Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Transkript

1 Geometri Innhold Kompetansemål i læreplanen for Vg1P... 1 Modul 1: Linjer og vinkler... Modul : Måling av lengder og vinkler... 6 Modul 3: Setninger om vinkler Modul 4: Mangekanter og sirkler... 1 Modul 5: Formlikhet Modul 6: Pytagoras setning... 1 Modul 7: Areal... 4 Modul 8: Volum og overflate... 9 Modul 9: Geometri i kultur og yrkesliv Bildeliste Kompetansemål i læreplanen for Vg1P Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne bruke og begrunn bruken av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger og i praktisk arbeid løse problemer som gjelder lengde, vinkel, areal og volum regne med ulike måleenheter, bruke ulike måleredskaper, vurdere hvilke måleredskaper som er formålstjenlige, og vurdere hvor usikre målingene er tolke, lage og bruke skisser og arbeidstegninger på problemstillinger fra kultur- og yrkesliv og presentere og grunngi løsninger 1

2 Modul 1: Linjer og vinkler Vi starter med å definere noen grunnleggende begreper i geometrien. Punkt Et punkt har en bestemt posisjon, men det har ingen utstrekning. Likevel tegner vi punktet som en prikk, et kryss eller liknende, slik at det blir synlig for oss. Det er vanlig å bruke store bokstaver når vi gir navn til punkter. Linje En rett linje, eller bare en linje, består av uendelig mange punkter. Linjen har en uendelig utstrekning i begge retninger. Den krummer ikke. Vi sier at linjen har en uendelig utstrekning i én dimensjon. Vi tegner en linje som en tynn strek. Det er vanlig å bruke små bokstaver når vi gir navn til linjer. Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje og avgrenses av to endepunkter. Vi gir vanligvis et linjestykke navn ut fra endepunktene, men det er også vanlig å bruke små bokstaver som navn. Linjestykket til høyre avgrenses av punktene A og B. Vi kan gi linjestykket navnet AB, eller for eksempel c. Stråle En stråle er en del av en linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning i én retning.

3 Skjæring mellom linjer To linjer skjærer hverandre dersom de har ett felles punkt. Plan To linjer som skjærer hverandre spenner ut et plan. Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på et ark som et utsnitt av et plan. Parallelle linjer To linjer i et plan har enten ett eller ingen punkter felles. Dersom linjene ikke har ett felles punkt, er de parallelle. Når to linjer a og b er parallelle, skriver vi a b. Vinkel Når to stråler har felles endepunkt, danner de en vinkel. Det felles endepunktet kalles for vinkelens toppunkt. Strålene kalles for vinkelbein. Sett fra toppunktet får vi høyre vinkelbein og venstre vinkelbein. 3

4 Vinkelmål Det er vanlig å dele sirkelens omkrets i 360 deler, eller grader. Måling av vinkler bygger på denne inndelingen. Vi tenker oss at vi plasserer en sirkel med sentrum i toppunktet til en vinkel. En vinkel som spenner over en fjerdedel av sirkelens omkrets er da 360 grader, Denne vinkelen kaller vi en rett vinkel. En hel rotasjon på 360 grader på snowboard. En vinkel som spenner over halvparten av sirkelens omkrets er 180. En vinkel mellom 0 og 90 kaller vi en spiss vinkel. En vinkel mellom 90 og 180 kaller vi en stump vinkel. To vinkler som til sammen er 90 kaller vi komplementvinkler. To vinkler som til sammen er 180 kaller vi supplementvinkler. 4

5 To linjer som danner en vinkel på 90 grader med hverandre, sier vi står normalt på hverandre. Vi skriver a b. To stråler med felles endepunkt danner egentlig to vinkler. Når vi snakker om vinkelen mellom to stråler, mener vi vanligvis den minste vinkelen mellom dem. Vi sier at vinkelen mellom de to strålene på figuren, er 30. 5

6 Modul : Måling av lengder og vinkler Måleredskaper for lengde Linjalen er et gammelt redskap for å måle lengder. En tommestokk er mange små linjaler som er hektet sammen. Tommestokken er sammenleggbar slik at den lett kan plasseres i en bukselomme. På mekaniske verksteder er de ofte avhengige av større målenøyaktigheter. Da bruker de mikrometer og skyvelære. Vet du hva en mikrometer og en skyvelære er? Se Sykler og biler har tripptellere som måler tilbakelagt strekning. Etter hvert har vi fått mer moderne måleinstrumenter som lasermålere og GPS (Global Positioning System), et system basert på satellitter plassert i bane rundt jorden og som gjør det mulig å bestemme posisjoner med svært stor nøyaktighet. Global Positioning System 6

