Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

8 1

Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum bruke varierte målenheter og måleredskaper, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktighet

1.1 Enheter for lengde? Oppgave 1.10 Denne oppgaven skal du løse uten måleredskaper, for her skal du prøve å anslå lengder. a) Hvor mange centimeter bredt er et A4-ark, tror du? Hvor mange desimeter er det? b) Hvor mange desimeter er bredden av pultplata di? Hvor mange centimeter er det? c) Hvor mange meter er bredden av klasserommet ditt? Hvor mange desimeter er det? d) Sammenlikn svarene dine med det de andre i klassen har svart. Store lengder og avstander måler vi ofte i meter (m), kilometer (km) eller mil. Ettersom kilo betyr 1000, er 1 km = 1000 m. Sammenhengen er: 1 km = 1000 m 1 m = 0,001 km 1 mil = 10 km 1 km = 0,1 mil Små lengder måler vi vanligvis i desimeter (dm), centimeter (cm) eller millimeter (mm). CM 88 89 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1 1 m 2 CM 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90 Vi har denne sammenhengen mellom meter, centimeter og millimeter: 1 m = 10 dm 1 dm = 0,1 m 1 dm = 10 cm 1 cm = 0,1 dm 1 cm = 10 mm 1 mm = 0,1 cm 1 m = 100 cm 1 cm = 0,01 m 1 m = 1000 mm 1 mm = 0,001 m Disse sammenhengene bruker vi når vi regner om mellom enheter. a) Hvor mange kilometer er 5,6 mil? b) Hvor mange meter er 2,7 km? c) Hvor mange centimeter er 25 mm? 10 Sinus 1P > Geometri

a) Vi vet at 1 mil er 10 km. Det gir 5,6 mil = 5,6 10 km = 56 km 1 mil b) Ettersom 1 km er 1000 m, får vi 2,7 km = 2,7 1000 m = 2700 m 1 km c) Ettersom 1 mm er 0,1 cm, er 25 mm = 25 0,1 cm = 2,5 cm 1 mm I praksis løser vi oppgaver som i eksempelet ovenfor ved å flytte komma. a) Hvor mange meter er 12,3 km? Hvor mange kilometer er 3700 m? b) Hvor mange meter er 32 cm? Hvor mange centimeter er 0,785 m? a) Ettersom 1 km = 1000 m, må vi flytte kommaet tre plasser. 12,3 km = 12,300 km = 12 300 m, 3 3700 m = 3,7 km 3 b) Da 1 m = 100 cm, må vi flytte kommaet to plasser. 32 cm = 032 cm = 0,32 m 0,785 m = 78,5 cm 2 2? Oppgave 1.11 a) Hvor mange meter er 0,67 km? b) Hvor mange millimeter er 0,7 cm? c) Hvor mange kilometer er 4200 m? d) Hvor mange mil er 45 000 m? 11

? Oppgave 1.12 Gjør om til kilometer. a) 13,4 mil b) 0,47 mil c) 7800 m d) 300 m Oppgave 1.13 Gjør om til desimeter. a) 12,3 m b) 0,75 m c) 45 cm d) 320 mm Noen ganger får vi bruk for å summere avstander. Da gjør vi om alle avstandene til samme målenhet og legger sammen. Legg sammen avstandene. 13,4 km + 2,5 mil + 4300 m Vi gjør alle lengdene om til kilometer. 2,5 mil = 25 km 4300 m = 4,3 km Nå summerer vi: 13,4 km + 2,5 mil + 4300 m = 13,4 km + 25 km + 4,3 km = 42,7 km = 43 km Ettersom det ikke er desimaler i 25 km, tar vi heller ikke med desimaler i svaret. Vi runder av til 43 km.? Oppgave 1.14 Legg sammen. a) 200 m + 3,4 km b) 5,2 mil + 17 km c) 32 dm + 420 cm d) 24,2 cm + 112 mm Oppgave 1.15 Legg sammen. a) 12,1 km + 2,10 mil + 1400 m b) 23,2 dm + 5,2 m + 130 cm c) 2,3 cm + 1,2 dm + 54 mm 12 Sinus 1P > Geometri

1.2 Måling av lengde og avstand? Oppgave 1.20 a) Bruk en linjal og mål 1) lengden og bredden av et A4-ark 2) tykkelsen av tommelen din 3) høyden din 4) tykkelsen av pennen din 5) omkretsen av pennen din b) Hvilke av målene ovenfor tror du ble mest nøyaktige? Hvor stor feil kan du ha gjort? c) Hvilke mål tror du er mest unøyaktige? Hvor stor tror du feilen kan være? d) Vet du om måleredskaper som er bedre egnet til målingene ovenfor? Når vi måler lengder og bredder, får vi ikke alltid et nøyaktig resultat. En grunn kan være at det vi måler, ikke har noen helt nøyaktig lengde eller bredde. Høyden din er avhengig av hvor godt du strekker deg. Bredden av tommelen er avhengig av hvor du måler, og hvor hardt du klemmer. En annen grunn kan være at det måleredskapet vi har, ikke egner seg til målingen. Det er ikke enkelt å måle tykkelsen av tommelen og omkretsen av en penn ved hjelp av en linjal. Linjalen og meterstokken er best egnet for lengder fra 1 mm og opp til noen få meter. Med dem kan vi måle lengder i hele millimeter og for eksempel finne ut at lengden av et A4-ark er 297 mm eller 29,7 cm. Men vi kan ikke finne ut om lengden er 297,0 mm eller 297,1 mm. Vi sier at målenøyaktigheten her er 1 mm eller 0,1 cm. 13

