Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010
I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra gitt ved Matematisk institutt, UiO. Utvalget er gjort med hensyn på bruk i kurset MAT1012 Matematikk 2. Noen av oppgavene er litt forkortet for å tilpasse dette kurset. Oppgavene er ordnet kronologisk. Involverte personer i utplukking av stoff, og skriving og tilrettelegging av oppgaver har vært Erik Bédos, Inger Christin Borge, Dina Haraldsson, Tom Lindstrøm, Elisabeth Seland og Arne B. Sletsjøe. 2
Eksamen i MA 104, 22. mai 1992 Oppgave 1 Et sett på fire vektorer i R 5 v 1 = (1, 1, 8, 0, 1) v 2 = (0, 1, 7, 3, 1) v 3 = (1, 0, 1, 3, 0) v 4 = (2, 1, 9, 3, 1) utspenner et underrom V. Bestem en basis for V med vektorer fra settet. Skriv eventuelle resterende vektorer fra settet som lineære kombinasjoner av basisvektorene. Eksamen i MA 104, 28. mai 1994 Oppgave 2 (forkortet) La A = 0 1 2 0 1 2 0 0 1. a) Vis at A er diagonaliserbar og finn en matrise P s.a. P 1 AP er diagonal. Eksamen i MA 001, 3. desember 1994 Oppgave 4 Løs differensiallikningssystemet = 3x + 2y med initialverdier x(0) = 0 og y(0) = 3. = 2x 2y 3
Oppgave 6 Vi tenker oss en stemmegaffel som vibrerer. Vi velger et punkt på en av armene. For enkelhets skyld antar vi at punktet beveger seg fram og tilbake langs en rett linje. La hvilestillingen svare til 0-punktet på linja. Vi skal finne en formel for posisjonen x(t) på linja. I modellen tenker vi oss at akselerasjonen alltid er i retning av den stabile posisjonen, dvs. peker mot 0, og er proporsjonal med avstanden fra 0. Spesielt er x (t) negativ når x(t) er positiv og positiv når x(t) er negativ. Dette leder til differensiallikningen x (t) = k 2 x. (1) der k er en positiv konstant. a) Ved å sette y = x, skriv opp et system av to lineære differensiallikninger som vil gi en løsning av (1), og beregn egenverdiene til systemet. b) Anta at punktet er i posisjon 0 ved tiden t = 0. Skriv opp alle løsninger av (1). (Du skal få en harmonisk svingning.) Hint: Løs først differensiallikningssystemet du skrev opp i foregående punkt. I det følgende antar vi at stemmegaffelen er stemt til enstrøken A. Denne tonen har 440 svingninger pr. sekund. Vi antar at tiden t måles i sekunder. c) Bestem svingningens periode, og finn så konstanten k i modellen. d) Hva er amplituden hvis initialhastigheten x (0) er 2 meter pr. sekund? 4
Eksamen i MA 001, 30. mai 1995 Oppgave 4 a) Finn den generelle løsningen til systemet = x + y + 1 = x + 2 b) Finn løsningen bestemt av x(0) = 2, y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 29. november 1996 Oppgave 1 a) Finn egenverdiene til matrisen [ ] 5 16 1 5 (Merk: De blir komplekse.) b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 5x + 16y 4 = x + 5y + 9 c) Skriv følgende harmoniske svingninger på formen C 0 + C cos[w(t t 0 )]. (i) f(t) = cos(4t) + sin(4t) (ii) g(t) = cos(4t) sin(4t) d) La x(t) og y(t) være to funksjoner som løser systemet under b), og anta at x(0) = 4y(0) + 8, samt y(0) 0. Skisser grafene til x(t) og y(t) så go det lar seg gjøre ut fra disse opplysningene. 5
Eksamen i MA 104, 30. mai 1997 Oppgave 2 (forkortet) 3/2 1/2 0 La A = 1 0 0. 1 1 1 a) Vis at A er inverterbar og finn egenverdiene til A. b) Vis at A er diagonaliserbar og finn en basis for R 3 som består av egenvektorer for A. Eksamen i MA 001, 28. november 1997 Oppgave 6 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = x 5y = 2x y b) Finn løsningen av det inhomogene systemet = x 5y 8 = 2x y 7 som oppfyller x(0) = 4 og y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 2. juni 1998 Oppgave 3 En sylinderformet bøye flyter i vannflaten med sylinderaksen vertikalt, og beveger seg bare i vertikal retning. Vi antar at høyden i sylinderen er h og at 6