7 Politiet bruker lasermåler for å måle avstander. En lasermåler sender ut og mottar pulser av usynlige infrarøde stråler (laserlys). Lysets hastighet er konstant. Tiden det tar for en puls å bevege seg fra apparatet til målet og tilbake, er direkte proporsjonal med avstanden. For å kunne beregne fart, sender lasermåleren ut to pulser og måler avstandene til en bil ved to ulike tidspunkt. Farten til bilen kan så regnes ut ved å dele forskjellen mellom avstandene med tiden mellom pulsene. Husk at strekning(s) fart(v) tid(t) Politiet bruker lasermåler for å måle avstander. Det er et kompetansemål i læreplanen at du skal kunne bruke ulike måleredskaper, og vurdere målenøyaktighet med de ulike måleredskapene. Måleenheter for lengde Fra gammelt av har det vært mange måleenheter for lengde. Noen av de gamle måleenhetene er ennå i bruk. Det er fortsatt vanlig å måle størrelsen på båter i fot, og størrelsen på fjernsynsskjermer måles i tommer (langs diagonalen av skjermen). I flesteparten av verdens land brukes i dag det metriske målesystemet. I dette systemet er grunnenheten meter, m. Tidligere var én meter definert som lengden av en bestemt stav som ble oppbevart i Paris. Nå er én meter definert som avstanden lyset beveger seg i vakuum i løpet av en bestemt brøkdel av et sekund. Hvis vi deler 1 meter i 10 deler, får vi 1 desimeter, dm. Når vi deler meteren i 100 deler, får vi 1 centimeter, cm. En tusendels meter kalles for 1 millimeter, mm. For veldig små størrelser har vi også milliondelsmeter, mikrometer, μm og milliarddelsmeter, nanometer, nm. 7

8 For store størrelser har vi kilometer, km og for avstander i verdensrommet bruker vi måleenheter som lysår, som er avstanden lyset tilbakelegger i løpet av ett år. Visste du at kilo betyr tusen? En oversikt over vanlig brukte måleenheter for lengde kilometer km tusen meter m mil 10 kilometer m meter m 1 m desimeter dm tidels meter 0,1 m centimeter cm hundredels meter 0,01 m millimeter mm tusendels meter 0,001 m mikrometer μm milliondels meter 0, m nanometer nm milliarddels meter 0, m Presisjon og målenøyaktighet Uansett bruk av måleredskap vil den lengden vi måler, ikke være helt nøyaktig. Med en linjal er det vanskelig å angi antall millimeter nøyaktig. Vi kan derfor ikke ta med flere siffer enn det sifferet som angir millimeter. Vi kan måle en lengde til for eksempel 1, cm med en vanlig linjal. Vi er da innforstått med at det siste sifferet er usikkert. Den riktige lengden ligger mellom 1,15 cm og 1,5 cm. Med skyvelære og mikrometer kan det måles mer nøyaktig, og måltallet kan oppgis med flere siffer. Vinkel Vinkler måles i grader. Vinkelen på tegningen er 43,7 grader 43,7. Gradtallet angir størrelsen på åpningen mellom vinkelbeina. Vi tenker oss en sirkel med sentrum i vinkelens toppunkt. Hele sirkelen er delt inn i 360 grader. 8

9 Vi kan bruke en gradskive for å måle vinkler. Det gradtallet vi måler er alltid en tilnærmet verdi og usikkerheten ligger i det siste sifferet. Vi kan også bruke en gradskive for å tegne vinkler med et bestemt gradtall. Vi kan bruke en gradskive for å måle og tegne vinkler. De gamle sjøfarende brukte en sekstant til å måle for eksempel vinkelen mellom linjen til horisonten og linjen til solen, solhøyden. Resultater fra slike målinger var med på å gi sjøfareren et grunnlag for å beregne sin posisjon. Teodolitt er et vinkelmåleinstrument brukt til blant annet landmåling, som kan avlese vinkler med stor nøyaktighet. Tradisjonelle teodolitter er i dag erstattet av elektroniske teodolitter. Du kan lese mer om landmåling og teodolitter her Sydpolekspedisjonen 90 Syd. Ved iskanten. Her måles posisjon ved hjelp av sekstant. Det finnes i dag moderne instrumenter som kan måle vinkler, også digitalt. Kanskje kan du bruke mobiltelefonen din til å måle vinkler? Undersøk med en snekker hvilket instrument han eller hun bruker! 9

10 Modul 3: Setninger om vinkler Toppvinkler Når to linjer skjærer hverandre, er to og to av de fire vinklene som dannes alltid like store. På figuren til høyre er v og w supplementvinkler. Det betyr at v w 180 og at v 180 w. Vi har også at u w 180 som betyr at u 180 w. Det må bety at u v. Samme resonnement gir at w z. Vinklene u og v kalles toppvinkler. Det samme gjør w og z. Toppvinkler er alltid like store. Samsvarende vinkler En linje l skjærer to andre linjer, m og n. Av de vinklene som dannes, er to vinkler med forskjellig toppunkt samsvarende hvis overskjæringslinjen utgjør enten høyre vinkelbein i begge vinklene eller venstre vinkelbein i begge vinklene. På figuren til høyre er (alfa) og (beta) et par av samsvarende vinkler, og (gamma) og (delta) er et annet par av samsvarende vinkler. Overskjæringslinjen l er venstre vinkelbein i alle vinklene. 10