Det fins nøyaktige måleredskaper som vi kan bruke til å måle små lengder. En skyvelære måler lengder fra 1 mm og opp til omtrent 15 cm. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 En skyvelære er velegnet når vi for eksempel skal finne diameteren av et rør eller diameteren av et hull. Nøyaktigheten er 0,1 mm. Da kan vi se om et rør for eksempel er 9,3 mm eller 9,4 mm tykt. Hvordan en skyvelære skal brukes, kan du finne på Sinus-sidene på nettet. Med en mikrometerskrue kan vi måle lengder med en nøyaktighet på 0,01 mm. Da kan vi avgjøre om et rør er 9,34 mm eller 9,35 mm tykt. Men det vi måler, kan ikke være mer enn noen få centimeter langt. 8 0 30 35 40 Det fins elektroniske måleapparater som måler lengder enda mer nøyaktig enn det vi kan gjøre med en mikrometerskrue. Med en meterstokk eller et måleband kan vi måle korte avstander. Men hvis avstanden er på flere kilometer, trenger vi andre hjelpemidler. Hvis vi skal måle avstander langs en vei, kan vi bruke kilometertelleren på en bil eller en sykkel. Men slike målere er ofte unøyaktige. Flere typer elektroniske målere kan derimot måle avstand med stor nøyaktighet. Blant annet kan vi måle avstander hvis vi har en GPS-mottaker. 14 Sinus 1P > Geometri

Det fins små bærbare mottakere og modeller som er montert i biler eller båter. Ved hjelp av tre fire satellitter finner GPS-mottakeren ut hvor du er. Den kan vise posisjonen enten på et digitalt kart eller ved hjelp av tall. Mottakeren viser aldri mer enn 15 m feil. Hvis du skal gå fra et sted A til et sted B, kan GPS-mottakeren finne avstanden i luftlinje. Når du er framme ved B, kan mottakeren fortelle hvor langt du har gått, med en feilmargin på 15 m. Det er ikke bare målenøyaktigheten til selve redskapen som avgjør hvor nøyaktig måling vi får. Vi kan for eksempel være unøyaktige når vi gjør målin gen, eller gjenstanden har en form som gjør at den er vanskelig å måle. Det er stor forskjell på å måle 1 mm feil når vi skal måle en maskindel som er 5 mm lang, og å måle 1 mm feil når vi skal måle et veistykke som er flere hundre meter langt. Derfor oppgir vi ofte målenøyaktigheten i prosent. a) Når vi bruker en linjal, er målenøyaktigheten 1 mm. Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 20 cm? b) Når vi bruker en GPS-mottaker, er målenøyaktigheten 15 m. Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en avstand på 3 mil? c) Hvilken av disse to målingene er mest nøyaktig? a) Vi gjør lengden om til millimeter. 20 cm = 200 mm. Forholdet mellom nøyaktigheten og lengden er 1 200 = 0,005 Prosenten er 0,005 100 % = 0,5 % b) Vi gjør lengden om til meter. 3 mil = 30 km = 30 000 m. Forholdet mellom nøyaktigheten og lengden er 15 30 000 = 0,0005 Prosenten er 0,0005 100 % = 0,05 % c) Ettersom den prosentvise målefeilen er minst for GPS-målingen, er det den som er den mest nøyaktige. 15

? Oppgave 1.21 Når vi bruker en skyvelære, er målenøyaktigheten 0,1 mm. a) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 10 cm? b) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 2 cm? Oppgave 1.22 Når vi bruker en mikrometerskrue, er målenøyaktigheten 0,01 mm. a) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 2 cm? b) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 1 mm? Oppgave 1.23 (gruppeoppgave) Vi skal nå undersøke målenøyaktigheten ved en praktisk måling. a) Hver elev i klassen måler bredden av samme type pultplate. b) Vi samler sammen alle måleresultatene og regner ut gjennomsnittet. Det tallet er sikkert nær den riktige bredden av pultplaten. c) Hver elev regner nå ut hvor mange prosent fra gjennomsnittet de var. d) Vi samler sammen alle prosentavvikene og regner ut gjennomsnittet. Det er et brukbart mål for målenøyaktigheten. 1.3 Vinkler i formlike figurer Når vi forstørrer eller forminsker og eventuelt speilvender en figur, får vi en formlik fi gur. De to husgavlene nedenfor er formlike. u v Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler i de to figurene.? Oppgave 1.30 a) Bruk en vinkelmåler og mål vinklene u og v i de to figurene ovenfor. Hva finner du? b) Mål de andre samsvarende vinklene i de to figurene. Hva finner du? 16 Sinus 1P > Geometri

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store. Firkantene ABCD og EFGH er formlike. D C H 135 G A 45 a) Finn B og C. b) Finn summen av vinklene i ABCD. a) Ettersom figurene er formlike, er B = F = 90 C = G = 135 b) Summen av vinklene i ABCD er B E F A + B + C + D = 45 + 90 + 135 + 90 = 360 Noen ganger må vi selv finne ut om to figurer er formlike. Da må vi bruke noen regler som vi kjenner fra ungdomsskolen. Om trekanter vet vi dette: Summen av vinklene i en trekant er 180. Videre vet vi at to trekanter er formlike hvis vinklene er parvis like store. Når vi skal undersøke om to trekanter er formlike, er det nok å vise at to av vinklene er parvis like store. Da må de siste vinklene også være like, for summen av vinklene skal være 180. 17