forholdstallet mellom tettheten av bøyen og tettheten av vann er ρ. Tyngdens akselerasjon settes lik g = 980 cm/s 2. La x = x(t) være bden av bunnen av bøyen og y = y(t) hastigheten til bøyen ved tiden t, hvor hastigheten regnes positiv nedover. Hvis vi antar at de eneste kreftene som virker på bøyen er tyngden og oppdriften, og forutsetter 0 x h, så får vi ved Newtons kraftlov og Arkimedes lov likningssystemet = y = g g (1) ρh x. a) Angi likevektsløsningen for systemet (1). Finn deretter den generelle løsningen av (1). b) Anta initialbetingelsene x(0) = y(0) = 0, og bestem løsningen av (1) for dette tilfellet. Med ρ 0.5 blir bevegelsen av bøyen en harmonisk svingning. Beregn amplituden C og perioden T for svingningen når h = 200 cm og ρ = 0.5. Eksamen i MA 114, 2. desember 1998 Oppgave 1 0 1 1 1 La A = 1 0 1 og v = 1. 1 1 0 1 a) Finn Av og A 10 v. b) Finn A 1. 7
c) Finn egenverdiene til A og bestem deres multiplisitet. Finn også dimensjonen til hvert av egenrommene til A. d) Finn en diagonal matrise D og en inverterbar matrise C slik at A = CDC 1. 8 8 e) Beregn A 10 1. Hint: Skriv 1 som en sum av egenvektorer. 0 Eksamen i MA 001, 3. juni 1999 Oppgave 6 0 Vi tenker oss en insektfelle med to rom, rom 1 og rom 2. Fra omverdenen kommer insektene først inn i rom 1, og noen av dem går videre til rom 2. Fra rom 2 er det mulig å komme tilbake til rom 1, og fra rom 1 er det mulig å forlate fellen. La N 1 = N 1 (t) og N 2 = N 2 (t) være antall insekter i hvert av rommene ved tiden t (t 0). Insektene går inn i fellen med konstant innstrømningsrate v = 900 (per tidsenhet), og går ut igjen med rate bn 1. De går fra rom 1 til rom 2 med rate an 1, og fra rom 2 til rom 1 med rate bn 2. Dette leder til følgende system av differensiallikninger: dn1 = v bn 1 an 1 + bn 2 dn 2 = an 1 bn 2 I det følgende lar vi a = 81 (per tidsenhet) og b = 10 (per tidsenhet). a) Etter hvert som tiden går vil antall insekter i de to rommene stabilisere seg på visse likevektsverdier. Finn disse. b) Finn den generelle løsningen til differensiallikningssystemet. c) Gå ut fra at det ved tiden t = 0 er 20 insekter i rom 1, og ingen i rom 2. Hvor mange er det i hvert av rommene ved et vilkårlig tidspunkt t? 8
Eksamen i MA 114, 3. desember 1999 Oppgave 1 (forkortet) La s og t være reelle tall og la A være matrisen s 0 1 0 A = 0 s 0 1 1 0 t 0. 0 1 0 t a) Avgjør når A er inverterbar. 1 1 b) La b =. Bestem for hvilke verdier av s og t systemet A x = b har 4 4 uendelig mange løsninger og angi da løsningsmengden til systemet på parameterform. c) Begrunn hvorfor A er diagonaliserbar for alle verdiene av s og t. Beregn det karakteristiske polynomet til A. 1 1 d) Vi setter nå s = t = 1 og x 0 = 0. Finn en basis for R4 som består 0 av egenvektorer for A. Avgjør om grensen lim n + An x 0 eksisterer. Eksamen i MA 104, 31. mai 2000 Oppgave 4 La t være et reelt tall og la A t være matrisen 1 + t t 0 A t = t 1 t 0. 0 0 1 9
Vis at egenverdiene til A t er 1 og 1 for alle t og drøft hvordan dimensjonen til egenrommene E 1 og E 1 varierer med t. For hvilke verdier av t er A t diagonaliserbar? Eksamen i MA 104, 1. desember 2000 Oppgave 4 a) Forklar hvorfor egenverdiene til matrisen 3 0 1 0 A = 0 2 0 2 1 0 3 0 0 2 0 2 er reelle. Finn så disse egenverdiene. b) Hva er den algebraiske multiplisiteten til disse egenverdier? c) Finn en basis for R 4 som består av egenvektorer. d) Finn en matrise C som diagonaliserer A (dvs. C 1 AC er en diagonal matrise). Hva blir denne diagonale matrisen? Eksamen i MA 001, 11. desember 2000 Oppgave 5 a) Finn egenverdiene til matrisen [ ] 1 2. 1 0 b) Finn den generelle løsningen (x(t), y(t)) til differensiallikningssystemet: ( ) = x + 2y = x 10
c) Finn den spesielle løsningen til differensiallikningssystemet ( ) med initialbetingelsen x(0) = 1 og y(0) = 2. Finn også den andre spesielle løsningen som oppfyller x(0) = 1 og lim t y(t) = 0. Eksamen i MA 104, 31. mai 2001 Oppgave 2 (forkortet) La T : R 3 R 3 være gitt ved T x 1 x 2 2x 1 + 4x 2 4x 3 = x 1 + 2x 2 x 3 x 3 x 1 2x 2 + 3x 3 La M være standardmatrisen til T. a) Finn M. b) Finn en basis for nullrommet til M. c) Finn egenverdier og egenvektorer til M. Finn en matrise P slik at P 1 MP blir en diagonal matrise. d) Finn M 8. e) Vis at matrisen 1 2 2 N = 1 2 1 0 0 1 har de samme egenvektorene som M. 11
