1.8 Binære tall Når vi regner, bruker vi titallssystemet. Hvordan det virker, finner vi ut ved å se på for eksempel tallet 2347. 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Hvis vi bruker potenser, får vi 2347 = 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 + 7 Det siste sifferet er enere, det nest siste er tiere, det tredjesiste hundrere, osv. Dette tallsystemet har ti tallsymboler (0, 1, 2,, 9). I en datamaskin eller lommeregner kan vi tenke oss at alle tall blir lagret ved at en bryter er av eller på. Vi har da bare to mulige tallsymboler: 0 når bryteren er av og 1 når den er på. Vi må derfor bruke et tallsystem med bare to symboler, 0 og 1. Det tallsystemet kaller vi totallssystemet eller det binære tallsystemet. Alle tall i dette systemet består dermed bare av nuller og enere. Tallet 1010 er et eksempel på et binært tall. Det er ikke det samme som tusen og ti. Når vi skal finne ut hvilket tall det er, gjør vi slik: 1010 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 0 = 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 = 10 Det binære tallet 1010 er det samme som tallet ti. Vi ser at det binære tallsystemet virker på samme måten som titallssystemet. Forskjellen er at for binære tall bruker vi potenser av to i stedet for potenser av ti. Alle datamaskiner og lommeregnere bruker totallssystemet til all regning uten at vi oppdager det. Når du skriver et regnestykke ved hjelp av tastaturet, blir tallene automatisk oversatt til totallssystemet. Alle utregningene blir så gjort i totallssystemet. Svaret blir deretter oversatt til titallssystemet før det blir skrevet ut på skjermen. Vi skal nå lære å oversette tall mellom totallssystemet og titallssystemet. Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 101 b) 1101 c) 10011 a) 101 = 1 2 2 + 0 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 8 + 4+ 0 + 1 = 13 c) 10011 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 31
Oppgave 1.80 Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 110 b) 1110 c) 10110 d) 111001 Oppgave 1.81 Fyll ut tabellen. Binærtall 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Vanlige tall Hvordan kan vi oversette fra vanlige tall til binære tall Vi tar da utgangspunkt i denne tabellen med potenser av 2. 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Vi skal nå skrive tallet 23 som et binært tall. Vi leter oss fram til den største toerpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Videre er 23 = 16 + 7. Nå finner vi den største toerpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi Dermed er 23 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1 23 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 1 2 + 1 Tallet 23 er dermed det samme som det binære tallet 10111. Skriv 37 som et binært tall. 37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1 37 = 1 32 + 0 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 = 100101 Oppgave 1.82 Skriv tallene som binærtall. a) 13 b) 23 c) 42 d) 70 32 32 Sinus 1DH/1MK > Tall og enheter
Oppgave 1.83 Skriv tallet 241 som binærtall. De binære tallene inneholder mange siffer. Når vi skriver tallet 211 som et binærtall, blir det 11010011. Det er fort gjort å gjøre feil når vi skal skrive et slikt tall, eller når vi skal si tallet til en annen person. Det blir lettere hvis vi leser fire og fire siffer om gangen. Vi bruker i tillegg denne tabellen: Binært tall Vanlig tall Symbol 0000 0 0 0001 1 1 0010 2 2 0011 3 3 0100 4 4 0101 5 5 0110 6 6 0111 7 7 Binært tall Vanlig tall Symbol 1000 8 8 1001 9 9 1010 10 A 1011 11 B 1100 12 C 1101 13 D 1110 14 E 1111 15 F Tallet 11010011 deler vi opp i to deler og leser det på denne måten: 1101 0011 = D3 D 3 Når vi så skal ha tilbake binærtallet, bruker vi tabellen og erstatter D med 1101 og 3 med 0011. Da får vi tilbake tallet 11010011. Når vi skal finne hvilket tall D3 er, kan vi gjøre slik: I tabellen ser vi at D er tallet 13. Da er D3 det samme som 13 16 + 3 = 211 Tallet 10111001001 har elleve siffer. Når vi skal lese dette tallet, setter vi en 0 foran slik at det blir tolv siffer. 010111001001 = 5C9 5 C 9 Vi leser tallet som 5C9. Hvilket tall er så det Vi skriver det ved hjelp av potenser av 16. Husk at C er det samme som 12. 5C9 = 5 16 2 + 12 16 + 9 = 5 256 + 12 16 + 9 = 1481 Tallet 5C9 er skrevet i 16-tallssystemet (det heksadesimale tallsystemet). 33