To trekanter er formlike hvis to av vinklene i den ene trekanten er like store som to av vinklene i den andre trekanten. Noen tilsvarende regel gjelder ikke for figurer med mer enn tre kanter. Vi arbeider derfor stort sett med trekanter når vi skal undersøke om figurer er formlike. Vis at de to trekantene på figuren er formlike. C 82 F 53 53 45 A B D E Vi ser at A = D. I ABC er summen av vinklene 180. Dermed er B = 180 53 82 = 45 Dermed er B = E. To av vinklene i ABC er altså lik to av vinklene i DEF. Trekantene er derfor formlike.? Oppgave 1.31 ABC og DEF er formlike. Finn B og C. C F A 35 60 B D E Oppgave 1.32 ABC og DEF er formlike. I ABC er A = 41,7 og B = 53,3. Finn vinklene i DEF. 18 Sinus 1P > Geometri

? Oppgave 1.33 Vi kan vise at vinkelsummen i en firkant alltid er 360. Det må du bruke i denne oppgaven. Firkanten ABCD og firkanten EFGH er formlike. På figuren nedenfor finner du noen av vinklene. Finn de ukjente vinklene i de to firkantene. A D 63 H C 129 108 B E F G På figuren nedenfor har vi tegnet to linjer som skjærer hverandre. v u Vinklene u og v kaller vi toppvinkler. De er alltid like store slik at u = v. Toppvinkler er like store. På figuren nedenfor er det ei linje som krysser to parallelle linjer. Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler ved parallelle linjer. De er alltid like store, slik at u = v. w v u Samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store. Videre er v og w toppvinkler. Dermed er v = w. Men ettersom u = v, er også u = w. 19

I firkanten ABCD er sidene AB og CD parallelle. La E være skjæringspunktet mellom diagonalene. Vis at ABE er formlik med CDE. D C E A B Ettersom AB og CD er parallelle sider, er BAE = ECD. Vinklene AEB og CED er toppvinkler. Dermed er AEB = CED. Altså er to av vinklene i ABE lik to av vinklene i CDE. Vi har da vist at ABE er formlik med CDE.? Oppgave 1.34 Merk av to punkter på den lange sida av et A4-ark. Merk av to punkter på motsatt side av arket. Trekk linjer fra punktene på den ene siden til punktene på den andre siden slik at linjene skjærer hverandre. Forklar hvorfor du får fram to formlike trekanter. Oppgave 1.35 Tegn en trekant ABC. La D være et punkt på AC. La E ligge på BC slik at DE er parallell med AB. Forklar hvorfor trekanten DEC er formlik med trekanten ABC. A D C E B 20 Sinus 1P > Geometri

1.4 Lengder i formlike figurer? Oppgave 1.40 De to femkantene nedenfor er formlike. D C E J I H A B F G a) FG og AB er samsvarende sider. Mål lengden av sidene og regn ut forholdet mellom FG og AB. b) Finn forholdet mellom de samsvarende sidene GH og BC. c) Finn forholdet mellom andre samsvarende sider i de to femkantene. d) Finn forholdet mellom diagonalene FI og AD. e) Finn forholdet mellom andre diagonaler. f) Hvilken regel har vi? I to formlike figurer er forholdet mellom samsvarende lengder det samme uansett hvilke samsvarende lengder vi velger. De to firkantene nedenfor er formlike. Finn lengden av EH. D C 7,0 cm H G A 15,0 cm B E 6,0 cm F 21

De to figurene er formlike, og da er forholdet mellom samsvarende sider i de to firkantene det samme. Det er praktisk å sette opp de samsvarende sidene i en tabell der vi passer på å plassere den ukjente siden øverst til venstre i tabellen. Samsvarende sider Samsvarende sider Liten figur EH EF Stor figur AD AB Det gir denne likningen: EH AD = EF AB EH 7,0 cm EH 7,0 cm EH = 2,8 cm 6,0 cm = 15,0 cm 7,0 cm 6,0 cm 7,0 cm = 7,0 cm 15,0 cm Det er ikke bare forholdet mellom rette linjer som er det samme i formlike figurer. Forholdet mellom samsvarende krumme linjer er også det samme. Grete skal lage et blomsterbed i hagen. Avstanden tvers over bedet skal være 250 cm som vist på figuren til venstre nedenfor. Hun lager en modell av bedet i papir der avstanden tvers over er 20 cm. På denne modellen er omkretsen 90 cm. a) Finn omkretsen av bedet. b) Langs kanten av bedet vil Grete legge stein. Steinene er kvadratiske med sidekant 15 cm. Hvor mange steiner trenger hun? 250 cm 20 cm 22 Sinus 1P > Geometri

a) La omkretsen av bedet være x. Vi lager tabell: Omkrets Avstand på tvers Bed x 250 cm Mønster 90 cm 20 cm Det gir denne likningen: x 90 cm = 250 cm 90 cm 20 cm x = 250 90 cm 20 x = 1125 cm Omkretsen er 11,25 m. b) Ettersom omkretsen er 1125 cm og hver stein er 15 cm, blir tallet på steiner 1125 : 15 = 75. Grete trenger 75 steiner.? Oppgave 1.41 ABC og DEF er formlike. Finn lengden av sidene DF og EF. 5,6 cm 4,4 cm C F A 8,0 cm B D 6,0 cm E Oppgave 1.42 ABC og DEF er formlike. F 3,2 cm 42 C 45,5 5,4 cm A 4,5 cm B D 8,1 cm E a) Finn lengden av sidene BC og DF. b) Finn B, C, D og F. 23

