Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål
1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver hentet fra skriftlig eksamen 10. trinn våren 2013 og 2014. Oppgave 6 er hentet fra eksamen 10. trinn våren 2013, del 2. X-Fighters Oppgave 6 (6 poeng) I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen h gitt ved hx x x 2 ( ) 0,05 2 Her viser hx ( ) hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er x meter fra rampe 1, målt langs bakken. Se skissen av hoppet nedenfor. Rampe 1 Rampe 2 0 m 20 m a) Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når x 10. Bruk funksjonsuttrykket, og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken. b) Tegn grafen til h når 0 x 20 c) Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt langs bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken. Eksamen MAT0010 Matematikk Våren 2013, Utdanningsdirektoratet.
2 av 10 Fremgangsmåte og løsningsforslag a Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når x = 10. Bruk funksjonsuttrykket og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken. h(x) = 0,05x 2 + x + 2 når x = 10, setter vi inn 10 for x h(10)= 0,05 10 2 + 10 + 2 = 5 + 10 + 2 = 7 Når motorsykkelen er 10 meter fra rampe 1, er den da 7 m over bakken. b Tegn grafen til h når 0 x 20 For å tegne en graf til funksjonen h, kan for eksempel GeoGebra eller et annet dynamisk graftegningsprogram brukes. Først lager vi navn på aksene. Velg «Innstillinger», «Grafikkfelt» og skriv inn navn og enheter på x- og y-aksen Her kan navn på x-aksen være: Lengde fra rampe 1 og enhet er: m. Navn på y-aksen kan være: høyde over bakken og enhet er: m. I tillegg er det her naturlig å krysse av for «Vis tall langs aksene» og «Bare i positiv retning» fordi her kan lengden og høyden bare være positive størrelser. Da vises bare 1. kvadrant av koordinatsystemet i grafikkfeltet.
3 av 10 Vi skriver så inn funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet. Vi skriver inn ordet «Funksjon» og trykker enter, da kommer bildet som vises under opp. Skriv inn funksjonen 0.05x^2 og bruk piltastene for å flytte det blå feltet for å skrive inn startverdi (0) og sluttverdi (20) for x. Da ser funksjonen slik ut: Vi kan skifte navn på funksjonen til h. Høyreklikk i algebrafeltet på funksjonen, velg «Gi nytt navn» og skriv inn h, istedenfor f.
4 av 10 c Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt langs bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken. Vi kan sette inn en rett linje som går 4 m over bakken. Da skriver vi i y = 4 inn i inntastingsfeltet. Vi velger «Skjæring mellom to objekt», flytter musepekeren inn i grafikkfeltet der grafene skjærer hverandre og trykker når begge grafene er markert. Vi gjør det samme begge stedene der grafene skjærer hverandre. Vi får da punkt A og punkt B, som er de to stedene motorsykkelen er 4 m over bakken.
5 av 10 Koordinatene til punktene A = (2.25, 4) og B =(17.75, 4), vises i algebrafeltet. Motorsykkelen har altså flyttet seg 2,25 m på vei opp eller 17,75 m på vei ned fra rampe 1 når den er 4 m over bakken.
6 av 10 Oppgave 5 er hentet fra eksamen 10. trinn våren 2014, del 2. Oppgave 5 (6 poeng) I oppgave 5 kan du spare tid og arbeid ved å bruke en datamaskin med graftegner. Svømmebassenget i Badeland på 645 000 L skal tømmes for vann. Det tappes ut 18 000 L per time. a) Forklar at antall liter Vx () som er igjen i svømmebassenget etter x timer, kan beskrives av funksjonen V gitt ved Vx ( ) 18000x 645000 b) Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann. c) Tegn grafen til V. d) Bestem grafisk når det er 285 000 L igjen i svømmebassenget. Eksamen MAT0010 Matematikk Våren 2014, Utdanningsdirektoratet. Fremgangsmåte og løsningsforslag a Funksjonen V(x) viser hvor mange liter som er igjen i bassenget etter x timer. Konstantleddet er 645 000, dvs. at det er 645 000 L i bassenget når det er fullt før det begynner å tømmes. Siden fortegnet foran 18 000x er negativt, betyr det at hver time (x) tømmes bassenget med 18 000 liter. b V(x) = 0 dvs. 18 000x + 64 5000 = 0 64 5000 = 18 000x 64 5000 18 000 = 18 000x 18 000 x =35,83 0,83 h = 0,83 60 min = 50 min Svømmebassenget er tomt for vann etter 35,83 h, dvs. 35 h og 50 min 36 h.
7 av 10 c Grafen til V. Vi skriver inn funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet slik: For å skifte navn på funksjonen, høyreklikker vi på funksjonen i algebrafeltet og velger «Gi nytt navn». Vi ser ingen funksjon i grafikkfeltet, derfor må aksene skaleres og få navn og enheter. For å skalere aksene, velger vi verktøyet «Flytt grafikkfeltet». Deretter setter vi muspekeren over aksene og skalerer aksene til grafen dukker frem.
8 av 10 Vi navngir x-aksen med antall timer og enhet h, y-aksen får navn: antall liter og enhet L. I tillegg er funksjonen bare gyldig for positive x- og y- verdier, så under innstillinger kan vi merke av for «Bare i positiv retning» for kun å få med 1. kvadrant av koordinatsystemet. Grafikkfeltet vil da se slik ut:
9 av 10 d Vi bestemmer grafisk når det er 285 000 L igjen i bassenget ved å lage en graf y = 285 000. Denne får navnet a. For å markere skjæringspunktet mellom de to grafene, bruker vi verktøyet «Skjæring mellom to objekt».
10 av 10 Videre fører vi musepekeren over krysningspunktet og trykker der begge grafene blir markert. Punktet der grafene skjærer hverandre, blir navngitt A. Vi leser av koordinatene til punktet A i algebrafeltet: Punktets koordinater sier at det er 285 000 L igjen i bassenget etter 20 h.