan være som andel av en hel (tre firedeler av et eple), som svaret på et divisjonsstykke (fire barn deler tre epler), som et (rasjonalt) tall på tallinjen, som et forhold/en relasjon (tre deler saft til fire deler vann). Svarene bør komme med eksemplifisering/figur som viser at de forstår de ulike tolkningene. b) Eksempel: Jeg har igjen 2/3 av en sjokoladeplate. Jeg spiser ¾ av den gjenværende sjokoladen. Hvor mye (angitt i deler av hel sjokoladeplate) har jeg spist? Løsning(som bør vært illustrert med en figur):tenker meg (tegner) en hel sjokoladeplate, inndelt i tre like store deler. To av disse har jeg igjen (skravert). Skal spise ¾ av dette. Deler hver av de to delene jeg har i fire mindre like store biter, spiser (dobbeltskraverer) tre små biter i hver av de to delene. Da har jeg spist 3 små biter 2 ganger (teller ganger teller), hele sjokoladen består av 4 slike små biter 3 ganger (nevner ganger nevner). Dermed har jeg spist 6/12 av en hel sjokolade. Forklaringen bør indikere at vi kan multiplisere to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner, slik at det å finne svaret ikke bare blir en telleaktivitet fra en tegning. c) Sam har funnet ut at siden han har kjørt ¾ av veien, gjenstår bare 1-3/4=1/4 av veien (korrekt). (Hele veien er å betrakte som det hele hvis vi tenker brøk som del av en hel her.) Det er oppgitt at det gjenstår 1/3 av tanken med bensin (full tank er å betrakte som det hele dersom vi tenker brøk som del av en hel her.) Sam ser på relasjonen/forholdet mellom
bensinforbruk og veistrekning, ved å tenke seg at bensinforbruket er jevnt fordelt langs veien (dette er nok ikke helt tilfelle, men vi betrakter det som korrekt).(vi er her også avhengig av at læreren startet med full tank, men dette er oppgitt). Dermed er han i posisjon til å kunne sammenlikne brøkene til tross for at de ikke er deler av det samme hele. Det vil være akkurat nok bensin til turen dersom en full tank rekker til en hel vei. Med jevnt forbruk trenger man da en halv tank til en halv vei, og en kvart tank for å kjøre en kvart vei. Sam finner (korrekt) ut at 1/3 (som er det som er igjen på tanken) er større enn ¼, kanskje ved å sammenlikne nevnere, jo større nevner, dess mindre er bitene. Brøkene har felles teller. Dermed kan Sam konkludere med at det er nok bensin til å komme seg helt fram til hytta uten å fylle. Vurderingene han gjør er korrekte. d) Svaret på Ainas divisjonsstykke er 8/9. Aina har fordelt oppbrukt andel av bensintanken (2/3) på kjørt andel av veien (3/4). Svaret 8/9 forteller hvor stor andel av bensintanken som vil være oppbrukt når vi har kjørt en hel vei. Siden svaret er mindre enn en hel, vil ikke all bensinen bli brukt opp, så det er nok bensin til å komme helt fram. (For å resonnere seg fram på svaret på divisjonsstykket kan Aina tenke at siden en bruker 2/3 av bensintanken på å kjøre ¾ av veien, må man bruke tre ganger så lite, det vil si 2/3:3=2/9 av tanken på å kjøre ¼ av veien. Da trenger man fire ganger så mye, det vil si 2/9*4=8/9 av tanken for å kjøre 4/4=1 hel vei.) Svaret på Birgers divisjonsstykke er 9/8. Birger har fordelt kjørt andel av veien (3/4) på oppbrukt andel av bensintanken (2/3). Svaret 9/8 forteller hvor stor andel av veien man kan kjøre på en hel tank bensin. Siden svaret er større enn en hel, kan man kjøre lenger enn til hytta på full tank, så det er nok