? Oppgave 1.43 Bjarne Beck vil lage sin egen ballbinge. Den skal være 9,00 m lang. Han lager en modell som er 30 cm lang og 18 cm bred. Bjarne finner ut at det er 75 cm rundt hele modellen. Ballbingen skal være formlik med modellen. 18 cm 30 cm a) Finn bredden av ballbingen. b) Langs kanten av bingen vil Bjarne bruke sponplater med bredde 60 cm. Hvor mange slike plater trenger han?! Det er ikke alltid de figurene vi arbeider med, er snudd samme veien. Da kan det være litt vanskelig å se hvilke sider som er samsvarende sider. Husk at samsvarende sider alltid går mellom like vinkler. På figuren nedenfor er AB og CD parallelle. Trekantene ABE og CDE er dermed formlike. D 50 cm C E 64 cm A 80 cm B a) Hvilken side i CDE samsvarer med AE? b) Finn lengden av CE. 24 Sinus 1P > Geometri

a) AEB og CED er toppvinkler. Vi har satt én strek over vinkeltegnet ved disse vinklene for å vise at de er like store. Ettersom AB og CD er parallelle, er A = C. Her har vi satt to streker over vinkeltegnene. Samsvarende sider går mellom like vinkler, og dermed er CE og AE samsvarende sider. CE og AE er samsvarende sider. b) Vi setter samsvarende sider inn i en tabell. Samsvarende sider Samsvarende sider CDE CE CD ABE AE AB Det gir dette forholdet: CE AE = CD AB CE 64 cm CE = 50 cm = 80 cm 50 cm 80 cm CE = 40 cm 64 cm 64 cm? Oppgave 1.44 I ABC er AB = 5,4 cm, AC = 4,2 cm og BC = 4,8 cm. Punktet D ligger på AC slik at CD = 2,0 cm. Punktet E ligger på BC slik at DE er parallell med AB. C D E A B a) Forklar hvorfor DEC er formlik med ABC. b) Finn lengden av CE og av DE. 25

? Oppgave 1.45 I ABC er AB = 12,0 cm, AC = 8,0 cm og BC = 7,2 cm. Punktet D ligger på AB slik at BD = 4,0 cm. Punktet E ligger på BC slik at BDE = C. a) Tegn figur. b) Forklar hvorfor BED er formlik med ABC. c) Finn de samsvarende sidene i de to trekantene. d) Finn lengden av DE og av BE. 1.5 Pytagorassetningen I trekanten nedenfor er C = 90. En slik trekant der en av vinklene er 90, kaller vi en rettvinklet trekant. C Katet b a Katet A c Hypotenus B I en rettvinklet trekant er hypotenusen den siden som ligger rett overfor den rette vinkelen. Vinkelbeina til den rette vinkelen kaller vi kateter. Begge katetene har et endepunkt i hjørnet med den rette vinkelen. Fra ungdomsskolen kjenner du pytagorassetningen. Den gir sammenhengen mellom lengdene av katetene og hypotenusen. Setningen er oppkalt etter Pytagoras, en gresk matematiker og filosof som levde for omtrent 2500 år siden. I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er c 2 = a 2 + b 2 Denne setningen kjente babylonerne til lenge før Pytagoras levde. Setningen bærer likevel hans navn fordi vi tror det var han som var den første som beviste den. 26 Sinus 1P > Geometri

I en rettvinklet trekant har katetene lengdene 5,4 cm og 7,2 cm. Finn lengden c av hypotenusen. Vi bruker pytagorassetningen. c 2 = (5,4 cm) 2 + (7,2 cm) 2 = 29,16 cm 2 + 51,84 cm 2 = 81,0 cm 2 c = 81,0 cm 2 = 9,0 cm Hypotenusen er 9,0 cm. c 7,2 cm 5,4 cm En rektangulær parkeringsplass er 39 m lang og 24 m bred. Hvor langt er det fra et hjørne til motsatt hjørne? 24 m c 39 m Når vi trekker diagonalen, får vi fram en rettvinklet trekant der katetene har lengdene 39 m og 24 m. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (39 m) 2 + (24 m) 2 = 1521 m 2 + 576 m 2 = 2097 m 2 c = 2097 m 2 = 45,8 m Det er ca. 46 m fra et hjørne til motsatt hjørne. 27

? Oppgave 1.50 Finn lengden av hypotenusen. a) b) c) 8 dm 5 dm 4,5 cm 5,8 cm 6 dm 5 dm Oppgave 1.51 I en rettvinklet trekant er lengdene av katetene 5 cm og 12 cm. Hvor lang er hypotenusen? Oppgave 1.52 Ei dør er 0,90 m bred og 2,05 m høy. Hvor lang er diagonalen i døra? Vi kan også bruke pytagorassetningen til å finne en katet når vi kjenner hypotenusen og den andre kateten. En stige som er 3,00 m lang, står inntil en vegg. Stigen står på et horisontalt underlag. Den står 1,20 m fra veggen ved bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? La x være avstanden opp langs veggen. x 3,00 m 1,20 m 28 Sinus 1P > Geometri