a) Skriv det binære tallet 1011011001 i det heksadesimale tallsystemet. b) Skriv tallet i det vanlige tallsystemet. a) 1011011001 = 001011011001 = 2D9 2 D 9 b) Ettersom D er tallet 13, blir dette 2D9 = 2 16 2 + 13 16 + 9 = 2 256 + 13 16 + 9 = 729 Oppgave 1.84 a) Skriv det binære tallet 11100101 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det Oppgave 1.85 a) Skriv det binære tallet 1111010100 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det Oppgave 1.86 a) Skriv tallet 812 i det binære tallsystemet. b) Skriv svaret i oppgave a i det heksadesimale tallsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgave b gir tallet 812. 1.9 Noen digitale enheter Datamaskiner gjør om alle tall til binære tall. Grunnen er at maskinen har mange elektriske «brytere» som kan være av eller på. En slik «bryter» kaller vi en bit. En bit kan dermed være enten 0 eller 1. Alle andre tegn og symboler blir også skrevet ved hjelp av 0 og 1. Bokstaven A blir gjort om til 01000001 og a til 01100001. Hvert tegn og hver bokstav har sin egen kode som er sammensatt av åtte 0 eller 1. Koden består dermed av åtte biter. Vi kaller det en byte. En byte er dermed lagerplass for ett tegn. 1 byte = 8 biter 34 34 Sinus 1DH/1MK > Tall og enheter
a) Hvor mange byte er det i teksten «Lykke til!» b) Hvor mange biter blir det a) Teksten består av ti tegn. Husk at mellomrommet også er et tegn. Det er 10 byte i teksten. b) Vi vet at 1 byte består av 8 biter. Dermed er 10 byte = 10 8 biter = 80 biter Til sammen må vi bruke åtti 0 og 1 for å lagre teksten «Lykke til!» Oppgave 1.90 a) Hvor mange biter er det i 12 byte b) En tekst er skrevet med 248 biter. Hvor mange tegn er det i denne teksten Oppgave 1.91 a) Hvor mange byte er det i teksten «Alt vel. Send mer penger.» b) Hvor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre denne teksten digitalt I vårt tallsystem (titallssystemet) har vi faste navn på noen spesielle tall. 10 2 = 100 hundre 10 3 = 1000 tusen 10 6 = 1 000 000 million 10 9 = 1 000 000 000 milliard Vi ser at det er noen potenser av ti som har egne navn. Når vi bruker totallssystemet, har vi satt navn på noen potenser av to. 2 10 = 1024 kilo (k) 2 20 = 1 048 576 mega (M) 2 30 = 1 073 741 824 giga (G) Til vanlig er kilo = 1000. Men i den digitale verden er altså kilo = 1024. På tilsvarende måte er mega = 1 000 000, men når det gjelder datateknikk, er mega = 1 048 576. Vi bruker forkortingen B for byte og forkortingen b for biter. Med denne skrivemåten er 1 kb = 1024 byte 1 kb = 1024 biter 1 MB = 1 048 576 byte 1 Mb = 1 048 576 biter 35
Videre er 1 MB = 1024 kb 1 Mb = 1024 kb 1 GB = 1024 MB 1 Gb = 1024 Mb Til daglig runder vi ofte av og sier at 1 kb er 1000 byte, at 1 MB er 1000 kb, og at 1 GB er 1000 MB. Et tekstdokument er på 2,7 kb. a) Hvor mange tegn inneholder dokumentet b) Hvor mange 0 og 1 blir det a) 1 kb er 1024 byte, og én byte er ett tegn. Antallet tegn er 2,7 1024 = 2765 Vi gjør ikke noen stor feil hvis vi sier at det er 2700 tegn. b) Ettersom hver byte (hvert tegn) består av åtte biter (0 eller 1), er antallet 0 og 1 8 2765 = 22 120 Oppgave 1.92 En tekst er på 32 kb. a) Hvor mange tegn er det b) Hvor mange biter blir det Oppgave 1.93 Et digitalt bilde blir også lagret ved hjelp av bare 0 og 1. Et bestemt bilde er på 1,2 MB. a) Hvor mange kilobyte (kb) er det b) Hvor mange byte blir det c) Hvor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre dette bildet Når vi sender digitale tekster, bilder eller musikk over telenettet, varierer farten veldig. Hvis vi bruker en vanlig analog (ikke digital) telefonlinje, kan vi sende 40 50 kb per sekund. Det er altså ca. 40 000 50 000 biter per sekund. Vi måler farten i kilobiter per sekund (kbps). Når farten er 46,6 kbps, kan vi sende 46,6 kb på ett sekund. 36 36 Sinus 1DH/1MK > Tall og enheter
Med bredbånd er farten mye større. Vanlig fart er noen tusen kilobiter per sekund. Farten kan for eksempel være 2048 kbps. Det er det samme som 2 Mbps.Vi overfører da omtrent 2 millioner nuller og enere på ett sekund. Et bilde er på 728 kb. a) Hvor mange kilobiter er det b) Hvor lang tid tar det å overføre bildet på ei linje med farten 46,6 kbps c) Hvor lang tid tar det på bredbånd med farten 2048 kbps a) Ettersom 1 byte er 8 biter, er 728 kb det samme som 728 8 kb = 5824 kb b) Med denne linja overfører vi 46,6 kb på ett sekund. Antallet sekunder blir 5824 46,6 = 125 Det tar 125 s (2 min 5 s) å overføre bildet. c) Med bredbånd overfører vi 2048 kb på ett sekund. Antallet sekunder blir da 5824 2048 = 2,8 Det tar 2,8 sekunder. Oppgave 1.94 En stor tekst inneholder 72 000 tegn. a) Hvor mange kilobiter er det b) Hvor lang tid tar det å overføre teksten på ei linje med farten 28,8 kbps c) Hvor lang tid tar det å overføre teksten på bredbånd med 1024 kbps Oppgave 1.95 En musikk-cd er på 25,7 MB. a) Hvor lang tid tar det å overføre innholdet på denne cd-en på ei linje med farten 46,6 kbps b) Hvor lang tid tar det på bredbånd med farten 2048 kbps 37