11 Samsvarende vinkler ved parallelle linjer På figuren til høyre er og samsvarende vinkler fordi venstre vinkelbein er felles (linjen l ). I tillegg er høyre vinkelbein, linjene m og n parallelle. Tenk deg at du roterer figuren 180 om midtpunktet mellom de to skjæringspunktene. Ser du da at? Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Og motsatt, dersom samsvarende vinkler er like store, er de overskårne linjene parallelle. Når vinkelbein står parvis normalt på hverandre At summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 kombinert med setningen som sier at toppvinkler er like store, gir følgende nyttige setning Når vinkelbeina til to vinkler, u og v, står parvis normalt på hverandre, er u v. 11

12 Modul 4: Mangekanter og sirkler Vi definerer en mangekant, eller et polygon, som en figur vi får i planet når vi trekker linjestykker mellom punkter i planet på en slik måte at linjestykkene danner én lukket kurve ikke skjærer hverandre Navnet polygon, eller mangekant, brukes både om det avgrensede, lukkede området i planet som linjestykkene danner, og også om bare selve linjestykkene. Linjestykkene kalles for sider eller kanter. En trekant har tre kanter. Det er alltid like mange hjørner som kanter, derfor kalles også en trekant for et triangel, tre hjørner. Videre har vi firkant, femkant (pentagon), sekskant (heksagon) osv. Trekanter Den enkleste mangekanten er trekanten. Nedenfor ser du noen spesielle trekanter. En rettvinklet trekant har én vinkel på 90. En likebeint trekant har minst to sider som er like lange. En likesidet trekant er regulær. Alle sidene er like lange og alle vinklene er like store, 60. Legg merke til at en likesidet trekant også er likebeint. En likebeint og rettvinklet trekant har to vinkler på 45. 1

13 Vinkelsummen i en trekant Tenk deg at du spaserer én runde langs linjestykkene på yttersiden av en trekant. Når du går fra ett linjestykke til et annet, endrer du retning slik som vinklene a, b og c på figuren viser. Til sammen endrer du retning 360. Det vil si at a b c 360 Summen av vinklene i trekanten er d e f b a b c 360 d e f a c Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Firkanter Nedenfor ser du noen firkanter som vi ofte støter på. I et trapes er minst to sider parallelle. I et parallellogram er motstående sider parallelle. I et rektangel er alle fire vinklene rette. I en rombe er alle sidene like lange. Et kvadrat er en regulær firkant. Alle vinklene er rette, og alle sidene er like lange. Legg merke til at et kvadrat også er en rombe, et rektangel, et parallellogram og et trapes! 13

14 Bruk figuren, før tilsvarende bevis som for vinkelsummen i en trekant, og overbevis deg om at følgende setning må være riktig. Vinkelsummen i en firkant er 360 grader. Sirkler En sirkel består av samlingen av alle punkter som ligger i en bestemt avstand fra ett gitt punkt, sirkelens sentrum. Sirkelen danner, på samme måte som en mangekant, en lukket kurve som deler planet i to deler, et indre område og et ytre område. Noen ganger mener vi hele det indre sirkelområdet når vi omtaler sirkelen. Vi sier for eksempel arealet til en sirkel og mener arealet til det indre sirkelområdet. En radius er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen. En sektor er del av sirkelområdet begrenset av to radier. En korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen. En diameter er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En sekant er en linje som skjærer sirkelen i to punkter. En tangent er en linje som skjærer sirkelen i ett punkt. 14

15 Tallet π Sirkelen med sin perfekte form, solas og månens form, har fascinert matematikere, astronomer og filosofer i årtusener. Det finnes et bestemt forhold mellom omkretsen og diameteren til en sirkel. Oppdagelsen av, og jakten på dette forholdstallet, som har fått betegnelsen, er kanskje den enkeltsak som har opptatt flest matematikere gjennom tidene. Til vanlig avrunder vi tallet til 3,14. Men jakten på antall desimaler i tallet pågår for fullt. Ifølge «Illustrert Vitenskap» for mars 01 har Shigeru Kondo og Alexander Yee nå klart, etter ett års regning, å bestemme ti billioner desimaler. En japaner lærte seg desimaler utenat. Han måtte bruke 16 timer for å si dem fram. Omkretsen til en sirkel er lik diameteren multiplisert med tallet. O d 15

16 Modul 5: Formlikhet Studer figurene A, B og C. Beskriv forskjeller og likheter mellom figurene. Som du sikkert har funnet ut, så er det en likhet mellom figur B og figur C. Disse figurene har samme form. Forskjellen er at figur C er en forstørret utgave av figur B. Figur A har en annen form. To figurer er formlike når vi ved å forstørre eller forminske den ene figuren kan få en figur som er lik den andre. 16