Her har hypotenusen lengden 3,00 m. Pytagorassetningen gir denne likningen: x 2 + (1,20 m) 2 = (3,00 m) 2 x 2 + 1,44 m 2 = 9,00 m 2 x 2 = 9,00 m 2 1,44 m 2 x 2 = 7,56 m 2 x = 7,56 m 2 x = 2,75 m Stigen når 2,75 m opp på veggen. Noen ganger bruker vi pytagorassetningen til å kontrollere om en trekant er rettvinklet. Vi undersøker da om sidene passer med pytagorassetningen. En bilderamme er 34,4 cm lang og 21,2 cm høy. Diagonalen er 41,0 cm. Er ramma rettvinklet? 41,0 cm 21,2 cm 34,4 cm Vi undersøker hvor lang diagonalen må være hvis ramma skal være rettvinklet. Da må diagonalen være hypotenusen i en rettvinklet trekant. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (34,4 cm) 2 + (21,2 cm) 2 = 1633 cm 2 c = 1633 cm 2 = 40,4 cm Diagonalen skal være 40,4 cm. Ettersom den er 41,0 cm, er ikke ramma rettvinklet. Ramma er ikke rettvinklet. 29

? Oppgave 1.53 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 8,5 cm lang, og den ene kateten er 5,4 cm lang. Hvor lang er den andre kateten? Oppgave 1.54 Ei flaggstang står på et horisontalt underlag. En 20 m lang line er festet til toppen av flaggstanga. Når vi strekker lina, når den 8,72 m ut fra foten av stanga. Hvor høy er flaggstanga? Oppgave 1.55 Sidene i en trekant har lengdene 4,2 cm, 5,6 cm og 7,0 cm. Er trekanten rettvinklet? 20 m h 8,72 m Oppgave 1.56 En tømrer skal sette opp to vegger som skal stå vinkelrett på hverandre. Han merker av et punkt på den ene veggen i avstanden 1,50 m fra hjørnet. Han merker også av et punkt på den andre veggen i avstanden 2,00 m fra hjørnet. Hvis avstanden mellom de to punktene er 2,50 m, er vinkelen 90. 1,50 m 2,00 m 2,50 m? Forklar hvorfor dette er riktig. 30 Sinus 1P > Geometri

1.6 Areal Arealet av flatestykker måler vi ofte i enhetene kvadratcentimeter (cm 2 ), kvadrat desimeter (dm 2 ), kvadratmeter (m 2 ) eller kvadratkilometer (km 2 ). 1 dm 1 cm 1 dm 1 cm 2 1 dm 2 1 cm Ettersom 1 dm = 10 cm, kan vi langs hver side i det store kvadratet plassere ti ruter som hver er 1 cm 2. Vi ser at vi kan fylle det store kvadratet med 100 små ruter. 1 dm 2 = 100 cm 2 Dette kan vi regne ut på denne måten: Dermed er 1 dm 2 = (10 cm) 2 = 10 2 cm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 0,01 dm 2 Vi kan regne om mellom kvadratmeter og kvadratdesimeter på tilsvarende måte. 1 m 2 = (10 dm) 2 = 10 2 dm 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 0,01 m 2 31

Regn om til kvadratdesimeter. a) 1,25 m 2 b) 435 cm 2 a) 1,25 m 2 = 1,25 100 dm 2 = 125 dm 2 1 m 2 b) 435 cm 2 = 435 0,01 dm 2 = 4,35 dm 2 1 cm 2 I eksempelet ovenfor legger vi merke til at vi har flyttet kommaet to plasser. Når vi regner om mellom cm 2 og dm 2 eller mellom dm 2 og m 2, flytter vi kommaet 2 plasser. a) Regn om 346,2 dm 2 til kvadratmeter (m 2 ). b) Regn om 0,782 dm 2 til kvadratcentimeter (cm 2 ). a) 346,2 dm 2 = 346,2 dm 2 = 3,462 m 2 2 b) 0,782 dm 2 = 0,782 dm 2 = 78,2 cm 2 2? Oppgave 1.60 Gjør om til kvadratdesimeter. a) 3,7 m 2 b) 0,12 m 2 c) 376,5 cm 2 Oppgave 1.61 Gjør om til kvadratmeter. a) 350 dm 2 b) 12 200 dm 2 c) 25 000 cm 2 32 Sinus 1P > Geometri

Nå repeterer vi noen arealformler fra ungdomsskolen. Rektangel Alle vinklene er 90. De motstående sidene er parallelle og like lange. Arealet A er A = g h der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. g h Kvadrat Alle vinklene er 90. Alle sidene er like lange. Arealet A er A = s 2 s der s er lengden av sidene. Trekant En trekant er begrenset av tre rette linjer. Arealet A er gitt ved A = g h 2 h s h der g er lengden av grunnlinja og h er høyden fra toppunktet til grunnlinja eller til forlengelsen av grunnlinja. g g Parallellogram De motstående sidene er parallelle og like lange. De motstående vinklene er like store. Arealet A er gitt ved A = g h der g er lengden av to parallelle sider og h er avstanden mellom dem. h g Rombe Alle sidene er like lange og parvis parallelle. De motstående vinklene er like store. Arealet A er gitt ved A = g h h der g er lengden av sidene og h er avstanden mellom to parallelle sider. g 33

Trapes To av sidene er parallelle. Arealet A er gitt ved (a + b) h A = 2 h der a og b er lengdene av de parallelle sidene og h er avstanden mellom dem. b a Finn arealet av parallellogrammet. Arealet A er 4,3 cm A = g h = 8,4 cm 4,3 cm = 36,12 cm 2 = 36 cm 2 8,4 cm I eksempelet ovenfor var både lengden og bredden oppgitt med to siffer. Da tar vi med to siffer i svaret også. Vi runder av til 36 cm 2. Når vi multipliserer tall som er målte verdier, tar vi med omtrent like mange siffer i svaret som det er siffer i de tallene som er oppgitt. Legg merke til at vi teller sifrene og ikke desimalene.? Oppgave 1.62 En trekant har grunnlinje g = 7,8 cm og høyde h = 5,2 cm. Finn arealet av trekanten. Oppgave 1.63 Et rektangel er 11 cm langt og 7,0 cm bredt. Regn ut arealet av rektangelet. Oppgave 1.64 I et kvadrat er omkretsen 36 cm. a) Finn lengden av sidene i kvadratet. b) Regn ut arealet av kvadratet. 34 Sinus 1P > Geometri

