Løsningsforslag Matematikk 2, 5-10, Våren 2013 OPPGAVE 1 a) Ved avlesning på Vedlegg 1 finner at fart etter 3 sekunder er 14.3 meter/sekund. (Viktig med god forklaring, også Ok om man skriver for eksempel fart 14.2 m/sek) Akselerasjonen etter 3 sekunder blir 2.2 meter/sekund 2. Finner dette ved å tegne inn tangentlinje og beregne stigningstallet. (Viktig med god forklaring. Pga. unøyaktighet når man tegner godtas også andre (rimelige) svar.) b) Den største farten til syklisten er 18.3 meter/sekund. Det skjer etter 6.7 sekund. Viktig med forklaring, Ok med svar omkring eksakt verdi.
c) Beskrivelse av turen de første 20 sekundene: Ved t=0 er farten 5m/sek, øker til 18.3 m/sek de første 6. 7 sek. Imidlertid øker farten mindre og mindre i dette intervallet. Det betyr at akselerasjonen er størst til å begynne med, etter 6. 7 sek er akselerasjonen 0 m/sek 2. Etter dette så avtar farten. Vi har en retardasjon siden stigningstallet til tangenten er negativ i intervallet [6.7,10]. Retardasjonen øker i verdi i dette intervallet. Etter at sykkelturen har vart 10 sekund, så holder syklisten jevn fart på 15 m/sek. Kan tenkes at det er en liten nedoverbakke først og så en liten oppoverbakke, før det er en rett strekning. Eller at det er en nedoverbakke, før det flater ut slik at farten øker i starten og avtar når det blir flatt. Eller. FLERE MULIGE SVAR d) Farten gitt ved Får { { La. Får da. Videre er ( ) Største verdi for, ( ) -------------------------------------------------- e) Bruk funksjonen i d) til å finne ut hvor langt syklisten har sykla i løpet av disse 20 sekundene. Strekning tilbakelagt er: [ ] [ ] Syklisten har sykla 300 meter på disse 20 sekundene.
f) Hvordan arbeide med denne konteksten i en 10. klasse? Elevene kjenner kanskje s=vt som gjelder for legemer i konstant hastighet. Viktig at kandidaten vet at fartstrekanten gjelder kun for konstant hastighet (akselerasjon lik 0). Man kan tenke seg og jobbe med grafer med konstante hastigheter og oppdage at s er arealet under hastighetsgrafen. Videre kan man innføre fartsgrafer med intervaller der hastigheten avtar/øker jevnt eller er konstant. Bruke geometri til å regne på arealer under fartsgrafene for å finne tilbakelagt strekning. Hva hvis grafen ikke består av lineære segmenter? Forståelse for sammenheng mellom strekning, fart og akselerasjon, om gjennomsnittsfart, forskjellen mellom gjennomsnittsfart og øyeblikkelig fart (i et gitt tidspunkt). Tilsvarende for akselerasjon. Viktig at kandidaten vet at fartstrekanten gjelder kun for konstant hastighet (akselerasjon lik 0). Moment som bør kan/bør være med Om funksjonsbegrepet (to størrelser som avhenger av hverandre) Om uavhengig og avhengig variabel Janviertabell om ulike uttrykksformer og overgangen mellom disse(graf, verditabell, algebraisk uttrykk, situasjon)
OPPGAVE 2 Elevene i en 10. klasse har fått utdelt et kvadratisk ark hver. Hvert ark har sidekanter på 24 cm. Fra det store kvadratet skal de klippe vekk fire mindre like store kvadrater og deretter brette arket til ei eske med lokk og to ekstra sidekanter (se figur nedenfor). Finn det største volumet som eska kan ha. Alternativ 1 for For blir og dermed har løsning. Alternativ 2 for. For blir og dermed har løsning. Alternativ 3. For blir løsning. og dermed har for For alle tre alternativene så vil være en kontinuerlig funksjon på et lukka, begrensa område [ ]. For deriver og løs, får For å forklare at har en største verdi: Bruke at gir et lokalt maks/minimumspunkt og bruke grafen for å begrunne at største verdi for eller fortegnsskjema for. En annen mulighet er å bruke at V(x) er en kontinuerlig funksjon på et lukka og begrensa område [ ] og vil oppnå sin største og minste verdi på dette området. Det skjer enten for endepunktene, eller der eller der ikke er deriverbar. Oppgave 3 a) 12 muligheter for første og 11 muligheter for andre som velges. 12 11 = 132 kombinasjoner.
b) Her bør man komme inn på elevenes problemer med multiplikasjonsprinsippet og hvorfor man dermed ikke kan resonnere slik som verken Espen eller Truls. c) Problemet som elevene får er av typen ordnet utvalg uten tilbakelegging. Rekkefølgen spiller en rolle for elevenes verv og har man valgt den første eleven så kan ikke denne velges om igjen. d) Det er en gruppe på 10 å velge jenter blant og en gruppe på 2 å velge gutter blant. Altså kombinasjoner. Man kan også sette dette opp som ( ) ( ) (Her godtas også 40 kombinasjoner, dersom man tolker dette som ordnet utvalg) e) Hvis det skal være jenter i begge tillitsvervene er det ( ) muligheter. Men har totalt ( ) kombinasjoner. Altså er sannsynligheten for at begge tillitsvervene blir besatt av jenter ( ) ( ) =. Oppgave 4 a) Tre kriterier for binomiske sannsynligheter: Uavhengighet, lik sannsynlighet for gunstig i hvert forsøk, kun to muligheter. Binomisk sannsynlighetsfordeling viser hvordan binomiske sannsynligheter fordeler seg med tanke på mulig antall gunstige (suksesser) i en forsøksrekke på n forsøk.. b) Det antallet som har høyest sannsynlighet er forventingen. I binomiske forsøk finner man denne ved å multiplisere antall forsøk med sannsynligheten for gunstig utfall. Her blir dette. Fem gevinster gir altså høyest sannsynlighet på lykkehjulet, dersom dette snurres 20 ganger. c) Sannsynligheten for minst to gevinster kan skrives som [ ]. ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) d) Fra tabellen (eller ved utregning) finner vi at sannsynligheten for å få 2 eller færre gevinster er 0,0912 (eller 9,12 %). Ved signifikansnivå på 5% kan vi dermed ikke forkaste til fordel for. Ved signifikansnivå på 10% kan vi forkaste til fordel for