Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og subtraksjon av brøk. a) Forklar sommerfuglmetoden I sommerfuglmetoden, multipliserer man telleren til hver brøk med nevneren til den andre og setter summen av produktene som telleren til resultatet. Som nevner setter vi produktet av de to nevnerne. b) Kommenter sommerfuglmetoden ut fra didaktisk teori og vurder i hvilken grad den egner seg for bruk i skolen. Svaret skal begrenses til en a4-side. Metoden fungerer som en annen standardalgoritme, men med en annet visuell representasjon, som en sommerfugl. Sammenlignet med vanlig metode kommer det ikke tydeligere fram hva som skjer med tallene, tvert
imot. Utvidelsen av brøkene kommer ikke like klart fram fordi teller og nevner i samme brøk multipliseres i to trinn i eksempelet med addisjon. I eksempelet med subtraksjon er også utvidelsen av brøkene mer skjult enn ved vanlig metode. I forhold til forståelse av brøkbegrepet og operasjoner med brøk er ikke sommerfuglmetoden med på å vise hvorfor regelen fungerer. Dette kan igjen medføre at det blir en type standardalgoritme som følges slavisk uten forståelse av hvorfor den alltid fungerer. Videre kan man vurdere hvilken forklaring som kan gi mening i å multiplisere tellerne først. I en målingsmodell 15er det nærliggende å fokusere på nevnerne (måleenheten) først, men dette skjer ikke i eksempelet med addisjon. I eksempelet med subtraksjon er utvidelsen av brøkene mer gjemt enn i vanlig metode. Man kan si at Sommerfuglen nærmest usynliggjør selve utvidelsen av brøkene. Det er derfor vanskelig å argumentere for at dette er en metode som er med på å styrke elevenes forståelse av addisjon og subtraksjon med brøk. En god besvarelse bør reflektere omkring utfordringer knyttet til å gi sommerfuglmetoden en annen representasjon eller begrunnelse. Mens sommerfuglmetoden blir det samme som fellesnevner, når de to nevnerne er relativt primisk, eller har ingen felles faktor, kan metoden i noen tilfeller bli lite hensiktsmessig og føre til mye regning med stor tall. c) Gi et eksempel på en representasjon som viser at 3 4 + 2 5 = 1 3 20. Her er det flere muligheter og innfallsvinkler. Figuren over kan oppstå ved å begynne med en dobbel eller trippel tallinje som viser at en hel må deles i 20 for å kunne bestå av både fire- og femdeler. Man kan også se for seg en sjokolade (arealmodell) som kan deles i både fire og fem like deler, og se at man må ha tre biter til av en tilsvarende sjokolade for å få summen av ¾ og ⅖. Ved 20-deler er ikke sirkelen og pizza-deler like enkle å benytte på en tydelig måte. Modellene vil i tillegg kreve en forklaring.
d) Hvilke utfordringer kan elever støte på når en bruker blandede tall so3m 1 3 20? I algebra lærer elevene at skrivemåten ab som multiplikasjon, medføre at et blandet tall blir oppfattet som multiplikasjon a b. Dette kan a c d = a c e) I regning med brøk har vi regneregelen b b d. Gi en forklaring på hvorfor denne regelen gjelder ved bruk av en hensiktsmessig representasjon. Den røde delen i rutenettet nedenfor representerer 2 3 5 8,men også 6 40 = 2 3 5 8 Oppgave 2 a) Bruk standard multiplikasjonsalgoritme til å regne ut 321 54 og gi en begrunnelse for hvorfor den gir riktig svar. Det forventes at algoritmen vises med et fullstendig oppsett og forklaring. I begrunnelsen må det argumenteres for at algoritmen gir svaret ved å ta utgangspunkt i posisjon- og titallssystemet. Algoritmen tar utgangspunkt i kommutativitet og distributivitet ved at 321 54 = 321 4 + 321 50. Multiplikasjonen 321 50 utføres som 321 5 mens resultatet flyttes en posisjon mot venstre. b) Hvordan kan man jobbe med multiplikasjon slik at elevene har mulighet til å utvikle en effektiv måte å gjennomføre en multiplikasjon på uten at de blindt følger en algoritme? Kom med 2 konkrete eksempler.