Noen ganger må vi bruke pytagorassetningen til å finne lengder når vi skal regne ut et areal. ABCD er et trapes der AB og DC er de parallelle sidene. AB er lengre enn CD. Videre er B = 90, BC = 3,0 cm, CD = 5,4 cm og AD = 4,0 cm. a) Finn lengden av AB. b) Finn arealet av trapeset ABCD. a) Først tegner vi en figur og setter på målene. Deretter feller vi ned en normal DE fra D på AB. EBCD blir et rektangel, derfor er EB = DC = 5,4 cm ED = BC = 3,0 cm D 5,4 cm C 4,0 cm 3,0 cm A E B Vi kan bruke pytagorassetningen til å finne AE. AE 2 + ED 2 = AD 2 AE 2 + (3,0 cm) 2 = (4,0 cm) 2 AE 2 + 9,0 cm 2 = 16,0 cm 2 AE 2 = 16,0 cm 2 9,0 cm 2 = 7,0 cm 2 AE = 7,0 cm = 2,6 cm Nå kan vi finne AB. AB = AE + EB = 2,6 cm + 5,4 cm = 8,0 cm b) Arealet av trapeset blir (AB + DC) ED = (8,0 cm + 5,4 cm) 3,0 cm 2 2 13,4 cm 3,0 cm = = 20 cm 2 2 35

? Oppgave 1.65 I parallellogrammet ABCD er DC = 12,3 cm, og AD = 7,2 cm. Normalen fra D til AB treffer AB 2,2 cm fra A. D 12,3 cm C 7,2 cm h A 2,2 cm E B a) Finn avstanden h mellom AB og CD. b) Regn ut arealet av parallellogrammet. Oppgave 1.66 Regn ut arealet av trapeset. D C 4,8 cm 5,2 cm A 6,8 cm B 1.7 Sirkelen I en sirkel er diameteren d dobbelt så lang som radien r. r d r d = 2 r 36 Fra ungdomsskolen kjenner vi formlene for omkretsen og arealet av en sirkel. Legg merke til at vi bruker ordet sirkel om hele sirkelskiva (hele rundingen med innhold) når vi snakker om arealet av sirkelen. Sinus 1P > Geometri

Omkretsen O og arealet A av en sirkel med radien r er gitt ved formlene O = 2 r A = r 2 Vi regner ofte med at tallet = 3,14. Når du får bruk for dette tallet i oppgaver, bør du heller trykke på tasten på lommeregneren. Mange lommeregnere gir da verdien = 3,141592654. Dette er en riktigere verdi for, men også denne verdien er unøyaktig. Det er ikke mulig å skrive tallet nøyaktig som en brøk eller som et desimaltall. Finn radien, arealet og omkretsen av en sirkel der diameteren d = 10,8 cm. Radien er r = d 2 Arealet er 10,8 cm = = 5,4 cm 2 A = r 2 = (5,4 cm) 2 = 91,6 cm 2 Omkretsen er O = 2 r = 2 5,4 cm = 33,9 cm? Oppgave 1.70 Finn diameteren, arealet og omkretsen av en sirkel der radien er 7,8 cm. Oppgave 1.71 På et sirkelrundt bord som er 1,5 m i diameter, skal det legges en duk. Duken skal henge 25 cm ned fra bordkanten rundt hele bordet. Finn arealet og omkretsen av duken. Oppgave 1.72 Mari trenger skråbånd til å ha rundt kanten på 20 sirkulære brikker. Radien i hver brikke er 15 cm. a) Hvor mye skråbånd går det med til en brikke? b) Hvor mye skråbånd må hun ha? 37

1.8 Volum Volum regner vi ofte i kubikkmeter (m 3 ), kubikkdesimeter (dm 3 ) eller kubikkcentimeter (cm 3 ). 1 cm 3 er volumet av en terning som er 1 cm lang, 1 cm bred og 1 cm høy. Vi kan regne om mellom enhetene på denne måten: 1 dm 3 = (10 cm) 3 = 10 3 cm 3 = 1000 cm 3 1 m 3 = (10 dm) 3 = 10 3 dm 3 = 1000 dm 3 I praksis gjør vi slik: Når vi regner om mellom cm 3 og dm 3 eller mellom dm 3 og m 3, flytter vi kommaet 3 plasser. Volumet av væsker måler vi oftest i liter, desiliter, centiliter eller milliliter. Slik er sammenhengen mellom disse enhetene: 1 l = 10 dl 1 dl = 0,1 l 1 dl = 10 cl 1 cl = 0,1 dl 1 l = 100 cl 1 cl = 0,01 l 1 l = 1000 ml 1 ml = 0,001 l 1 dl = 100 ml 1 ml = 0,01 dl 1 cl = 10 ml 1 ml = 0,1 cl Vi kan gjøre om mellom liter og kubikkdesimeter når vi vet at 1 liter er det samme som 1 dm 3. 1 liter = 1 dm 3 Gjør om til kubikkdesimeter. a) 4500 cm 3 b) 2,3 m 3 a) 4500 cm 3 = 4500 cm 3 = 4,500 dm 3 = 4,5 dm 3 b) 2,3 m 3 = 2,300 m 3 = 2300 dm 3 3 3 38 Sinus 1P > Geometri