bensin til å komme helt fram. (Birger kan resonnere på samme måte som Aina for å finne svaret på divisjonsstykket: Siden man kan kjøre ¾ av veien på 2/3 av tanken, kan man kjøre halvparten så langt, det vil si ¾:2=3/8 på 1/3 av tanken. Da kommer man tre ganger så langt, det vil si 3/8*3=9/8 på 3/3=1 full tank.) For Ainas og Birgers resonnement er det viktig å si hva divisjonsstykket er satt opp på grunnlag av og hva svaret forteller. Vi har vel ikke krevd noen resonnering rundt hvordan løse divisjonsstykkene, så standardalgoritmen med multiplisere med omvendt brøk må godtas. OPPGAVE 2 Elevene Omar, Per og Anne i 8. trinn er kommet til klassefinalen i et terningspill. For anledningen er premien en pose twist. Reglene for spillet er som følger: En vanlig terning kastes. Viser den fem eller seks, så flytter Omar én plass fram. Ved tre eller fire, så flytter Per én plass fram og dersom terningen viser en eller to så flytter Anne én plass fram. Den som først har flyttet ti plasser fram, vinner spillet og dermed twistposen. a) Er dette et rettferdig spill? Begrunn svaret ditt. b) Etter at terningen har blitt kastet sju ganger har Omar flyttet fire plasser fram, Per har flyttet én plass fram og Anne har flyttet to plasser fram. Følgende dialog finner sted:
Lærer: Omar: Hva er sannsynligheten for at du, Omar, får flytte ytterligere to plasser fram i løpet av de to neste kastene? Enkelt! Det er jo en tredjedels sjanse for at jeg får flytte en plass fram hver gang det kastes, så det må bli en tredjedel pluss en tredjedel, altså to tredjedeler. i) Kommenter Omars utsagn. ii) Finn den riktige løsningen på lærerens spørsmål og forklar hvordan man kunne ha illustrert dette for Omar. c) De tre elevene fortsetter spillet, og etter 25 kast har Omar flyttet åtte plasser fram, Per har flyttet ni plasser fram og Anne har flyttet åtte plasser fram. Det ringer ut til friminutt og spillet kan ikke fullføres. Følgende dialog finner sted: Anne: Per: Ingen vant, så vi deler innholdet i twistposen på tre! Nei, det blir urettferdig. Vi må fordele dem etter hvor stor sjanse det er for at den enkelte av oss vinner. Utfør beregningene som Per foreslår og vurder hvorvidt Anne vil «tjene» på Pers fordelingsforslag sammenlignet med sitt eget. Sensurveiledning: a) Spillet er rettferdig siden hvert utfall gir like stor sannsynlighet. For full score bør begrepet «utfall» nevnes i riktig sammenheng. b) I +ii) Bør inneholde forklaring på hvorfor det ikke blir riktig å addere. I tillegg bør man gjennom figurer/illustrasjoner (f.eks. i form av tabell eller trediagram) anskueliggjøre denne sammenhengen. c) Ved hjelp av f.eks. trediagram kan det vises at P(Per vinner)=17/27, P(Omar vinner)=5/27 og P(Anna vinner)=5/27. Noe uttelling kan gis om kandidaten har satt opp ufullstendige trediagram i et forsøk på løsning. OPPGAVE 3 a) En seiglivet myte om matematikkfaget er at i matematikk er det alltid bare ett riktig svar. Vis med to eksempler innenfor temaet areal og omkrets at dette ikke trenger å være tilfelle. Du skal ha med forklaringer til eksemplene dine. b) Forklar hva som menes med relasjonell forståelse, og vis hvordan du kan legge opp til at elevene skal utvikle en slik forståelse for areal av trekanter. c) Figuren under viser en oppgave i ei lærebok. Ved siden av er tre elevers svar på oppgaven. Gi en analyse av hver av de tre elevsvarene.