Både kommutativitet og distributivitet kan utnyttes slik at multiplikasjonen utføres effektivt og på en måte som virker intuitiv for elever. Gjennom vektlegging av de store ideene kan elevenes egne strategier utvikles. Eksemplene bør begrunnes matematisk og gjerne ved bruk av modeller. Flere strategier og diskusjoner om det i klasserommet er viktige. Da må en kultur for den produktive matematikksamtalen utvikles. Oppgavetypene som gis bør også være av en slik art dette oppmuntres. c) Regn ut 88 5 ved å starte med å regne ut 11 40. Begrunn hvert steg i fremgangsmåten din ved å bruke en multiplikasjonmodell med like grupper. Vi har 11 40 = 40 11, kommutativ egenskaper av multiplikasjon. Vi kan skrive den videre som 11 (8 5) = (11 8) 5, assosiative egenskaper av multiplikasjon. Den kan også forklart ved likegruppe representasjon som Figuren over kan være til hjelp. Dette er 5 grupper av 11 8 eller 11 grupper av 8 5. 88 5 = 11 8 5 = 11 40 Utregningen forenkles også ved 11 40 = 40 11 = 40 ( 10 + 1) = 400 + 40 = 440 d) Gjør rede for begrepene big ideas, strategier og modeller. Gi et eksempel på hver av disse i multiplikasjon. Big Ideas: I forklaringen må det komme fram at dette er grunnleggende matematiske ideer. Det er fordi de er avgjørende for den matematiske tenkingen. Samtidig markerer de store steg i elevers utvikling av sin egen matematiske tenking. Eksempler kan være sammenhengen mellom
multiplikasjon og divisjon, plassverdi og multiplikasjon, assosiativitet, distributivitet og kommutativitet. Strategier: De benyttes som framgangsmåter for å løse matematiske oppgaver. Noen eksempler er bruk av kjente fakta (f.eks. gangetabellen), gjentatt addisjon ved heltallsmultiplikasjon eller distributivitet. Modeller: Modeller kan beskrives som mentale kart som benyttes for organisering av matematiske aktiviteter. Eksempler kan være arealmodeller, tallinjer, skisser eller rutenett. Modeller kan benyttes både for å beskrive tanker og for å tenke. Oppgave 3 Lars, Mina og Marte er elever på 5. trinn og jobber med divisjon av desimaltall. De fikk i oppgave å regne ut 12, 5 : 0, 25. a) Kommenter de to strategiene og gjør rede for gyldigheten av dem. Både Lars og Mina ganger både divisor og dividend med 100 for å komme frem til divisjonsstykket 1250 : 25. Videre ganger Mina divisor og dividend med 4, mens Lars dividerer med 5. Mina oppnår et regnestykke der man deler med 100, og vet åpenbart at hun dermed finner svaret ved simpelthen å flytte kommaet to plasser mot venstre. Lars kjenner trolig svaret på 25 : 5 og forstår at når dividenden er 10 ganger så stor, så må også svaret bli 10 ganger så stort, altså 50. Når det gjelder gyldigheten av strategiene, så er det kun et spørsmål om hvorvidt svaret blir det samme om man ganger eller deler med samme tall i både divisor og dividend. En måte å forklare gyldigheten av dette på er gjennom en regnefortelling,
f.eks følgende: et 6 meter langt tau kan deles i 3 biter som hver er på 2 meter, noe som f.eks kan uttrykkes som 6 : 3 = 2. Dersom lengden på tauet dobles til 12 meter, får vi også dobbelt så mange, altså 6, taubiter på 2 meter, altså 12 : 6 = 2. Det er ingenting spesielt med tallet 2 (dobling) her. Dette forklarer også at vi kan dele på samme tall i både divisor og dividend. b) Marte sier at: svaret kan ikke være riktig. Fordi når man deler noe så må svaret bli mindre, 50 er jo større enn 12,5. Hvordan ville du som lærer hjulpet Marte? Først og fremst bør det sies av Marte har helt rett når det man deler på (divisoren) er 1 eller større. Forklaringen bør ta utgangspunkt i en passende regnefortelling, der desimaltall er naturlig. Dersom man har 4,5 liter brus, kan man fylle opp 3 flasker som hver rommer 1,5 liter, altså 4, 5 : 1, 5 = 3, og 3 er mindre enn 4,5. Men dersom man i stedet hadde flasker som hver rommer 0,5 liter, kan man fylle opp 9 av dem (det trengs to halvliterflasker til hver liter, altså 2 4 = 8 flasker for 4 liter, pluss en til for den siste halvliteren, altså 9 til sammen), noe som helt klart er større enn 4,5. c) Lag en illustrasjon til regnestykket 12, 5 : 0, 25 = 50. Her er det mange muligheter. Man kan tegne 13 flasker som hver rommer en liter brus, der den siste er halvfull, og dele hver flaske inn i 4 kvartlitere. Eller lengdemodell: En tau på 12,5 meter skal kuttes i små deler på en kvart meter hver, hvor mange biter får vi? Arealer er en annen mulighet: det kan tenkes at man skal flislegge et bad på 12,5 kvadratmeter med kvadratiske fliser med areal 0,25 kvadratmeter. Da kan man tegne opp 12 hele kvadratmeter pluss en halv kvadratmeter, og dele hver hele kvadratmeter inn i 4 like store, kvadratiske deler. d) Skriv tallene under som brøk: i) 0, 455 0, 455 = 0,455 1 = 0,455 1000 1 1000 = 1000 455 ii) 0, 455 = 0, 455455455... La x = 0, 455. Da er 1000x = 455, 455 og vi kan fjerne desimalene til høyre for kommaet ved å trekke fra x, altså 1000x x = 455 eller 999x = 455. Altså er x = 455 999. Oppgave 4 I oppgavene a), b) og c) skal dere jobbe i femtallsystemet.