Gjør 23,5 dl om til kubikkdesimeter. Først gjør vi om til liter. 23,5 dl = 2,35 l = 2,35 dm 3 Gjør om til liter. a) 1,7 m 3 b) 250 cm 3 a) Vi gjør først om til kubikkdesimeter. 1,7 m 3 = 1,700 m 3 = 1700 dm 3 = 1700 l 3 b) Vi gjør først om til kubikkdesimeter. 250 cm 3 = 0250 cm 3 = 0,250 dm 3 = 0,25 l 3? Oppgave 1.80 Gjør om til kubikkdesimeter. a) 6400 cm 3 b) 640 cm 3 c) 0,045 m 3 d) 0,53 m 3 Oppgave 1.81 Gjør om til kubikkmeter. a) 12 300 dm 3 b) 400 dm 3 c) 2300 l d) 150 l Oppgave 1.82 Gjør om til liter. a) 2,4 m 3 b) 0,012 m 3 c) 1200 cm 3 d) 240 cm 3 39

I et prisme er toppflaten og bunnflaten helt like. Hvis bunnflaten er en trekant, har vi et trekantet prisme. Hvis bunnflaten er en firkant, har vi et fi rkantet prisme. h h G Firkantet prisme G Trekantet prisme Vi kan finne volumet av alle prismer ved hjelp av den samme formelen. Volumet V av et prisme er gitt ved V = G h der G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Høyden må stå vinkel rett på grunnflaten. Ei eske har lengden 40 cm, bredden 30 cm og høyden 50 cm. a) Finn arealet av grunnflaten målt i kvadratcentimeter. b) Finn volumet av eska målt i kubikkdesimeter. c) Hvor mange liter rommer eska? 50 cm 40 cm 30 cm 40 Sinus 1P > Geometri

a) Arealet av grunnflaten er G = 40 cm 30 cm = 1200 cm 2 b) Volumet er V = G h = 1200 cm 2 50 cm = 60 000 cm 3 Vi regner om til kubikkdesimeter (dm 3 ). 60 000 cm 3 = 60 000 cm 3 = 60,000 dm 3 = 60 dm 3 c) Ettersom 1 dm 3 = 1 l, rommer eska 60 l. Eska rommer 60 l. 3! Når vi skal regne ut et volum i liter, lønner det seg å gjøre om alle målene til desimeter først. I eksempelet ovenfor kunne vi da ha regnet slik: Sidene i grunnflaten har målene 4,0 dm og 3,0 dm. Arealet av grunnflaten er G = 4,0 dm 3,0 dm = 12 dm 2 Høyden er 5,0 dm. Dermed blir volumet V = G h = 12 dm 2 5,0 dm = 60 dm 3 = 60 l? Oppgave 1.83 Ei eske har form som et prisme der høyden h = 43 cm. Grunnflaten er et kvadrat der sidene er 22 cm. a) Finn volumet av eska. b) Hvor mange liter rommer eska? Oppgave 1.84 Et akvarium har lengden 60 cm, bredden 30 cm og høyden 34 cm. a) Finn volumet av akvariet. b) Hvor mye veier vannet i akvariet når det er helt fullt og 1 liter vann veier 1 kg? 41

I en sylinder er grunnflaten og toppflaten sirkler. h r Også for en sylinder er volumet gitt ved formelen V = G h der h er høyden og G er arealet av grunnflaten. Men ettersom grunnflaten er en sirkel, er G = r 2 der r er radien i grunnflaten. Volumet er V = G h = r 2 h For å finne arealet av overflaten bretter vi sylinderen ut, se figuren til høyre nedenfor. r 2 h h 2 rh r 2 r r 2 Vi ser at overflaten består av sideflaten og to sirkler som hver har arealet r 2. Sideflaten blir et rektangel med lengden 2 r og bredden h. Arealet blir 2 rh. Arealet O av overflaten blir da O = 2 r 2 + 2 r h 42 Sinus 1P > Geometri

I en sylinder med høyde h er volumet gitt ved V = r 2 h der r er radien i grunnflaten. Arealet av overflaten, medregnet toppflaten og grunnflaten, er gitt ved O = 2 r 2 + 2 r h r h I en sylinder er radien r = 5,4 cm og høyden h = 12,4 cm. a) Finn volumet av sylinderen. b) Finn arealet av overflaten av sylinderen. a) Volumet av sylinderen er V = r 2 h = (5,4 cm) 2 12,4 cm = 1136 cm 3 b) Arealet av overflaten er O = 2 r 2 + 2 r h = 2 (5,4 cm) 2 + 2 5,4 cm 12,4 cm = 604 cm 2? Oppgave 1.85 I en sylinderformet vanntank er radien 4,0 dm og høyden 10,0 dm. Hvor mange liter rommer tanken? Oppgave 1.86 En sylinderformet tank er 83 cm høy. Radien i grunnflaten er 31 cm. a) Hvor mange liter rommer tanken? b) Finn arealet av overflaten av tanken. Oppgave 1.87 En sylinder har volumet V = 93 cm 3. Radien i grunnflaten er r = 2,3 cm. a) Regn ut høyden h. b) Finn arealet av overflaten. 43