Finn arealet av trekanten under Aud: Vi kan ikke finne arealet når vi ikke vet den siste sidekanten. Bork: Vi må tegne ei linje som er parallell med den nederste, den som er 3cm, og gjennom hjørnet på toppen. Da kan vi måle høyden og regne ut arealet. Cirja: Men kan vi ikke ta 6cm som grunnlinja og da blir høyden 3cm? Sensurveiledning: a) Her kan kandidaten f eks vise to rektangler med samme areal og ulik omkrets og to trekanter med samme areal og ulik omkrets, eller omvendt to rektangler eller trekanter med samme omkrets og ulikt areal. Andre figurer er også mulige, f eks figurer bygd av enhetskvadrater. Det er ikke nok med tegninger, det må være med forklarende tekst. b) Begrepet relasjonell forståelse på forklares på en måte som viser at kandidaten forstår hva det handler om. De fleste vil kontrastere det til instrumentell forståelse, men en god besvarelse som ikke nevner ordet instrumentell kan også få full score. c) Her må hver av de tre analyseres, men det kan gjøres ganske kortfattet. Auds svar viser ikke god forståelse av hva areal er eller hvordan det regnes ut. Borks svar er meget godt. Cirja har rett i at kanten med lengde 6 cm kan tas som grunnlinje, men kanten av lengde 3 cm står ikke vinkelrett på denne, så høyden blir ikke 3 cm. OPPGAVE 4 a) Lag fem forskjellige regnefortellinger/tekstoppgaver til regnestykket 75:12, slik at svaret blir I. 6 med 3 i rest II. 6,25 III. 6 og IV. 7 V. 6 b) Forklar kort forskjellen mellom delingsdivisjon og målingsdivisjon og avgjør hvilken av de to typene du har brukt i hvert av de fem tilfellene i a). c) Klassen din er i starten av arbeidet med divisjon og jobber med oppgaven 75:12. På figuren under ser du hvordan to av elevene løser oppgaven. Jesper har løst oppgaven slik:
Jakob har løst oppgaven slik: Gi en analyse av de to elevenes løsninger. d) Både Stig og Petra har fått 6,25 som svar på oppgaven i c). De sjekker svaret ved å multiplisere. Under ser dere (Stig til venstre) hvordan de har multiplisert. Analyser de to multiplikasjonsstrategiene de har brukt. Løsning a) Her er poenget å finne regnestykker der konteksten naturlig gir opphav til de forskjellige svarene på 75:12. I. 6 med 3 i rest Du har 75 legoklosser foran deg og skal bygge tårn på 12. Hvordan kan du sette sammen brikkene?(tenk på ting som ikke kan deles opp i mindre biter, som for eksempel klosser, levende objekt og liknende)
II. 6,25 75 kroner skal deles på 12 personer (Tenk for eksempel på ting som kan deles/måles, som avstand, vekt, penger). III. 6 og 75 sjokolader/pizzaer skal deles på 12 personer (Lett å tenke ting som deles eller knekkes). IV. 7 75 enheter skal pakkes og sendes i esker med plass til 12. Hvor mange esker trengs? V. 6 Å pakke en mengde på 75 enheter i esker med plass til 12. Hvor mange fulle esker får vi? For eksempel å selge esker med plass til 12 enheter i. Med 75 enheter, hvor mange (fulle) esker får du solgt. b) Målingsdivisjon der en kan tenke «delt opp i» og delingsdivisjon der en kan tenke «delt på». Altså målingsdivisjon på I, (og muligens IV og V). c) Jesper har prøvd seg på standardalgoritmen for divisjon. Han gjør en feil der han skal «trekke ned en null», men deler i stedet ut 3 på 12 og får 0. Jakob har brukt målingsdivisjon-tankegang (eventuelt «Nils Johan-divisjon» ) og deler ut bit for bit helt til han har brukt opp alt og det gjenstår tre som ikke kan deles på 12 med heltall som svar. d) Petra bruker standardalgoritmen for multiplikasjon. Å analysere denne kan/bør inneholde at distributiv lov brukes, for eksempel ved at 6.25*12 gjøres om til 625*12 for så å bli 625*10 + 625*2. Stig har brukt distributiv lov på annen måte, nemlig ved å si at 6.25*12 = 6*2+6*10+0.25*2+0.25*10.