17 Formlike trekanter Figuren nedenfor viser to formlike trekanter. Som du ser er to og to vinkler like store. Dersom to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Den store trekanten er et forstørret bilde av den lille trekanten og den lille trekanten er et forminsket bilde av den store trekanten. Hvis vi kan påvise at vinklene i to trekanter er parvis like store, da har vi vist at trekantene er formlike. Det er nok å vise at to par av vinkler i to trekanter er like store. På grunn av setningen om at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader, må nemlig da også det tredje paret av vinkler være like store. To sider som ligger «motsatt» av to vinkler som er like store, ligger på «tilsvarende» plasser i de to trekantene, og vi kaller dem for tilsvarende sider. De blå sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de blå vinklene som er like store. De røde sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de røde vinklene som er like store. De grønne sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de grønne vinklene som er like store. Vi regner ut forholdet mellom lengdene av tilsvarende sider Vi ser at forholdet er konstant lik 3. Vi kaller dette tallet for målestokken. Sidene i den største trekanten er altså tre ganger så lange som sidene i den minste trekanten. (Legg merke til at hvis vi ser på den lille trekanten som et bilde av den store trekanten, så er målestokken lik 1 3.) 17

18 Bruk av formlikhet for å regne ut ukjente sider i trekanter Eksempel 1 Trekantene ABC og DEF er formlike. Regn ut lengdene til de ukjente sidene. Her ser vi at sidene AB og DE er tilsvarende sider fordi begge er motstående sider til vinklene på 88,7. Sidene AC og DF ligger begge motsatt av vinklene som er 63,4 og er også tilsvarende. Det samme er sidene BC og EF. Vi kan finne de ukjente sidene ved å bruke målestokken. Vi regner ut målestokken når vi går fra Det betyr at AC DF 1,5 5,4 1,5 8,1. DEF til ABC. AB 9 Målestokken 1,5 DE 6 Når vi går motsatt vei, må vi dele med målestokken. BC 4, Det betyr at EF,8 1,5 1,5 18

19 Eksempel Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er uten å felle det. Utstyr: Sol Metermål Vi setter en pinne ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet. Se figuren nedenfor. Både pinnen og treet danner en vinkel på 90 med bakken, og solstrålene danner samme vinkel med bakken der hvor pinnen står som der hvor treet står. Vi får derfor to formlike trekanter, og det fremgår av figuren hvilke sider som er tilsvarende. Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største trekanten 15 m Målestokken 1,5 1, m Høyden til treet 1,0 m 1,5 1,5 m. 19

20 Eksempel 3 På figuren er AB og ED parallelle. Linjestykkene AD og BE skjærer hverandre i C. Oppgave Vis at ABC og DEC er formlike, og bruk dette til å regne ut lengden til siden BC. Løsning ACB DCE siden disse vinklene er toppvinkler. Da er sidene AB og ED tilsvarende sider. BAC CDE fordi venstre vinkelbein er felles og høyre vinkelbein er parallelle i de to vinklene. (Samsvarende vinkler ved parallelle vinkelbein). Sidene BC og EC er da tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler. Vinklene i de to trekantene er parvis like store, og trekantene er formlike. Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største 150 cm Målestokken,5 60 cm Da er BC 45 cm,5 11,5 cm 0

21 Modul 6: Pytagoras setning Pytagoras setning handler om rettvinklede trekanter. I slike trekanter er det en spesiell sammenheng mellom lengdene til sidene. Denne sammenhengen var kjent i de tidligste sivilisasjoner, men det er fra matematikeren Pytagoras, som levde i Hellas ca. 500 år f. Kr., vi har navnet på setningen. Tegn en trekant som er rettvinklet og hvor de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang? Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratene av sidelengdene. Kvadratet av sidelengde b : Kvadratet av sidelengde c : Kvadratet av sidelengde a : b 3 9 c 4 16 a 5 5 Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du? Vi ser at Det er det samme som at b c a Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90. For å kunne formulere denne sammenhengen med ord, gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter. 1

22 Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. Dette er siden som står «motsatt» av den rette vinkelen. De to korteste sidene kaller vi kateter. Pytagoras` setning: hypotenus katet katet a b c Finne en ukjent side i en rettvinklet trekant Eksempel1 Hvor lang er siden b på figuren? Pytagoras setning gir b,0 5,0 b 4,0 5,0 b 9,0 b 9,0 b 5,4 Siden b er 5,4 cm. Eksempel Hvor lang er siden AB på figuren? Pytagoras setning gir,7 c 6,5 c 6,5,7 c c 5,9 6,5,7 Siden AB er 5,9 m.