1.9 Pyramide, kjegle og kule En pyramide har en grunnflate som er en mangekant. Sidekantene finner vi ved å trekke rette linjer fra hjørnene i mangekanten til toppunktet. Høyden h er avstanden fra toppunktet til grunnflaten. h h G Firkantet pyramide G Trekantet pyramide Volumet av alle pyramider finner vi på denne måten: Volumet V av en pyramide er gitt ved V = 1 3 Gh der G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Lille Ola har noen byggeklosser av tre. En kloss er en pyramide der høyden er 7 cm. Grunnflaten er et kvadrat der sidene er 3 cm. Finn volumet av pyramiden. Arealet G av grunnflaten er 7 cm Volumet V er G = 3 cm 3 cm = 9 cm 2 V = 1 3 Gh = 1 3 9 cm2 7 cm = 21 cm 3 3 cm 3 cm 44 Sinus 1P > Geometri

? Oppgave 1.90 En pyramide har kvadratisk grunnflate der sidene er 15,2 cm. Høyden er 18,7 cm. Finn volumet av pyramiden. Oppgave 1.91 En pyramide rommer 1,5 liter. Grunnflaten er et rektangel som er 18,4 cm langt og 12,8 cm bredt. Hvor høy er pyramiden? I ei kjegle er grunnflaten en sirkel. Høyden h er avstanden fra toppunktet til grunnflaten. h s r Volumet V er som for pyramiden gitt ved formelen V = 1 3 Gh der G er arealet av grunnflaten. Men grunnflaten er en sirkel og da er G = r 2, der r er radien i grunnflaten. Volumet V blir dermed V = 1 3 r2 h Ei kjegle med radien r og høyden h har volumet V = 1 3 r2 h Arealet O av overflaten medregnet grunnflaten er gitt ved formelen grunnflaten O = r 2 + rs sideflaten der s er lengden av sidekanten. h r s 45

a) Hvor mange liter rommer kjegla på figuren? b) Finn arealet av overflaten av kjegla medregnet grunnflaten. 45 cm 32 cm a) Vi gjør radien r og høyden h om til desimeter: r = 32 cm = 3,2 dm h = 45 cm = 4,5 dm Volumet er V = 1 3 r2 h = 1 3 (3,2 dm)2 4,5 dm = 48 dm 3 = 48 l b) Lengden s av sidekanten finner vi ved hjelp av pytagorassetningen. s 2 = r 2 + h 2 = (3,2 dm) 2 + (4,5 dm) 2 = 10,24 dm 2 + 20,25 dm 2 = 30,49 dm 2 s = 30,49 dm 2 = 5,5 dm Arealet av overflaten medregnet grunnflaten er O = r 2 + rs = (3,2 dm) 2 + 3,2 dm 5,5 dm = 32,2 dm 2 + 55,3 dm 2 = 87,5 dm 2 Volumet V av ei kule med radien r er gitt ved V = 4 3 r3 Arealet O av overflaten er gitt ved O = 4 r 2 r 46 Sinus 1P > Geometri

En femmerfotball har radien 10,6 cm. a) Finn volumet av fotballen målt i liter. b) Finn arealet av overflaten. a) Volumet av fotballen er V = 4 3 r3 = 4 3 (10,6 cm)3 = 4989 cm 3 = 5,0 dm 3 = 5,0 liter b) Arealet av overflaten er O = 4 r 2 = 4 (10,6 cm) 2 = 1412 cm 2 = 14,1 dm 2? Oppgave 1.92 Du skal fylle is i et kjegleformet beger av kjeks. Begeret skal fylles helt opp til kanten. Åpningen i begeret har en diameter på 6 cm. Begeret er 10 cm dypt. 6 cm 10 cm Hvor mye is går det i begeret? Oppgave 1.93 Ei kjegle er 12,4 cm høy. Radien i grunnflaten er 3,4 cm. a) Finn volumet av kjegla. b) Hvor lang er sidekanten? c) Finn arealet av overflaten. Oppgave 1.94 En firerfotball har radien 9,8 cm. a) Finn arealet av overflaten på fotballen. b) Finn volumet av fotballen. c) Hvorfor tror du at ballen kalles en firerfotball? 47

SAMMENDRAG Formlike figurer I to formlike figurer er alle samsvarende vinkler like store, og forholdet mellom alle samsvarende lengder er det samme. Formlike trekanter To trekanter er formlike hvis to av vinklene er parvis like. Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er c 2 = a 2 + b 2 Formler for arealet A Rektangel med grunnlinje g og høyde h: A = gh Kvadrat med sidelengde s: A = s 2 Trekant med grunnlinje g og høyde h: Parallellogram der to parallelle sider har lengden g og avstanden mellom sidene er h: Rombe der alle sidene har lengdene g, og der avstanden mellom to parallelle sider er h: Trapes der de to parallelle sidene har lengdene a og b, og der avstanden mellom sidene er h: A = gh 2 A = gh A = gh A = Sirkel med radius r: A = r 2 (a + b)h 2 Formler for volumet V og for arealet O av overflaten Prisme med grunnflate G og høyde h h G Firkantet prisme h G Trekantet prisme V = Gh 48 Sinus 1P > Geometri

Sylinder med radius r og høyde h h V = r 2 h O = 2 r 2 + 2 r h r Pyramide med grunnflate G og høyde h h h V = 1 3 Gh G G Kjegle med radius r, høyde h og sidekant s h s V = 1 3 r2 h O = r 2 + rs r Kule med radius r r V = 4 3 r3 O = 4 r 2 49