a) Sett opp den lille multiplikasjonstabellen (produktet av alle ensifrede tall) i femtallsystemet. I femtallsystemet har vi sifrene 0, 1, 2, 3, 4. Nedenfor ser du den lille multiplikasjonstabellen for tallene 1, 2, 3, 4 (vi utelater raden/kolonnen for 0): 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 11 13 3 3 11 14 22 4 4 13 22 31 b) Hvordan kan den lille multiplikasjonstabellen være til nytte i forbindelse med divisjon i femtallsystemet? Når en kjenner multiplikasjonstabellen er det enklere å prøve seg fram ved hjelp av multiplikasjon når en skal løse et divisjonstykke. c) Regn divisjonsoppgaven 112 5 : 2 5 i femtallsystemet. Her kan man enten bruke standardalgoritmen for divisjon: 112 5 : 2 5 = 31 5 110 5 2 5 2 5 0 5 eller bruke den assosiative og distributive egenskapene ved multiplikasjon/divisjon: 110 5 : 2 5 = ( 115 1 05 ) : 2 5 = ( 115 : 2 5) 1 05 = 3 5 1 05 = 3 05 112 5 : 2 5 = ( 1105 + 2 5 ) : 2 5 = 3 05 + 1 5 = 3 15 Regnestykket kan også løses ved hjelp av en figur og opptelling (for eksempel ved å betrakte divisjonstykket som målingsdivisjon). Det gis ikke full uttelling ved å gjøre om til titallsystemet.
d) Ta utgangspunkt i et tallsystem (ikke titallsystemet) og skisser et undervisningsopplegg for elever på ungdomstrinnet der de skal utforske sentrale aspekter ved tallsystemet. Her er det viktig å redegjøre for målene ved undervisningsopplegget og dine didaktiske valg. Svaret skal begrenses til en side. Her er det naturlig at kandidatene skisserer et undervisningsopplegg der elevene jobber med gruppering og opptelling. Naturlige mål for et slikt undervisningsopplegg vil være forståelse av ulike aspekter ved plassverdisystemer. e) Vi skiller mellom additive tallsystemer og posisjonsystemer. Gi en kort redegjørelse for forskjellene ved de to typene systemer og gi et eksempel fra hver av de to typene. I posisjonsystemer har sifrenes posisjon i tallet betydning for tallets verdi. I addisjonsystemer beregnes tallets verdi på en annen måte, nemlig ved å legge sammen de ulike delene av tallet som for eksempel i det babylonske tallsystemet. Her må vi akseptere om det diktes opp et fungerende tallsystem. Dato/sted Faglærer/oppgavegiver/ et Ved eksamen benyttes følgende karakterskala: Symbol Betegnelse Generell, kvalitativ beskrivelse av vurderingskriterier A Fremragende Fremragende prestasjon som klart utmerker seg. Viser svært god vurderingsevne og stor grad av selvstendighet. B Meget god Meget god prestasjon. Kandidaten viser meget god vurderingsevne og selvstendighet. C God Jevnt god prestasjon som er tilfredsstillende på de fleste områder. Kandidaten viser god vurderingsevne og selvstendighet på de viktigste områdene. D Nokså god En akseptabel prestasjon med noen vesentlige mangler. Kandidaten viser en viss grad av vurderingsevne og selvstendighet. E Tilstrekkelig Prestasjon som tilfredsstiller minimumskravene, men heller ikke mer. Kandidaten viser liten vurderingsevne og selvstendighet. F Ikke bestått Prestasjon som ikke tilfredsstiller de faglige minimumskravene. Kandidaten viser både manglende vurderingsevne og manglende selvstendighet.