23 Eksempel 3 En stige skal plasseres,4 meter fra en husvegg og skal akkurat nå opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken. Hvor lang må stigen være? La stigen være x meter lang. Pytagoras setning gir Stigen må være 5, meter lang. Husk at du på eksamen del kan bruke CAS i GeoGebra for å løse likninger. Lage rette vinkler Noen ganger bruker vi Pytagoras setning for å lage vinkler som er 90 grader. Snekker Pettersen skulle bygge en garasje. Det var svært viktig at alle hjørnene ble rette vinkler. Vinkelmåleren han brukte til vanlig, ble litt for liten slik at den ga unøyaktig vinkel. Han saget da til to bordlengder, den ene på 3 m, og den andre på 4 m. Han festet bordlengdene i endene som vist på tegningen og la dem slik at avstanden mellom de røde punktene ble 5 m. Han brukte til slutt en tredje bordlengde og spikret det sammen. Pettersen brukte Pytagoras setning for å lage seg en rett vinkel. Hvordan kontrollere at vinkler er rette Mål lengde, bredde og diagonal til pulten eller bordplata du jobber ved. Kvadrer alle lengdene. Sjekk om summen av kvadratene til lengde og bredde er lik kvadratet til hypotenusen. Hvis ikke, så er bordplata skeiv. 3

24 Modul 7: Areal Definisjon og måleenheter for areal Vi definerer én kvadratdesimeter, 1 dm, som arealet, eller flateinnholdet, til et kvadrat med sidelengder på 1 dm. Et kvadrat med sider 1 cm har et areal på én kvadratcentimeter, 1 cm. Tilsvarende definerer vi arealer på 1 kvadratmeter, 1 m, 1 kvadratmillimeter, 1 mm osv. Figuren viser at 1 dm tilsvarer 100 cm. Det betyr igjen at 1 1 cm dm ,01 dm Vi husker sammenhengen mellom måleenheter for lengde 1 m 10 dm 1 dm 10 cm 1 cm 10 mm Når vi setter opp måleenhetene etter hverandre som i tabellen nedenfor, kan vi ha som huskeregel at vi må gange med 10 når vi går én plass til høyre i tabellen (flytte komma én plass til høyre), og dele med 10 når vi går én plass til venstre (flytte komma én plass til venstre). m dm cm mm

25 Eksempel,3 m 3 dm 300 mm 450 cm 4,50 m Når vi setter opp måleenhetene for areal etter hverandre som i tabellen nedenfor, kan vi ha som huskeregel at vi må gange med 100 når vi går én plass til høyre i tabellen (flytte komma to plasser til høyre), og dele med 100 når vi går én plass til venstre (flytte komma to plasser til venstre). m dm cm mm Eksempel,3 dm 30 cm 3000 mm 450 cm 0,0450 m For større arealer har vi også noen andre måleenheter 1 a 100 m ar 1 da 10 a m dekar 1 ha 100 a m hektar 1 km da m kvadratkilometer 5

26 Arealformler I et rektangel som er 5 cm langt og 3 cm høyt kan vi få plass til kvadrater som hver har et areal på 1 cm. Det betyr at arealet er på 15 cm. Vi kan altså finne arealet til et rektangel ved å multiplisere grunnlinjen med høyden, eller det vi ofte kaller lengden med bredden. Vi får en formel for arealet til et rektangel A g h Husk at sidene må ha samme målenhet når vi skal regne ut arealet. Vi kan også lage formler for arealet til andre figurer På figuren til høyre kan du sammenligne arealet til rektangelet med grunnlinje g og høyde h med arealet til trekanten med grunnlinje g og høyde h. Du vil sannsynligvis bli overbevist om at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten. Siden arealet til rektangelet kan finnes ved å multiplisere grunnlinjen med høyden, A rektangel g h, så er arealet til trekanten gh A(trekant) Hva med parallellogram, rombe og trapes? Du kan nå ta for deg et parallellogram, en rombe og et trapes, og se om du kan lage arealformler for disse figurene på samme måte som for trekanter. Du kan sammenligne dine formler med formlene i skjemaet nedenfor. 6

27 Arealformler Kvadrat Rektangel Trekant A s A g h gh A Parallellogram Rombe Trapes A g h A g h A a b h Sirkel A r d r Arealformel for sirkel Det er ikke så lett å gjøre en sirkel om til et rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel en brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren. Vi deler sirkelen inn i like sektorer. Så stiller vi sektorene annenhver opp ned slik at sektorene tilnærmet blir et parallellogram med grunnlinje tilnærmet lik r r og høyde lik r. Arealet blir da tilnærmet A r r r. Jo flere sektorer vi inndeler sirkelen i, jo bedre blir tilnærmingen. Hvis vi deler sirkelen i veldig mange sektorer, får vi tilnærmet et rektangel. 7

28 Omkrets av plane figurer Omkretsen til mangekanter finner vi ved å summere lengdene til sidekantene som avgrenser mangekanten. Hvis ikke alle lengdene er kjent, kan vi for eksempel bruke Pytagoras setning eller formlikhet for å finne de ukjente sidene. Hvis en plan figur også inneholder en sirkel eller deler av en sirkel, så brukes formelen for omkretsen til en sirkel. Tilnærmingsverdier Eksempel Regn ut arealet til et rektangel med grunnlinje 3,4 m og høyde 1,7 m. Løsning Vi bruker arealformelen og får A 3,4 m 1,7 m 5,78 m. Bør vi ta med alle sifrene i svaret her, eller bør vi avrunde? Du husker fra måling av lengde at alle målte lengder er usikre. Usikkerheten ligger i siste siffer. Det betyr at når grunnlinjen er målt til 3,4 m, så vet vi bare at lengden ligger mellom 3,35 m og 3,45 m. Høyden ligger tilsvarende mellom 1,65 m og 1,75 m. Arealet ligger da mellom grensene Det mest riktige blir å avrunde til siffer. A 3,4 m 1,7 m 5,78 m 5,8 m Det blir for tungvint å regne på usikkerhet i alle oppgaver. Derfor innfører vi regelen om antall gjeldende sifre. Når vi bruker målte verdier i beregninger, tar vi med så mange siffer i svaret som antall siffer i den målte verdien som er gitt med færrest siffer. 8