Eksamen i MA 001, 10. desember 2001 Oppgave 6 a) Finn egenverdiene til matrisen [ 3 1 2 0 ]. b) Finn den generelle løsningen x(t), y(t)} til differensiallikningssystemet = 3x y = 2x. c) Finn den spesielle løsningen av differensiallikningssystemet i b) som oppfyller betingelsen x(0) = 2 og y(0) = 3. Eksamen i MA001, 10. juni 2002 Oppgave 4 Betrakt differensiallikningssystemet = x + y = 4x + y. a) Finn systemets egenverdier. b) Finn systemets løsning med initialbetingelsen x(0) = 0, y(0) = 1. c) Ved derivasjon kontrollér at svaret du har fått, er riktig. 12
Eksamen i MA 001, 11. desember 2003 Oppgave 7 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 10x + y = 2x + 9y b) Betrakt så det inhomogene systemet = 10x + y 1 = 2x + 9y + 2 Finn systemets likevektstilstand. c) Løs differensiallikningene i punkt b) under initialbetingelsen x(0) = 3, y(0) = 0. 8 Eksamen i MA 001, 26. mai 2004 Oppgave 5 Et medikament tilføres blodbanene ved kontinuerlig intravenøs injeksjon og med konstant positiv rate k (mg/h). Vi lar y = y(t) og x = x(t) være mengden av medikament (målt i mg) i henholdsvis blodbane og vev ved tiden t. Medikamentet er av en slik natur at vi under behandlingen kan se bort fra at noe av medikamentet blir utskilt i urinen. Vi stiller opp følgende skjema Her er k 1 y og k 2 x ratene (mg/h) som uttrykker hvor raskt medikamentet går fra den ene boksen til den andre, og k 1 og k 2 er positive konstanter. 13
a) Vis at dette fører til differensiallikningssystemet = k 2x + k 1 y = k 2x k 1 y + k (1) og avgjør om dette systemet har noen konstant løsning (altså løsninger hvor både x og y er konstante.) b) Finn den generelle løsningen av det homogene systemet vi får ved å sette k = 0 i (1). c) Vis at det fins konstanter a, b og c slik at funksjonene x(t) = at, y(t) = bt + c er løsninger av (1). d) Finn de løsninger av (1) som oppfyller initialbetingelsen x(0) = 0, y(0) = 0 Hint: Bruk uten bevis at den generelle løsningen av (1) er summen av løsningen funnet under c) og den generelle løsningen funnet under b). Eksamen i MAT 1010, 11. juni 2004 Oppgave 4 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet x = x 5y 1 y = 5x + y 5. b) Bestem den løsningen av systemet ovenfor som tilfredstiller initialbetingelsen x(0) = 5 y(0) = 5. 14
Eksamen i MA 001, 10. desember 2004 Oppgave 6 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = x 5y = 2x y b) Finn løsningen av det inhomogene systemet = x 5y 8 = 2x y 7 som oppfyller initialbetingelsen x(0) = 4 og y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 7. juni 2005 Oppgave 7 a) Bestem egenverdiene, og finn tilsvarende egenvektorer for matrisen M = hvor k og l er positive reelle tall. [ k l ] k En kopp kaffe varmes opp til kokepunktet i en mikrobølgeovn. Deretter slås ovnen av, og kaffen blir stående i ovnen en stund til avkjøling. Vi vil anta at temperaturene x = x(t) i kaffen og y = y(t) i ovnen som funksjoner av tiden, da oppfyller differensiallikningssystemet l = k(x y) = l(x y) (1) 15
Når temperaturene er gitt i C og tiden i timer, antar vi k = 4.0, l = 1.0 (per time). b) Finn løsningen av systemet (1) med initialbetingelsen x(0) = 100 C, y(0) = 20 C. c) Ut fra løsningen av (1), hvilken verdi vil x(t) og y(t) gå mot når t? Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i kaffen er sunket til 55 C? Eksamen i MAT 1010, 12. juni 2007 Oppgave 1 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 3x 2y = 2x 2y b) Finn den løsningen av systemet som oppfyller x(0) = 6 og y(0) = 2. = 3x 2y 9 = 2x 2y 4 Eksamen i MAT 1010, 9. juni 2008 Oppgave 2 Finn funksjoner x(t) og y(t) slik at og x(0) = 1, y(0) = 4. = y = 4x 16
Eksamen i MAT 1010, 8. juni 2009 Oppgave 1 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 3x 5y = 2x + y b) Finn den løsningen av systemet = 3x 5y + 1 = 2x + y + 5 som oppfyller x(0) = 1 og y(0) = 2. 17