29 Modul 8: Volum og overflate Volumet til en romfigur er et mål for hvor stort rom figuren inneholder. I denne modulen skal vi se hvordan vi kan finne volum og overflateareal (overflate) av et prisme, en sylinder, en kjegle, en pyramide og en kule. Måleenheter for volum Romfigurer. En terning som vist på bildet til høyre med sidekanter 1 cm, har et volum på én kubikkcentimeter, 3 1 cm. En terning med sidekanter på 1 meter har volum på 1 kubikkmeter, 3 1 m. En terning med sidekanter på 1 desimeter har volum på 1 kubikkdesimeter, 3 1 dm. En terning med sidekanter på 1 millimeter har volum på 1 kubikkmillimeter, 3 1 mm. 9

30 I hver rute i diagrammet ovenfor kan vi legge en terning med sidekanter lik 1 cm. Vi ser diagrammet rett ovenfra. Det er plass til terninger. Dersom vi legger 10 lag med terninger oppå hverandre, får vi en høyde på 10 cm som er lik 1 dm. Det blir til sammen terninger. Det er altså plass til 1000 terninger med sidekanter på 1 cm i én terning med sidekanter på 1 dm. Det betyr at 1 1 dm 1000 cm og 1 cm dm 0,001 dm Tilsvarende er m 1000 dm og 1 cm 1000 mm. 30

31 Når vi setter opp måleenhetene for volum etter hverandre som i tabellen nedenfor, kan vi ha som huskeregel at vi må gange med 1000 når vi går én plass til høyre i tabellen (flytte komma tre plasser til høyre), og dele med 1000 når vi går én plass til venstre (flytte komma tre plasser til venstre). m 3 dm 3 cm 3 mm Eksempel 3 3 3,3 m 300 dm mm cm 0,450 dm 31

32 Måleenheten liter Fra dagliglivet er du nok mer vant til å bruke måleenheten liter (L) for volum. Det gjelder for eksempel om det er melk som en del i matoppskrifter eller om det er bensin som skal kjøpes til mopeden. Sammenhengen mellom liter og måleenhetene kubikkmeter, kubikkdesimer osv, er at 1 liter er definert lik 1 dm 3. Det vil si at 1 liter er det samme som 1 kubikkdesimeter. 3 1 liter 1 dm Siden m 1000 dm betyr det at en melketank på 3 kubikkmeter inneholder liter melk! Fra dagliglivet er du kjent med litermålet Du er nok også kjent med at en liter deles inn i desiliter, centiliter og milliliter hvor 1 L 10 dl 100 cl 1000 ml 1 dl 10 cl 100 ml 1 cl 10 ml 3

33 Volum av prisme Et prisme er en romfigur som er satt sammen av to identiske (kongruente) og parallelle mangekanter som danner grunnflate og toppflate, og fire sideflater som alle er parallellogrammer. Høyden, h er avstanden mellom grunnflaten, G, og toppflaten. Hvis alle sideflater er rektangler, er prismet rett. Hvis grunnflaten er en firkant, har vi et firkantet prisme. Hvis grunnflaten er en trekant, har vi et trekantet prisme. 33

34 I et rett firkantet prisme med sidekanter i grunnflaten på 4 cm og 3 cm, og med høyde cm kan vi få plass til 4 terninger som hver har et volum på 1 cm 3. Det betyr at volumet er på 4 cm 3. Grunnflaten har et areal på G 4 cm 3 cm 1 cm Det betyr at vi kan finne volumet til et rett firkantet prisme ved å multiplisere arealet til grunnflaten med høyden. V G h 1 cm cm 4 cm 3 Vi får en formel for volumet til et rett firkantet prisme, V G h Vi kan, etter samme mønster som ved arealformler, studere forskjellige typer prismer, og overbevise oss om at denne formelen må gjelde for alle prismer. Volumet av et prisme er gitt ved formelen V G h Her er G arealet av grunnflaten og høyden h står alltid vinkelrett på grunnflaten. Fyll vann i et romlegeme og sjekk om volumet av vannet er lik det resultatet du får når du regner ut volumet av romlegemet. 34

35 Volum og overflate av sylinder Figuren viser en sylinder. Grunnflaten er en sirkel, og sylinderen er rett når høyden fra sentrum i toppflaten treffer sentrum i grunnflaten. Her er også volumet lik Gh. Det betyr at V r h For å finne overflaten må vi tenke oss sylinderen klippet opp og lagt ut slik tegningen viser. Topp og bunn gir to sirkler, og sideflaten gir et rektangel med grunnlinje lik omkretsen til sirklene. Formler for volum og overflateareal til en sylinder med høyde h og r som radius i grunnflaten. V r h O r r h 35

36 36

37 Eksempel I en sylinderformet boks er diameteren i grunnflaten d 5,4 cm og høyden h 11, cm. Volumet, V G h 3 3 V 5680 cm 5,68 dm 5,68 L Hvordan kan vi finne volumet og overflaten av en boks med sylinderform? Overflaten består av topp og bunn som er sirkelformet og en rektangulær sideflate. Arealet til overflaten, O r r h Overflaten er lik 1910 cm 37

38 Volum og overflate av pyramider Til høyre ser du to pyramider. Når grunnflaten i en pyramide er en trekant, sier vi at vi har en trekantet pyramide. Når grunnflaten er en firkant, sier vi at vi har en firkantet pyramide. Pyramiden er rett når høyden fra toppunktet treffer sentrum i grunnflaten. Volumet av en pyramide vil alltid være 1 3 av volumet av et rett prisme med samme grunnflate og høyde. Volumet av en pyramide er gitt ved formelen Gh V 3 For å finne overflaten til for eksempel en rett firkantet pyramide, kan det være til hjelp å tenke seg pyramiden klippet opp og brettet ut slik figuren til høyre viser. Overflaten er summen av arealene til firkanten og de fire trekantene. 38

39 Eksempel Regn ut volum og overflate av en firkantet pyramide der grunnflaten er et kvadrat med sider 3,0 cm og høyden er 5,0 cm. Gh V 3 3,0 cm 3,0 cm 5,0 cm V 3 3 V 15 cm Når vi skal regne ut overflaten, må vi finne arealet av de fire trekantene (sideflatene) i pyramiden. For å regne ut arealet av disse trekantene, må vi finne høyden, a. Vi bruker Pytagoras setning Vi kan da regne ut overflaten 0 40cm 39

40 Volum og overflate av kjegler Figuren til høyre viser en rett kjegle. Volumet av en rett kjegle er 1 3 av volumet av en rett sylinder med samme grunnflate og høyde. Gh V 3 r V h 3 For å finne overflaten må vi tenke oss kjeglen klippet opp og lagt ut slik tegningen nedenfor viser. Overflaten består av en sirkel, grunnflaten, og en sirkelsektor som er en del av en sirkel med radius s. Vi sier at s er sidekanten i kjeglen. Buen i sirkelsektoren er lik omkretsen til grunnflaten. Forholdet mellom arealet til sirkelsektoren og stor sirkel er lik forholdet mellom buelengden til sirkelsektoren og omkretsen til stor sirkel. A(sirkelsektor) r s s s r A(sirkelsektor) s A(sirkelsektor) rs Formler for volum og overflate av en kjegle r h 3 V og O r r s Høyden h står alltid vinkelrett på grunnflaten og s er lengden av sidekanten 40

41 Eksempel Regn ut volum og overflate av en kjegle der diameter i grunnflaten d 3,0 cm og høyden h 5,0 cm r V h 3 3 V 1 cm Når vi skal regne ut overflaten, må vi finne arealet av sirkelsektoren med radius s. Vi finner sidekanten i kjeglen, s ved å bruke Pytagoras setning. O r r s O 3 cm 41

42 Volum og overflate av kule Vi kan finne volum og overflate a en kule ved å bruke formlene nedenfor. Volum og overflate av en kule 3 4 r V og O 4 r 3 Eksempel Regn ut volumet og overflaten av en kule med radius r 5,0 cm. 3 V 50 cm O 310 cm 4

43 Modul 9: Geometri i kultur og yrkesliv Kart Et kart er en forminsket, formlik avbildning av virkeligheten. Vi kan beregne avstander, i luftlinje, i terrenget på grunnlag av avstander på kartet. Målestokk Kartet til høyre viser et parti fra Jotunheimen. Kartet har målestokk 1: Det betyr at 1 cm på kartet svarer til 1 cm cm 500 m 0,5 km i virkeligheten. En avstand på 1 cm på kartet svarer da til m m 6 km i virkeligheten. Motsatt vil 15 km i luftlinje i terrenget svare til 15 km cm cm på kartet. 43

44 Arbeidstegninger En arbeidstegning er en formlik avbildning av for eksempel et hus. Arbeidstegningen har en målestokk. Ved hjelp av de mål som er oppgitt på tegningen og målestokken, kan snekkeren beregne virkelige mål. 44

45 Skisser Når vi tegner, kan det være en utfordring å gjengi virkeligheten slik at vi skaper inntrykk av rom og dybde. Vi tegner på papir, på en dataskjerm eller andre flater som er i to dimensjoner, mens rommet er i tre dimensjoner. Bildet til høyre gir inntrykk av rom og dybde. Det synes som om veien blir smalere og smalere. Veikantene, som egentlig er parallelle linjer, synes å nærme seg et felles punkt. De forsvinner i et punkt i det fjerne. Slik er det også når vi studerer naturen. Ting som er langt borte, ser mindre ut. Dette prinsippet utnytter vi når vi skal lage en skisse av en romfigur. Punktet som alle linjer synes å forsvinne i kalles for forsvinningspunktet. Ser du at alle linjer forsvinner i et punkt? Vi skal nå vise hvordan vi kan lage en skisse av et rom. Vi tenker oss at vi står på samme gulv utenfor rommet og betrakter rommet rett forfra. Veggen foran er tatt bort slik at vi ser hele rommet innvendig. Hvordan kan vi lage en skisse av et rom? 45

46 Vi tegner først et rektangel som angir rammen rundt frontveggen som er tatt bort. Vi plasserer forsvinningspunktet i øyehøyde rett foran der vi står. Vi trekker så hjelpelinjer fra hjørnene i rektangelet til forsvinningspunktet. Trinn 1 46

47 Vi lager et nytt, mindre rektangel som angir bakveggen i rommet. Alle sidene er parallelle med sidene i det første rektangelet, og alle hjørnene ligger på hjelpelinjene vi har trukket. Vi trekker linjer mellom hjørnene i de to rektanglene og fargelegger gulv, vegger og tak. Trinn Vi fortsetter med å tegne vinduer og møbler etter samme prinsipp som de påfølgende tegningene viser. Til slutt skjuler vi forsvinningspunktet og hjelpelinjene. Trinn 3 Trinn 4 Trinn 5 Ferdig tegning Alle hjelpelinjene forsvant i ett punkt. Dette kalles for ettpunktsperspektiv eller sentralperspektiv. 47

48 Det er mer vanlig at vi betrakter ting, for eksempel en eske, fra to sider. Da blir det nødvendig med to forsvinningspunkter. Begge forsvinningspunktene ligger i øyenhøyde, og linjen gjennom forsvinningspunktene kalles for horisontlinjen. Når gjenstanden betraktes fra enten svært lav høyde eller høyt ovenfra, vil også de loddrette linjene forsvinne i et forsvinningspunkt. Da benyttes ofte tre forsvinningspunkter. Til høyre ser du skisser av en melkekartong sett fra forskjellige vinkler. 48

49 Skisser kan ofte være enkle tegninger laget for hånd hvor det ikke stilles så strenge krav til nøyaktighet. En arkitekt lager gjerne en skisse før hun begynner på den detaljerte tegningen. Til høyre har tegneren benyttet seg av tre forsvinningspunkter. Kunstnere og andre benytter seg også av andre teknikker som for eksempel lyssetting og skyggelegging for å få fram inntrykk av rom og dybde. Det første kjente bildet med sentralperspektiv ble laget av Brunelleschi omkring Hans biograf, Antonio Manetti, beskrev dette berømte eksperimentet hvor Brunelleschi malte baptisteriet i Firenze fra hovedporten av den uferdige katedralen. Lerretet var konstruert med et hull i forsvinningspunktet. Maleriet ble observert fra baksiden, og refleksjonen av bildet ble sett i et speil gjennom hullet, som gav illusjonen av dybde. Dessverre har maleriet siden gått tapt. Se 49

50 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Bildeliste Tennisball og linje Pascal Deloche / DPA/ NTB Scanpix Tommestokk Foto: Thorfinn Bekkelund/Samfoto/Scanpix GPS Foto: Klaus Børringbo/Aftenposten/Scanpix Laser Foto: Arash A Nejad /Aftenposten/Scanpix Gradskive Foto: Faris Randy/Corbis/Scanpix Sekstant Foto: Olav Hasselknippe/VG/Scanpix Pi Bernd Kammerer, AP, NTB Scanpix Stjerneformede kakeformer Georgina Palmer, StockFood, NTB Scanpix Pytagoras Science Photo Library, NTB Scanpix Snekker Jørgen Bausager, Scanpix Denmark, NTB Scanpix Romfigurer Foto: Science Photo Library/Scanpix Blå kube Science Photo Library, NTB scanpix 50

51 Melk Foto: Frode Hansen/VG/Scanpix Sylinder Science Photo Library, NTB Scanpix Campbell's tomatsupper Gerhard Bumann, StockFood, NTB Scanpix Pyramidene i Giza Bengt af Geijerstam, Bildhuset, NTB Scanpix Iskremkjeks Ludger Rose, StockFood, NTB Scanpix Fem klinkekuler David Curtis, Millennium, NTB Scanpix Kart Foto: Espen Sjølingstad/VG/Scanpix Tegning av nytt kjøkken Pixtal, NTB Scanpix Vei Foto: Elisabet Romedal/NDLA Melkekartonger i trepunktsperspektiv Tegning: Knut Høihjelle/NDLA Hus i trepunktsperspektiv Tegning: Knut Høihjelle/NDLA 51